毕节市2025-2026学年高三适应性调研考试数学试题（含答案解析）

这是一份毕节市2025-2026学年高三适应性调研考试数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知复数，则，在中，角所对的边分别为，已知，，已知集合，则集合，复数的共轭复数为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的展开式中的系数为( )
A．－30B．－40C．40D．50
2．已知复数，满足，则（ ）
A．1B．C．D．5
3．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．2
6．在中，角所对的边分别为，已知，．当变化时，若存在最大值，则正数的取值范围为
A．B．C．D．
7．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
8．复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
9．设为自然对数的底数，函数，若，则( )
A．B．C．D．
10．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ）
A．B．C．D．
11．若复数满足，则( )
A．B．C．D．
12．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的取值范围是_____．
14．函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____．
15．已知是第二象限角，且，，则____.
16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:
①的值域为;
②;
③;
④
其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆C的离心率为且经过点
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点(0，2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B，以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上，求直线l的方程.
18．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.
（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．
20．（12分）椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点.为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值.
21．（12分）在以为顶点的五面体中，底面为菱形，，，，二面角为直二面角.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
22．（10分）如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
先写出的通项公式，再根据的产生过程，即可求得.
【详解】
对二项式，
其通项公式为
的展开式中的系数
是展开式中的系数与的系数之和.
令，可得的系数为；
令，可得的系数为；
故的展开式中的系数为.
故选：C.
本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.
2．A
【解析】
首先根据复数代数形式的除法运算求出，求出的模即可．
【详解】
解：，
，
故选：A
本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．
3．D
【解析】
先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.
【详解】
因为，故，
当时，，故在区间上单调递减；
当时，，故在区间上单调递增；
当时，令，解得，
故在区间单调递减，在区间上单调递增.
又，且当趋近于零时，趋近于正无穷；
对函数，当时，；
根据题意，对，且，使得成立，
只需，
即可得，
解得.
故选：D.
本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.
4．B
【解析】
设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体的棱长为，设为的中点，
以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则可得，，取的三等分点、如图，
则，，，，
所以、、、、，
由题意设，，
和都是等边三角形，为的中点，，，
，平面，为平面的一个法向量，
因为与平面所成角为定值，则，
由题意可得，
因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，
，可得，此时，则，.
故选：B.
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
5．C
【解析】
根据复数模的性质即可求解.
【详解】
,
,
故选：C
本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.
6．C
【解析】
因为，，所以根据正弦定理可得，所以，，所以
，其中，，
因为存在最大值，所以由，可得，
所以，所以，解得，所以正数的取值范围为，故选C．
7．D
【解析】
弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.
【详解】
因，所以，故，又， ，则，
故集合.
故选：D.
本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.
8．D
【解析】
直接相乘，得，由共轭复数的性质即可得结果
【详解】
∵
∴其共轭复数为.
故选：D
熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.
9．D
【解析】
利用与的关系，求得的值.
【详解】
依题意，
所以
故选：D
本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.
10．C
【解析】
需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，
，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【详解】
如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，
所以，，，，
所以.
故选：C
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题
11．C
【解析】
化简得到，，再计算复数模得到答案.
【详解】
，故，
故，.
故选：.
本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.
12．B
【解析】
先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.
【详解】
令，则当时，，
又，所以为偶函数，
从而等价于，
因此选B.
本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
计算出角的取值范围，结合正弦定理可求得的取值范围.
【详解】
，则，所以，，
由正弦定理，.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．
14．1.
【解析】
求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．
【详解】
函数的图象在处的切线与直线垂直,
函数的图象在的切线斜率

本题正确结果：
本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．
15．
【解析】
由是第二象限角，且，可得，由及两角和的正切公式可得的值.
【详解】
解：由是第二象限角，且，可得，，
由，可得，代入，
可得，
故答案为：.
本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性.
16．②
【解析】
根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③，由定义求得比小的有理数个数，即可确定④.
【详解】
对于①，由定义可知，当为有理数时；当为无理数时，则值域为，所以①错误；
对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足，所以②正确；
对于③，因为，当为无理数时，可以是有理数，也可以是无理数，所以③错误；
对于④，由定义可知
，所以④错误；
综上可知，正确的为②.
故答案为：②.
本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及列方程，由此求得，进而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到，由此求得点的坐标，将的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线的斜率，由此求得直线的方程.
【详解】
（1）由椭圆的离心率为，点在椭圆上，所以，且
解得，所以椭圆的方程为．
（2）显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，设，由消去得，
所以，
由已知得，所以，由于点都在椭圆上，
所以，
展开有，
又，
所以，
经检验满足，
故直线的方程为.
本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.
18．（1）存在；详见解析（2）
【解析】
（1）利用面面平行的性质定理可得，为上靠近点的三等分点，中点，证明平面平面即得；
（2）过作交于，可得两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出长，写出各点坐标，用向量法求二面角．
【详解】
解：（1）当为上靠近点的三等分点时，满足面.
证明如下，取中点，连结.
即易得所以面面，即面．
（2）过作交于
面，
两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
设面法向量，则，即
取
同理可得面的法向量
综上可知锐二面角的余弦值为．
本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角．线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握：立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的．求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．
19．（1）分布列见解析,
（1）
【解析】
（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；的可能取值为0，1，1，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.
（1）先求得年龄在内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出，令，化简后可证明其单调性及取得最大值时的值．
【详解】
（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，
年龄在的人数为人，
年龄在内的人数为人．
年龄在内的人数为人．
所以的可能取值为0，1，1．
所以，
，
，
所以的分市列为
．
（1）设在抽取的10名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，
所以，
所以．
设，
若，则，；
若，则，．
所以当时，最大，即当最大时，．
本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.
20．（1）（2）最大值.
【解析】
（1）根据通径和即可求
（2）设直线方程为，联立椭圆，利用，用含的式子表示出，用换元，
可得，最后用均值不等式求解.
【详解】
解：（1）依题意有，，，所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，联立，得.
所以，.
所以
.
令，则，
所以，因，则，所以，当且仅当，即时取得等号，
即四边形面积的最大值.
考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.
21．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结，证明平面得到答案.
（Ⅱ）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结
因为为菱形，所以.
因为，所以.
因为二面角为直二面角，所以平面平面，
且平面平面，所以平面所以
因为
所以是平行四边形，所以.
所以，所以，所以平面，
又平面，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知两两垂直，分别以为轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
设
设平面的法向量为，由，
取.
平面的法向量为 .
所以二面角余弦值为.
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；
（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.
【详解】
（1）在等腰梯形中,
点E在线段上,且,
点E为上靠近C点的四等分点,
,,,
,
点P在底面上的射影为的中点G,连接,
平面,
平面,.
又,平面,平面,
平面.
（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
由（1）易知,,,
又,,
,为等边三角形,,
则,,,,,
,,,,
设平面的法向量为,
则，即,
令,则,,,
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,,,
设平面与平面的夹角为θ,则
二面角的余弦值为.
本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.
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