湖南省天壹名校联盟2026届高三下学期4月质量检测数学试卷含答案（word版）

这是一份湖南省天壹名校联盟2026届高三下学期4月质量检测数学试卷含答案（word版），共16页。试卷主要包含了【答案】A，【答案】D，【答案】C，【答案】B，【答案】ACD，【答案】 ABD等内容，欢迎下载使用。
【解析】因 A={−1,2,3,5,8},B=x∣2x0 ,所以 AFAD=x1+2x12+12x1+4=x12+4x1+4x12+12x1+4=1−8x1x12+12x1+4= 1−8x1+4x1+12≥1−82x1×4x1+12=22 ,当且仅当 x1=2 时取等号,此时 AF=4 ,故 D 项正确. 故选 ABD.
12.【答案】 42
【解析】易知圆 x−12+y2=9 的圆心为 1,0 ,半径为 3 ;
由圆心 1,0 到直线 3x+4y+2=0 的距离为 d=3+0+29+16=1 ,
所以直线被圆截得的弦长为 29−1=42 .
13.【答案】 −49
【解析】 f′x=x ,则 f′x1=x1 ,所以切线方程为 y−12x12=x1x−x1 ,即 y=x1x−12x12;g′x= x2 ,则 g′x2=x22 ,所以切线方程为 y−13x23=x22x−x2 ,即 y=x22x−23x23 ; 由题意可知, x1=x22,−12x12=−23x23,解得x2=43,x1=169,故x2−x1=−49.
14.【答案】2
【解析】由于 2sinx2⋅sinx+sin2x+⋯+sin2024x=csx−x2−csx+x2+cs2x−x2− cs2x+x2+⋯+cs2024x−x2−cs2024x+x2=csx−x2−cs2024x+x2= cs2025x2−2024x2−cs2025x2+2024x2=2sin2025x2sin1 012x ,因此 fx=sinx+sin2x +⋯+sin2024x=sin2025x2sin1012xsinx2 ,由于 x∈0,π1012 ,因此 fx 仅有零点 2π2025,π1012 ,则 fx 在 0,π1012 上共有 2 个零点.
15.【答案】(1)详见解析 (2) Tn=−1+−1nn+1
【解析】(1) 由 an+1−1an=anan+1+1 得, an+12−1=an2 , 2 分
所以 an+12−an2=1 , 4 分
故 an2 是公差为 1 的等差数列; 6 分
(2)因为 a12=1 ，所以由(1)可知， an2=1+n−1×1=n ，则 an=n . 8 分
所以 −1nan+1−an=−1n⋅n+1+n . 10 分
Tn=−2+1+3+2−⋯+−1nn+1+n=−1+−1nn+1. 13 分
16.【答案】 11727 2X 的分布列见解析, EX=575
【解析】(1)设事件 A 表示“甲被该企业正式录取”,事件 B 表示“乙被该企业正式录取”,事件 C 表示
“丙被该企业正式录取”, 1 分
则由题可知 PA=12×13=16,PB=PC=23×12=13 , 3 分
事件 D 表示 “甲、乙、丙三人都没有被该企业正式录取”, 4 分
则 PD=PABC=PAPBPC=1−16×1−13×1−13=1027 , 6 分
所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率 P=1−PD=1−1027=1727 ; 7 分
(2) X 的所有可能取值为 300,450,600,750，对应事件分别为 “三人均未通过笔试”，“三人中恰有一人通过笔试”，“三人中恰有两人通过笔试”，“三人均通过笔试”， 9 分
PX=300=12×13×13=118, 10 分
PX=450=12×13×13+2×12×23×13=518, 11 分
PX=600=2×12×23×13+12×23×23=49, 12 分
PX=750=12×23×23=29, 13 分
所以 X 的分布列为
数学期望 EX=300×118+450×518+600×49+750×29=575 . 15 分
17.【答案】(1)详见解析 (2)(i) 52π3 (ii) 517517
【解析】(1) 取 BE 的中点 Q ,连接 MQ,QN ,
因为 M 为 PE 的中点,所以 MQ 为 △PEB 的中位线,则 MQ//PB , 1 分
又 MQ⊄ 平面 PBC,PB⊂ 平面 PBC ,所以 MQ// 平面 PBC , 2 分
因为 N 为 CD 的中点,所以 QN 为梯形 BCDE 的中位线,则 NQ//BC ,
又 NQ⊄ 平面 PBC,BC⊂ 平面 PBC ,所以 NQ// 平面 PBC , 3 分
又 MQ∩NQ=Q ,所以平面 MQN// 平面 PBC , 4 分
因 MN⊂ 平面 MQN ,故 MN// 平面 PBC ; 5 分
(2)取 DE ， BC 的中点 H ， G ，连接 PH ， HG ，则 PH⊥DE ， HG⊥DE ，
因为平面 PDE⊥ 平面 BCDE ,所以 PH⊥ 平面 BCDE ,则 PH⊥HG ,以 H 为原点,以 HG,HD,HP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系.
则 P0,0,3,E0,−1,0,G3,0,0 , 6 分
(i) 易知梯形 BCDE 的外接圆的圆心为 G ,因为 OG⊥ 平面 BCDE ,所以设 O3,0,z0 ,
由 OE=OP 得, 3−02+0+12+z0−02=3−02+0−02+z0−32
解得 z0=33 , 8 分
所以球 O 的半径的平方 R2=3+1+13=133 ,故球 O 的表面积为 S=4πR2=52π3 ; 10 分

(ii) M0,−12,32,N32,32,0,O3,0,33,MN=32,2,−32 , OM=−3,−12,36, 11 分
设平面 OMN 的一个法向量为 m=x1,y1,z1 ,
MN⋅m=0,OM⋅m=0,则32x1+2y1−32z1=0,−3x1−12y1+36z1=0,取x1=1,
则 m=1,53,21 , 13 分
由 (1) 可知, HG⊥ 平面 PDE ,则 n=1,0,0 为平面 PDE 的一个法向量,
所以 cs⟨m,n⟩=m⋅nm⋅n=1517=517517 . 14 分
故平面 OMN 与平面 PDE 的夹角的余弦值为 517517 . 15 分
18.【答案】 1−1e 2−∞,1] 30,1e∪(1,+∞
【解析】(1) 函数 fx=xlnx 的定义域为 0,+∞ ,求导得 f′x=lnx+1 ;
令 f′x=0 ,得到 x=1e ; 2 分
当 x∈0,1e 时, f′x0 ,函数 fx 单调递增; 4 分
因此, fx 在 x=1e 处取得极小值 f1e=1eln1e=−1e ; 5 分
(2)当 x>1 时， fx>kx−1 恒成立，即 xlnx−kx−1>0 恒成立； 6 分
令 gx=xlnx−kx−1,x>1 ,则 g′x=lnx+1−k ,
令 g′x=lnx+1−k=0 ,得到 x=ek−1 , 7 分
当 ek−1≤1 ,即 k≤1 时,在 1,+∞ 上 g′x>0 ,
函数 gx 单调递增, gx>g1=0 ,满足条件; 8 分
当 ek−1>1 ,即 k>1 时,当 11 ,则 h′k=1−ek−1