2025-2026学年下学期湖北随州高三数学模拟含答案

这是一份2025-2026学年下学期湖北随州高三数学模拟含答案，文件包含十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类教师版docx、十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 A=x∣x2−3≤0,B={x∣x−1>0} ,则 A∪B=
A. −3,+∞ B. 1,3 C. [−9,+∞) D. (−∞,3]
2. 复数 z=41−i+3i3 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列双曲线的两条渐近线互相垂直的是
A. x24−y22=1 B. x22−y24=1 C. y22−x22=1 D. y22−x24=1
4. 已知定义域为 R 的奇函数 fx 的周期为 8,则下列结论一定成立的是
A. f9=0 B. f10=0 C. f11=0 D. f12=0
5. 已知 a>0,b>0 ,则 “ a+b>2 ” 是 “ 1a+1b0 ,函数 fx=lnx−ax+b 的最大值为 0,则 a 的最小值为
A. 1e B. 12 C. 1 D. e
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 2x−18+mx2−1n=a2x7+a6x6+⋯+a1x+a0 ,则
A. m=−256 B. a0=1
C. a1+a2+⋯+a6+a7=256 D. a1+a3+a5+a7=1−382
10. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,下列各组条件中,能使得 △ABC 存在且唯一的是
A. A=π4,B=π3,△ABC 外接圆的半径为 1
B. A=π4,csB=−45,b=5
C. A=π4,a=3,b=2
D. A=π4,b=3,c=2
11. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ， Ax0,y0 为 C 上一点， B 是圆 E:x−32+ y2=4 上一点,若 AF 的最小值为 1,则下列结论正确的是
A. 当 x0=1 时, AF=2
B. AB 的最小值为 6
C. 过点 B 作直线 l 与圆 E 相切,与 C 交于 G,H 两点,若 B 为线段 GH 的中点,则这样的直线恰有 4 条
D. 过点 A 作圆 E 的两条切线,这两条切线与 C 交于 M,N 两点,若 y0=4 ,则直线 MN 的方程为 3x+4y+1=0
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在平面直角坐标系中,角 α 的终边经过点 P−22,2 ,则 tanα−π4= _____▲_____.
13. 已知正项等差数列 an 的公差为 dd≠0,Sn 为 an 的前 n 项和,若 Sn+4 是首项为 3 的等差数列,则 d= _____▲_____.
14. 如图,正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 4,P,Q 分别为 CC1,BB1 的中点,则三棱锥 P−ABD1 外接球的体积为_____▲_____，过点 Q 作三棱锥 P−ABD1 外接球的截面，该截面面积的最小值为_____▲_____.

四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知数列 an 满足 a1+a23+a332+⋯+an3n−1=2n−1 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)已知 bn=lg2an+1 ，求 1b1b2+1b2b3+⋯+1bnbn+1 .
16.(15分)
在三棱锥 A−BCD 中，平面 ABC⊥ 平面 BCD ， BC⊥CD ， AB⊥AC .
(1)证明: AB⊥ 平面 ACD .
(2)若 AB=AC=3,CD=6 ，求二面角 A−BD−C 的余弦值.

