2026年八年级数学下册期中真题汇编 专题02 不等式与不等式组

这是一份2026年八年级数学下册期中真题汇编 专题02 不等式与不等式组，共14页。
考点02不等式的基本性质
考点03一元一次不等式（组）的定义
考点04 解一元一次不等式（组）
考点05 根据一元一次不等式的解集求参数
考点06 根据一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围
考点07 根据一元一次不等式组的解集情况求参数的取值范围
考点08 整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数的取值范围
考点09 一元一次不等式（组）与一次函数的综合问题
考点10 用一元一次不等式与不等式组的解决实际问题
考点11 不等式与不等式组中的新定义型问题
1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列选项中，不是不等式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25七年级下·河南周口·期中）若是不等式，则符号“□”不能是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
4．（24-25七年级下·上海·期中）不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件：_________．
5．（24-25七年级下·北京通州·期中）一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式__________．
地 城
考点02
不等式的基本性质
6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（25-26八年级下·全国·期中）若，则下列各式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若，则______（填“”或“”）．
10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则的取值范围为_______．
地 城
考点03
一元一次不等式（组)的定义
11．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是()
A．B．C．D．
12．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为________．
15．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）已知是关于x的一元一次不等式，那么______，不等式的解集是_______．
地 城
考点04
解一元一次不等式（组）
16．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）不等式组的解集是______．
17．（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式（组）：
(1)；
(2)．
18．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式（组）：
(1)
(2)
19．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解不等式（组）：
(1)；
(2)
20．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组．
地 城
考点05
根据一元一次不等式的解集求参数
21．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
A．0B．C．D．
22．（24-25七年级下·河南周口·期中）关于x的不等式组的解集是，那么a的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
23．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是______．
24．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________．
25．（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数．
(1)求m的取值范围．
(2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？
地 城
考点06
根据一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围
26．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
27．（24-25八年级上·山西太原·期中）在不等式组的解集中，整数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
28．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是________．
29．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是____．
30．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）解不等式组：，并求出它的所有整数解之和．
地 城
考点07
根据一元一次不等式组的解集情况求参数的取值范围
31．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
32．（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________．
33．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________．
34．（25-26八年级上·北京房山·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值．
35．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于的不等式组
(1)若，请判断是不是该不等式组的解，并说明理由．
(2)若该不等式组有解，求的取值范围．
(3)若该不等式组所有整数解的和为，求的取值范围．
地 城
考点08
整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数的问题
36．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）若方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
37．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
38．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知关于、的方程组
①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③若，则；④无论取何值，、的值都不可能互为相反数．
以上结论正确的是________．（只填序号）
39．（24-25七年级下·四川眉山·期中）在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为．
(1)求的正确值；
(2)求不等式的正整数解．
40．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立．
(1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”；
①；②；③；
(2)已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围；
(3)已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围．
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考点09
一元一次不等式（组）与一次函数的综合问题
41．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
42．（25-26八年级上·广西梧州·期中）一次函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
43．（25-26八年级下·全国·期中）如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是________．
44．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是________．
45．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点，一次函数与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
地 城
考点10
用一元一次不等式与不等式组解决实际问题
46．（24-25七年级下·全国·期中）某校举行知识竞赛，共有道抢答题，答对一题得分，答错或不答扣分，要使总得分不少于分，则至少应该答对（ ）
A．19道B．20道C．21道D．22道
47．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
48．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．
