2025-2026学年下学期四川德阳高三数学适应性考试含答案

这是一份2025-2026学年下学期四川德阳高三数学适应性考试含答案，文件包含十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类教师版docx、十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷, 共 4 页, 考生作答时, 须将答案答在答题卡上, 在本试卷、草稿纸上答题无效. 考试结束后, 将答题卡交回.
2. 本试卷满分 150 分, 120 分钟完卷.
第I卷(选择题 58 分)
一. 选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 A={−1,0,2,3,4},B={x∣lnx≤1} ,则 A∩B=
A. (0,e] B. {−1,0,2} C. {2} D. {2,3}
2. 在复平面内,复数 z=1−ii ,则 z 的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在 △ABC 中, AB=3,AC=7,BC=4 ,则 BA⋅BC=
A. 6 B. -6 C. -3 D. 3
4. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S5−S3=6 ,则 S8=
A. 36 B. 32 C. 24 D. 18
5. 德阳市教育行政部门近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往阿坝、若尔盖、越西三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排 1 名专家的方法数为
A. 24 B. 36 C. 72 D. 81
6. 已知函数 fx=ex+x,gx=lnx+x,hx=x−sinx 的零点分别为 a、b、c ,则
A. a>b>c B. b>c>a
C. c>a>b D. b>a>c

7. 如图,函数 fx=sinωx+φω>0 的图象与直线 y=32 相交, A、B、C 是相邻的三个交点,且 BC−AB=π3 , 则 ω=
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
8. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1 的左右焦点分别为 F1,F2 ,过 F1 的直线与双曲线的左右两支分别交于 A、B ,若 △AF1F2,△BF1F2 的内切圆面积之比为 1:4,则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
二. 多项选择题:本题共3小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的.
9. 下列说法中正确的是
A. 数据0,1,2,4的极差与中位数之积为 6
B. 对随机事件 A、B ,若 PA=PB ,则 PA+B=PAB
C. 已知一组不全相同的数据 x1,x2,⋯,xn 的平均数为 x0 ,在这组数据中加入一个数 x0 后得到一组新数据的平均数还是 x0
D. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程 y=a+bx 中, b=2,x=1,y=3 ,则 a=1
10. 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AP=λAB+AD+AA1,λ∈0,1 . 则下面结论中正确的是
A. 存在 λ∈0,1 ，使得平面 A1DP// 平面 B1CD1
B. λ=13 是 AC1⊥ 平面 A1DP 的充要条件
C. S1,S2 分别是 △A1DP 在平面 A1B1C1D1 ,平面 BB1C1C 上的投影图形的面积,对任意 λ∈0,1 ,都有 S1≠S2
D. 任意 λ∈0,1 ， △A1DP 的面积不等于 26
11. 已知函数 fx=x−1x−2⋯x−2026,x∈R,f′x 是 fx 的导数,下列结论正确的是
A. fx 的图象是轴对称图形 B. fx 的极大值点和极小值点个数相同
C. f′2026=2025 ! D. 方程 f′x=fx 有根
第II卷(非选择题 92 分)
三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 1x−x10 展开式中 x2 的系数等于_____.
13. 过点 D0,1 的直线交抛物线 C:x2=y 于 P,Q 两点,直线 l 过点 P 且与 C 相切,则直线 l 与直线 OQ 斜率之积为_____.
14. 在平面直角坐标内 O 为坐标原点),已知 A1,0,B45,−35 ,将 B 绕 O 沿逆时针方向旋转 60∘ 到点 C ，设 ∠AOC=α ，则 3cs2α2−sinα2csα2−32 的值为_____. 四. 解答题: 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题 13 分)
针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法, 分别抽取了男生和女生各 100 名作为样本, 调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图.

(1)根据等高堆积条形图，填写下列 2×2 列联表，并依据 α=0.010 的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联；
(2)已知该校男生女生人数之比为4:5，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取 1 名学生，已知该生喜欢人工智能应用，求该生为女生的概率.
参考公式: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,其中 n=a+b+c+d .
16. (本题 15 分)
已知数列 an 中, a1=43,an+1=23−ann∈N∗ .
(1)求 a2,a3 ；
(2)设 bn=2−anan−1 ，证明:数列 bn 是等比数列；
(3)记 cn=an+1−12−an ，求数列 cn 的前 n 项和 Sn .
17.(本题 15 分)
如图，已知两个四棱锥 P1−ABCD 与 P2−ABCD 的公共底面是边长为2的正方形，顶点 P1,P2 在底面的同侧. 棱锥的高 P1O1=P2O2=3,O1,O2 分别为 AB,CD 的中点， P1D 与 P2A 交于点 E,P1C 与 P2B 交于点 F .