17. (15分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22 ，下顶点为 A ，右顶点为 B ， AB=3 .
(1)求 C 的方程；
(2) F 是 C 的右焦点，过点 F 的直线 l 与 C 交于 M ， N 两点(异于点 A )，若 AF 平分 ∠MAN ，求 l 的方程.
18.(17分)
已知函数 fx=aex−x2 ，其中 e 为自然对数的底数.
(1)当 a=1 时，判断 fx 的单调性.
(2)设 fx 有 3 个零点 x1,x2,x3x10}=1,+∞ ,所以 A∪B= [−3,+∞) .
2. D z=41−i+3i3=41+i1−i1+i−3i=2+2i−3i=2−i ,复数 z 在复平面内对应的点为 (2 , -1 )，位于第四象限.
3. Cy22−x22=1 的渐近线为 y=±x ,互相垂直，其他都不符合.
4.D 因为 fx 的周期为 8,所以 f4=f−4 ,又 fx 为奇函数,所以 f4=−f−4 , 则 f4=f−4=0 ,所以 f12=f4=0 .
5.B 当 a+b>2 时,令 a=2,b=13 ,则 1a+1b>2 ,充分性不成立; 当 1a+1b2 ,必要性成立. 故 “ a+b>2 ” 是 “ 1a+1b B ,与 B 为钝角矛盾,故 △ABC 不存在;
对于 C ,由 asinA=bsinB ,可得 sinB=2×223=63 ,因为 b>a ,所以 B 可能是锐角,也可能是钝角，即 △ABC 的形状不唯一；
对于 D ，由余弦定理可知 a2=b2+c2−2bccsA ，所以 a ， b ， c 的值唯一，即 △ABC 存在且唯一.
11. AD 因为 AF 的最小值为 1,所以 p2=1 ,即 p=2 . 当 x0=1 时,则 AF=1+p2=2, A 正确.
因为 y02=4x0 ,所以 AE=x0−32+y02=x0−32+4x0=x02−2x0+9= x0−12+8≥22 ,故 AB 的最小值为 22−2, B 错误.
设 Gx1,y1,Hx2,y2,Bx3,y3 ,显然始终存在两条垂直于 x 轴的直线 l . 当 l 的斜率存在,即 y3≠0 时,设 l 的斜率为 k ,则 y12=4x1,y22=4x2, 两式相减得 k=y1−y2x1−x2=4y1+y2=2y3 ,因为 l 与圆 E 相切,所以 y3x3−3=−1k ,即 x3=1,y3=0 ,不符合题意. 综上,这样的直线只有两条, C 错误.
设 My424,y4,Ny524,y5 ,易知 A4,4 ,则直线 AM 的方程为 y−4y424−4=y4−4 . x−4 ,即 4x−y4+4y+4y4=0 ,因为直线 AM 与圆 E 相切,所以 12+4y416+4+y42=2 , 化简得 3y42+16y4+4=0,12x4+16y4+4=0 ,即 3x4+4y4+1=0 ,同理可得 3x5+4y5+1 =0 ,故直线 MN 的方程为 3x+4y+1=0,D 正确.
12. -3 由题可知 tanα=2−22=−12 ,则 tanα−π4=tanα−11+tanα=−3 .
13.2 或 50 由题可知 S1+4=3 ,所以 S1=a1=5 ,所以 Sn=d2n2+a1−d2n=d2n2+5− d2n ,则 Sn+4=d2n2+5−d2n+4 . 因为 Sn+4 是等差数列,所以 Sn+4=kn +b ,则 5−d22−4×d2×4=0 ,解得 d=2 或 d=50 .
14. 56143π;8π 如图,以 D 为原点, DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 A4,0,0,D10,0,4,B4,4,0,P0,4,2,Q(4,4 ,

2). 设三棱锥 P−ABD1 外接球的球心为 Ox,y,z ,半径为 R ,则
x−42+y2+z2=R2,x−42+y−42+z2=R2,x2+y2+z−42=R2,x2+y−42+z−22=R2, 解得 x=3,y=2,z=3,R=14, 所以三棱锥
P−ABD1 外接球的体积为 43πR3=56143π . 过点 Q 作三棱锥 P−ABD1 外接球的截面,当
OQ 与截面垂直时,该截面面积最小, OQ=4−32+4−22+2−32=6 ,最小截面
圆的半径 r=R2−OQ2=22 ,故该截面面积的最小值为 πr2=8π .
15. 解: (1) 当 n=1 时, a1=1 . 2 分
当 n≥2 时, a1+a23+a332+⋯+an3n−1=2n−1 ,
则 a1+a23+a332+⋯+an−13n−2=2n−1−1 , 3 分
所以 an3n−1=2n−2n−1=2n−1 ,即 an=6n−1,n≥2 , 5 分
当 n=1 时,满足 an=6n−1 ,
所以 an 的通项公式为 an=6n−1 . 6 分
(2) bn=lg6an+1=n , 7 分
1bnbn+1=1nn+1=1n−1n+1, 9 分
1b1b2+1b2b3+⋯+1bnbn+1=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1 . 13 分
16.(1)证明:因为平面 ABC⊥ 平面 BCD ， CD⊥BC ， CD⊂ 平面 BCD ，平面 ABC∩ 平面 BCD= BC ,所以 CD⊥ 平面 ABC . 2 分
因为 AB⊂ 平面 ABC ,所以 AB⊥CD . 4 分
因为 AB⊥AC,CD∩AC=C,CD⊂ 平面 ACD,AC⊂ 平面 ACD ,
所以 AB⊥ 平面 ACD . 6 分

