2025-2026学年下学期浙江杭州地区含周边重点中学高二数学期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期浙江杭州地区含周边重点中学高二数学期中试卷含答案，文件包含十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类教师版docx、十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
考生须知:
1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟;
2. 答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试卷上无效;
4. 考试结束后, 只需上交答题卷。
第 I 卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知复数 z 满足 1−i⋅z=2 ,则 z=
A. 2 B. 2 C. 22 D. 4
2. 已知全集 U=R ，集合 A=x x2−2x>0,B={1,2,3} ，则 ∁UA∩B=
A. {1} B. {3} C. {1,2} D. {2,3}
3. 已知向量 a=1,1,b=1,−1 ，若 a+λb//a+μb ，则
A. λ+μ=0 B. λ−μ=0
C. λμ+1=0 D. λμ−1=0
4. 下列椭圆中, 形状最接近于圆的是
A. x22+y2=1 B. x22+y23=1
C. x24+y23=1 D. x24+y25=1
5. 已知 a∈R ,函数 fx=2x2ax+1 是偶函数,则 a=
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
6. 已知 sinθ+csθ=2sinα,sinθcsθ=sin2β ,则
A. 4cs22α=cs22β B. 4sin22α=sin22β
C. 2cs22α=cs22β D. 2sin22α=sin22β
7. 直线 2x−y+m=0m>0 与圆 O:x2+y2=4 相交于 A,B 两点,当 △OAB 面积最大时, m 的值为
A. 2 B. 5 C. 10 D. 4
8. 设 a>0,b>0 , e 是自然对数的底数,则下列结论正确的是
A. 若 ea−2a=eb−3b ,则 a>b B. 若 ea−2a=eb−3b ,则 ab D. 若 lnab=b−sina ,则 a2026 ，则 k 的最小值为 67
第 II 卷
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知某圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，则该圆锥的体积为_____▲_____.
13. 若多项式 x2+x5=a0+a1x−1+a2x−12+⋯+a5x−15 ，则 a3= _____▲_____.
14. 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F ,过 F 作一条直线与抛物线交于 A,B 两点, O 为坐标原点, ΔOAB 的外接圆与 x 轴的另一个交点为 T ，则 OT 的取值范围为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)已知等差数列 an 满足 a2=3,a3+a4+a5=15 ，数列 bn 的前 n 项和为 Sn 满足 2Sn+1=4bn,n∈N∗ .
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)设 cn=an⋅bn ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn .
16. (本小题满分 15 分) 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 b2+c2−a2=2bc , 3bsinC=c1+csB .
(1)求 A,B ；
(2)若 AC 上一点 D 满足 BD⊥AC ,且 BD=1 ,求 △ABC 的面积.
17. (本小题满分 15 分) 如图 1, ΔADE 为正三角形，四边形 ABCD 为等腰梯形， AD//BC ， AB=BC=CD=1,AD=2 ,现将 △ADE 沿 AD 翻折到 △ADP ,使 PC=102 ,如图 2 所示.
(1)证明:平面 PBC⊥ 平面 ABCD ；
(2)设 M 为侧棱 PC 上一个动点，若二面角 M−BD−C 的余弦值为 55 ，求 AM 的长.

图 1

图 2
18. (本小题满分 17 分) 设双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 F ，已知 F 到一条渐近线的距离为 1,过 F 且垂直于 x 轴的直线被 C 所截得的弦长为 2 .
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)设 Px0,y0 是双曲线 C 上一点，已知双曲线 C 在 P 处的切线 l 的方程为 x0xa2−y0yb2=1 .
(i) 已知 l 分别交两条渐近线于 M,N 两点,求证: △OMN 的坐标原点) 面积是定值;
(ii) 若 P 在第一象限,设 l 与直线 x=a 交于点 Q ,证明: FQ 平分 ∠OFP .
19. (本小题满分 17 分) 已知函数 fx=eax+b1−csx,a,b∈R , e 是自然对数的底数.
(1)若 a=b=1 ，判断 fx 在区间 0,+∞ 上的单调性，并说明理由；
(2)若 a=1 ， b>0 ，证明: gx=fx−eπ2x 在区间 0,π 上有唯一极小值点 x0 ，且 fx00 ， fπ=e13+2b0 ， f3π=e+2b0,fπ=e13−2ex3π−1>0 ∴x∈x1,π 时， ℎx>0 恒成立；
② 当 x∈π,43π 时， ℎ′x=13πex3π+csx