(1)证明: EF// 平面 ABCD ；
(2)求二面角 A−EF−C 的平面角的正弦值.
(3)求多面体 ABCDEF 外接球的面积.
18.(本题 17 分)
已知函数 fx=ex+1−alnax+a .
(1)当 a=1 时，求函数 fx 在 x=1 处的切线方程；
(2)若 fx≥0 恒成立，求 a 的取值范围；
(3)证明: en−1e−1≥lnn!+nn∈N∗ .
19.(本题17分)
已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32 ，左顶点为 A ，下顶点为 B ， △AOB 的面积为 1O为坐标原点 .
(1)求椭圆的方程；
(2)点 P 为椭圆上任意一点，以 P 为圆心 PO 为半径的圆与以椭圆焦点 F 为圆心半径为 rr>0 的圆的公共弦为 MN ，是否存在 r ，使得 △FMN 的面积为定值(与点 P 无关)？若存在， 求出 r 及 △FMN 的面积; 否则说明理由.
(3)事实上(2)的结论对任意椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 都成立，写出该结论(不需要证明).
高三年级适应性练习 数学参考答案及评分标准
一. 单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
二. 多项选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有几项是符合题目要求的.)
三.填空题(本题共3小题，每小题 5 分，共 15 分)
12.45 13. -2
14. 35
四. 解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 解:(1)由题意，根据等高堆积条形图，完成 2×2 列联表如下:
零假设为 H0 : 该校学生的性别与是否喜欢 AI 应用没有关联,
因为 χ2=20075×45−55×252100×100×130×70≈8.791>6.635=x0.010 ,
所以依据小概率值 α=0.010 的独立性检验,我们推断 H0 不成立,即能认为该校学生的性别与喜欢人工智能应用有关联 7 分 (2)设事件A为“抽取的学生为女生”，事件B为“抽取的学生喜欢AI应用”.
由题意有 PA=59,PA=49
样本中男生喜欢 AI 应用的频率为 0.75 ，女生喜欢 AI 应用的频率为 0.55 ，以此作为概率； 则 PB∣A=0.55,PB∣A=0.75 9 分
由全概率公式:
PB=PAPB∣A+PAPB∣A=59×0.55+49×0.75=2336 11 分
由贝叶斯公式有 PA∣B=PAPB∣APB=59×0.552336=1123 .
所以该生为女生的概率为 1123 13 分
16. 解: (1) 由 a1=43,an+1=23−an 得: a2=65,a3=109 3 分
(2) an+1−1=23−an−1=an−13−an,2−an+1=2−23−an=4−2an3−an ,
所以 2−an+1an+1−1=2×2−anan−1 ,即 bn+1bn=2 ,且 b1=2−a1a1−1=2≠0 .
故数列 bn 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 9 分
(3)由(2)知: 2−anan−1=2n ，所以 an=12n+1+1 .
所以 cn=an+1−12−an=12n+1+1×1−12n+1=2n2n+1+12n+1=12n+1−12n+1+1 . 所以 Sn=12+1−122+1+122+1−123+1+⋯+12n+1−12n+1+1=13−12n+1+1 15 分
17. 解:(1)由题意 P1O1⊥ 平面 ABCD 、 P2O2⊥ 平面 ABCD
所以 P1O1//P2O2 且 P1O1=P2O2 ,故四边形 P1O1O2P2 是平行四边形.
故 P1P2//O1O2 且 P1P2=O1O2,O1,O2 分别为 AB,CD 的中点,
所以 P1P2//AD 且 P1P2=AD 即四边形 P1ADP2 是平行四边形.
所以 E 为 P2A 的中点,同理 F 为 P2B 的中点,故 EF//AB ,
且 EF⊄ 平面 ABCD,AB⊆ 平面 ABCD
所以 EF// 平面 ABCD 5分
(2)由题意可知: O2D ， O2O1 ， O2P2 两两垂直，以 O2 为原点，以 O2D ， O2O1 ， O2P2 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O2−xyz ,如图所示,

