珠海市2026年高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析）

这是一份珠海市2026年高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析），文件包含十年2016-2025高考数学真题分类汇编全国通用专题01集合与常用逻辑用语七大考点88题教师版docx、十年2016-2025高考数学真题分类汇编全国通用专题01集合与常用逻辑用语七大考点88题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
3．已知，，那么是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为( )
A．B．
C．或D．或
8．已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
10．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．对于任意的正数，不等式恒成立，则的最大值为_____.
14．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之________．
15．在正方体中，分别为棱的中点，则直线与直线所成角的正切值为_________.
16．若函数 (R，)满足，且的最小值等于，则ω的值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在，角、、所对的边分别为、、，已知.
（1）求的值；
（2）若，边上的中线，求的面积.
18．（12分）已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:（是参数）.
（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.
（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.
19．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值.
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点为线段上的点，过三点的平面与交于点.将①，②，③中的两个补充到已知条件中，解答下列问题：
（1）求平面将四棱锥分成两部分的体积比；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示．
（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
（ⅰ）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．
附：，若，则，，.
22．（10分）已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】
当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
2．D
【解析】
利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除.
【详解】
解：对于，当，且，则与的位置关系不定，故错；
对于，当时，不能判定，故错；
对于，若，且，则与的位置关系不定，故错；
对于，由可得，又，则故正确．
故选：．
本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
3．B
【解析】
由，可得，解出即可判断出结论．
【详解】
解：因为，且
．
，解得．
是的必要不充分条件．
故选：．
本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．A
【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.
【详解】
由，，可知平面．
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．
由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，
记的外心为，由为等边三角形，
可得．又，故在中，，
此即为外接球半径，从而外接球表面积为．
故选：A
本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
6．B
【解析】
函数的图象恒在轴的上方，在上恒成立.即，即函数的图象在直线上方，先求出两者相切时的值，然后根据变化时，函数的变化趋势，从而得的范围．
【详解】
由题在上恒成立.即，
的图象永远在的上方，
设与的切点，则，解得，
易知越小，图象越靠上，所以.
故选：B．
本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．
7．A
【解析】
利用切割线定理求得，利用勾股定理求得圆心到弦的距离，从而求得，结合，求得直线的倾斜角为，进而求得的斜率.
【详解】
曲线为圆的上半部分，圆心为，半径为.
设与曲线相切于点，
则
所以
到弦的距离为，，所以，由于，所以直线的倾斜角为，斜率为.
故选：A
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
8．A
【解析】
由，得，代入集合B即可得.
【详解】
，，，即：，
故选：A
本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.
9．C
【解析】
根据正弦型函数的图象得到，结合图像变换知识得到答案.
【详解】
由图象知：，∴.
又时函数值最大，
所以.又，
∴，从而，，
只需将的图象向左平移个单位即可得到的图象，
故选C.
已知函数的图象求解析式
(1).(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求．
10．D
【解析】
求解不等式，得到集合A，B，利用交集、补集运算即得解
【详解】
由于
故集合
或
故集合