(2)解:(方法一)取 BC 的中点 O ，连接 OA . 在 △BCD 中，过点 O 作 OH⊥BD ，垂足为 H ，连接 AH .
因为平面 ABC⊥ 平面 BCD,OA⊥BC,OA⊂ 平面 ABC ,
平面 ABC∩ 平面 BCD=BC ,所以 OA⊥ 平面 BCD . 7 分
因为 BD⊂ 平面 BCD ,所以 OA⊥BD , 8 分
又因为 OH⊥BD,OA∩OH=O,OA⊂ 平面 OAH,OH⊂ 平面
OAH ,所以 BD⊥ 平面 OAH . 9 分
因为 AH⊂ 平面 OAH ,所以 AH⊥BD , 10 分
则 ∠AHO 为二面角 A−BD−C 的平面角. 11 分
易知 OA=OB=322 , 12 分
OH=OB×sin30∘=322×12=324, 13 分
cs∠AHO=OHAH=3243242+3222=55 .
故二面角 A−BD−C 的余弦值为 55 . 15 分

(方法二) 取 BC 的中点 O,BD 的中点 M ,连接 OA,OM ,
则 OM⊥BC,OM//CD .
因为 CD⊥ 平面 ABC,OA⊂ 平面 ABC ,所以 CD⊥OA ,所以 OM ⊥OA .
在 △ABC 中, AB=AC,O 为 BC 的中点,所以 OA⊥BC . 8 分以 {OB,OM,OA} 为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A0,0,322,B322,0,0,D−322,6,0,BA=−322,0,322,BD=(−32 , 6,0) . 10 分
易知平面 BCD 的一个法向量为 n=0,0,1 . 11 分
设平面 ABD 的法向量为 m=x,y,z ,则 m⋅BA=0,m⋅BD=0, 即 −322x+322z=0,−32x+6y=0.
取 x=1 ,得平面 ABD 的一个法向量为 m=1,3,1 , 13 分
则 cs⟨n,m⟩=n⋅mnm=15=55 . 14 分
又二面角 A−BD−C 的平面角为锐角,所以二面角 A−BD−C 的余弦值为 55 . 15 分
17. 解:(1)由题可知 ca=22,a2+b2=3,a2=b2+c2, 2 分
解得 a=2,b=1,c=1 , 4 分
所以 C 的方程为 x22+y2=1 . 5 分
(2)由(1)可知 F1,0 ， A0,−1 . 当 l 与 x 轴重合时，显然不符合题意. 6 分
设直线 l 的方程为 x=my+1,Mx1,y1,Nx2,y2 .
由 x=my+1,x2+2y2=2, 得 m2+2y2+2my−1=0 .
由韦达定理得 y1+y2=−2mm2+2,y1y2=−1m2+2 , 8 分
直线 AF 的斜率 k=1 . 9 分
易知直线 AM,AN 的斜率均存在,分别设为 k1,k2 .
因为 AF 平分 ∠MAN ,所以可设 ∠MAF=∠NAF=θ ,则令 k1=tanπ4+θ,k2= tanπ4−θ ,化简可得 k1k2=1 . 11 分
k1k2=y1+1y2+1x1x2=y1+1y2+1my1+1my2+1=m2−2m+121−m2=1, 13 分
解得 m=−13 ,即直线 l 的方程为 3x+y−3=0 . 15 分
18.(1)解:当 a=1 时， fx=ex−x2,x∈R ，令 gx=f′x=ex−2x ，
当 g′x=ex−2=0 时，解得 x=ln2 , 2 分
易知 gx 在 −∞,ln2 上单调递减，在 ln2,+∞ 上单调递增，
则 gx≥gln2=2−2ln2>0 , 4 分
即 f′x>0 ,故 fx 在 R 上单调递增. 5 分
(2)(1)解:令 fx=aex−x2=0 ，则 a=x2ex ，令 ℎx=x2ex ，则 ℎ′x=x2−xex ，
当 ℎ′x=0 时，解得 x=0 或 x=2 , 7 分
易知 ℎx 在 −∞,0 和 2,+∞ 上单调递减，在 0,2 上单调递增.
ℎ0=0,ℎ2=4e2 ,当 x→−∞ 时, ℎx→+∞ ,当 x→+∞ 时, ℎx→0 ,

结合函数 y=ℎx 的图象可得,当 a=x2ex 有 3 个根时, 0< a