则 D1,0,0,C−1,0,0,P10,2,3,A1,2,0,B−1,2,0,P20,0,3 . 设平面 P1CD 的法向量 m=x,y,z ,
则 m⋅P1C=x,y,z⋅−1,−2,−3=−x−2y−3z=m⋅P1D=x,y,z⋅1,−2,−3=x−2y−3z=0
取 m=0,3,−2 .
设平面 P2AB 的法向量 n=a,b,c ,
则 n⋅P2A=a,b,c⋅1,2,−3=a+2b−3c=0n⋅P2B=a,b,c⋅−1,2,−3=−a+2b−3c=0
取 n=0,3,2 . 9 分
所以 cs⟨m,n⟩=m⋅nmn=−17 .
故二面角 A−EF−C 的平面角的正弦值为 437 11 分
(3)设多面体 ABCDEF 外接球的球心为 G ,因为 G 到 A、B、C、D 四点距离相等
故 G 的坐标可设为 0,1,t ,所以只要 GA=GE 即可.
由 (2) 知 E12,1,32 ,所以外接球半径 r=t2+2=t−322+14
解得 t=−33 ,故 r2=73 .
所以多面体 ABCDEF 外接球的面积为 28π3 15 分
18. 解: (1) 当 a=1 时, fx=ex+1−lnx+1 ,所以 f′x=ex+1−1x
故 f′1=e2−1 ,函数 fx 在 x=1 处的切线方程为 y−e2−1=e2−1x−1 .
整理得: y=e2−1x+2 4 分
( 2 )若 a0,f′x=ex+1−axx>0 ,易知 f′x 在 0,+∞ 上单增
且 f′a=ea+1−1>0 ,当 x→0+ 时, f′x→−∞
所以 ∃x0∈0,+∞ 使得 f′x0=ex0+1−ax0=0 即 a=x0ex0+1
且 fx 在 0,x0 上单减，在 x0,+∞ 上单增，
所以 fx≥fx0 ,要使 fx≥0 恒成立,只要 fx0≥0 即可 7分
由 fx0=ex0+1−alnax0+a=ex0+1−alna−alnx0+a 且 a=x0ex0+1
所以 fx0=ax0−alna−alnx0+a≥0 ,即 1x0−lna−lnx0+1≥0 ,
由 a=x0ex0+1 有 lna=lnx0+x0+1 带入上式有: 2lnx0+x0−1x0≤0 .9分
令 gx0=2lnx0+x0−1x0 ,则 g′x0=2x0+1+1x02=x0+12x02>0
所以 gx0 在 0,+∞ 单增且 g1=0 ,故要使 gx0≤0=g1 ,必有 x0∈(0,1] .
又 a=x0ex0+1 在 (0,1] 单增,所以 a 的取值范围为 0,e2 13 分
(3)由(2)知当 a=e2 时， fx≥0 恒成立，即 ex+1−e2lne2x+e2≥0
化简得: ex−1≥lnx+1 ,令 x=kk=1,2,3,⋯,n
有 ek−1≥lnk+1k=1,2,3,⋯,n
将这 n 个同向不等式相加得: e0+e1+⋯+en−1≥ln1+1+ln2+1+⋯+lnn+1
整理得: 1−en1−e≥lnn!+n ,即所证不等式成立 17 分
19. 解: (1) 由题意得: ca=32,ab=2 解得: a=2,b=1 .
所求椭圆为 x24+y2=1 4分
(2)设 Px0,y0 ，则 x0​24+y0​2=1 ，
则以 P 为圆心 PO 为半径的圆的方程为 x−x02+y−y02=x02+y02 ,
即 x2+y2−2x0x−2y0y=0
以 F−3,0 为圆心半径为 r 的圆的方程为 x+32+y2=r2 .
所以公共弦为 MN 的方程为: 2x0+23x+2y0y+3−r2=0 8 分
那么 F 到 MN 的距离 d=−32x0+23+3−r22x0+232+2y02=−23x0−3−r22x0+232+4−x02= −23x0−3−r23x02+83x0+16=23x0+3+r23x0+4 10 分
要使得 △FMN 的面积为定值(与点 P 无关)，只需 d=23x0+3+r23x0+4 与 x0 无关，
所以 3+r2=8 ,即 r=5 .
此时 d=2 ,所以 MN=2r2−d2=2 ,故 △FMN 的面积为 2 13 分
(3)以椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上任意点 P 为圆心， PO 为半径的圆与以椭圆焦点 F 为圆心半径为 a2+b2 的圆的公共弦为 MN ,则 ΔFMN 的面积为定值 ab 17 分性别
是否喜欢人工智能应用
合计
是
否
男生
女生
合计
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
B
B
C
D
题号
9
10
11
答案
ACD
ABD
ACD
性别
是否喜欢人工智能应用
合计
是
否
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200