故选：D
本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
11．D
【解析】
将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.
【详解】
由图知与有个公共点即可，
即，当设切点，
则，
.
故选：D.
本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.
12．D
【解析】
由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e.
【详解】
由题意得，，
，.
故选：D.
本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据均为正数，等价于恒成立，令，转化为恒成立，利用基本不等式求解最值.
【详解】
由题均为正数，不等式恒成立，等价于
恒成立，
令则，
当且仅当即时取得等号，
故的最大值为.
故答案为：
此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.
14．91
【解析】
设共有选票张，且票对应张数为，由此可构造不等式组化简得到，由投票有效率越高越小，可知，由此计算可得投票有效率.
【详解】
不妨设共有选票张，投票的有，票的有，票的有，则由题意可得：
，化简得：，即，
投票有效率越高，越小，则，，
故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为．
故答案为：.
本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.
15．
【解析】
由中位线定理和正方体性质得，从而作出异面直线所成的角，在三角形中计算可得．
【详解】
如图，连接，，，∵分别为棱的中点，∴，
又正方体中，即是平行四边形，∴，∴，（或其补角）就是直线与直线所成角，是等边三角形，∴＝60°，其正切值为．
故答案为：．
本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角．
16．1
【解析】
利用辅助角公式化简可得,由题可分析的最小值等于表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为,进而求解即可.
【详解】
由题,,
因为,,且的最小值等于,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为,
所以,即,
所以,
故答案为:1
本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1) (2)答案不唯一，见解析
【解析】
（1）由题意根据和差角的三角函数公式可得，再根据同角三角函数基本关系可得的值；
（2）在中，由余弦定理可得，解方程分别由三角形面积公式可得答案．
【详解】
解：（1）在中，因为，
又已知，
所以，
因为，所以，于是.
所以.
（2）在中，由余弦定理得，
得解得或，
当时，的面积，
当时，的面积.
本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题．
18．（1）或；（2）.
【解析】
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标条件下求出曲线的圆心坐标和半径，将直线的参数方程化为普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）将圆化为参数方程形式，代入由三角公式化简可求其取值范围．
【详解】
（1）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为：
直线的直角坐标方程为：
圆心到直线l的距离（弦心距）
圆心到直线的距离为 ：
或
（2）曲线的方程可化为，其参数方程为：
为曲线上任意一点，
的取值范围是
19．（1），（2）（3）
【解析】
（1）假设公差，公比，根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得，，然后利用公式法，可得结果.
（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.
（3）计算出，代值计算并化简，可得结果.
【详解】
解：（1）依题意：，
即，解得：
所以，
（2），
，
，
上面两式相减，得：
则
即
所以，
（3）
，
所以
由得，，
即
本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题.
20．（1）；（2）.
【解析】
若补充②③根据已知可得平面，从而有，结合，可得
平面，故有，而，得到，②③成立与①②相同，
①③成立，可得，所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析;
（1）设，可得，进而求出梯形的面积，可求出，即可求出结论；
（2），以为坐标原点，建立空间坐标系，求出坐标，由（1）得为平面的法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解.
【详解】
第一种情况：若将①，②作为已知条件，解答如下：
（1）设平面为平面.
∵，∴平面，而平面平面，
∴，又为中点.
设，则.
在三角形中，，
由知平面，
∴，
∴梯形的面积
，
，，
平面，
，，
∴，
故，.
（2）如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则
，
由（1）得为平面的一个法向量，
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
第二种情况：若将①，③作为已知条件，
则由知平面，，
又，所以平面，，
又，故为中点，即，解答如上不变.
第三种情况：若将②，③作为已知条件，
由及第二种情况知，又，
易知，解答仍如上不变.
本题考查空间点、线、面位置关系，以及体积、直线与平面所成的角，考查计算求解能力，属于中档题.
21．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数的值，再利用数据之间的关系将、表示为，，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为，再结合得元、元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.
【详解】
（1）由题意可得，
易知，，
，
；
（2）根据题意，可得出随机变量的可能取值有、、、元，
，，
，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为.
本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由题意可知：由，求得点坐标，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，由韦达定理，由，由为锐角，则，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线斜率的取值范围．
【详解】
解：（Ⅰ）根据题意是等腰直角三角形
，
，
设由
得
则
代入椭圆方程得
椭圆的方程为
（Ⅱ）根据题意，直线的斜率存在，可设方程为
设
由得
由直线与椭圆有两个不同的交点则
即
得
又
为锐角则
即
②
由①②得或
故直线斜率可取值范围是
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
“我身边的榜样”评选选票
候选人
符号
注：
1．同意画“○”，不同意画“×”．
2．每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票．
甲
乙
丙
组别
频数

赠送的随机话费/元
概率