(1)若购买这两种学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？
(2)若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
49．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元，请设计购买方案．
50．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件．
(1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？
(2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和．
①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示）
②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？
地 城
考点11
不等式与不等式组中的新定义型问题
51．（24-25七年级下·福建漳州·期中）定义新运算，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
52．（24-25八年级下·江西九江·期中）对于任意实数m，n，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法送算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，则x的取值范围是______．
53．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：．
(1)计算：；
(2)请根据上述定义解不等式．
54．（24-25七年级下·福建泉州·期中）对、定义一种新运算，记为：．
(1)若，如：，则________；
(2)若，（其中、为常数），且，．
①求、的值；
②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围．
55．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题：
(1)__________，当时，__________；
(2)若，求的取值范围；
(3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________．
专题02 不等式与不等式组
11大高频考点概览
考点01不等式的概念理解
考点02不等式的基本性质
考点03一元一次不等式（组）的定义
考点04 解一元一次不等式（组）
考点05 根据一元一次不等式的解集求参数
考点06 根据一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围
考点07 根据一元一次不等式组的解集情况求参数的取值范围
考点08 整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数的取值范围
考点09 一元一次不等式（组）与一次函数的综合问题
考点10 用一元一次不等式与不等式组的解决实际问题
考点11 不等式与不等式组中的新定义型问题
地 城
考点01
不等式的概念理解
1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列选项中，不是不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义：用不等号（如、、、、）连接的式子是不等式，判断各选项是否含有不等号．
【分析】解：A：，含不等号，是不等式．
B：，仅为多项式，不含任何不等号，不是不等式．
C：，含不等号，是不等式．
D：，含不等号，是不等式．
故选：B
2．（24-25七年级下·河南周口·期中）若是不等式，则符号“□”不能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义判断即可．熟练掌握用符号“”或“”或“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式．
【详解】解：∵，，，都是不等式，
∴选项A，B，C都不符合题意；
∵不是不等式，
∴选项D符合题意．
故选：D．
3．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的定义，掌握含有不等号（如＞、＜、≠、≥、≤）的式子是不等式成为解题的关键．
根据不等式的定义逐个判断即可解答．
【详解】解：①，含“＞”号，属于不等式；
②，含“＞”号，属于不等式；
③，含“=”号，属于等式，不是不等式；
④是代数式，不属于不等式；
⑤，含“≠”号，属于不等式；
⑥，含“＞”号，属于不等式．
综上，属于不等式的有①、②、⑤、⑥，共4个．
故选C．
4．（24-25七年级下·上海·期中）不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件：_________．
【答案】/
【分析】本题考查不等式的定义，熟练根据题意转换为的范围是解题的关键．利用不超过的最大整数是，分别探索上限和下限即可得出结果．
【详解】解：由不超过的最大整数是，
当时，不超过的最大整数小于；
当时，不超过的最大整数大于等于；
当时，不超过的最大整数是，
故答案为：．
5．（24-25七年级下·北京通州·期中）一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式__________．
【答案】
【分析】本题考查列不等式．理解题意，找出数量关系是解题关键．根据题意列出不等式即可．
【详解】解：根据题意可列不等式为：．
故答案为：．
地 城
考点02
不等式的基本性质
6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
根据不等式的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由，得到，原写法错误，不符合题意；
B、由，得到，原写法正确，符合题意；
C、由，得到，原写法错误，不符合题意；
D、由，得到，原写法错误，不符合题意；
故选：B．
7．（25-26八年级下·全国·期中）若，则下列各式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、，
，故本选项不符合题意；
B、，
，故本选项符合题意；
C、，
，故本选项不符合题意；
D、，
，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．若，则，故选项不成立，不符合题意；
B．若，则，故选项不成立，不符合题意；
C．若，则，故选项成立，符合题意；
D．若，则，故选项不成立，不符合题意．
故选：C．
9．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若，则______（填“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，且，则的取值范围为_______．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键．先根据不等式的性质可得，再解不等式即可得．
【详解】解：∵，且，
∴，
解得，
故答案为：．
地 城
考点03
一元一次不等式（组)的定义
11．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是()
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的定义；一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．根据定义，逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵A项中含有两个未知数k和b，∴不是一元一次不等式．
∵B项中只含有一个未知数t，且t的次数为1，且为不等式，∴是一元一次不等式．
∵C项是方程，不是不等式，∴不符合．
∵D项中没有未知数，∴不是一元一次不等式．
∴属于一元一次不等式的是B项．
故选：B．
12．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可．
【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
13．（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可．
【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意；
B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意；
C．，是一元一次不等式组，故符合题意；
D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意；
故选：C．
14．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可得，则，再解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴，
∴，
∴原不等式为，
解得，
故答案为：．
15．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）已知是关于x的一元一次不等式，那么______，不等式的解集是_______．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的概念以及一元一次不等式的求解．根据题意可知，求得值，然后代入不等式求解即可．
【详解】解：由题意可知：，
解得，
将代入得：，
解得，
故答案为：，．
地 城
考点04
解一元一次不等式（组）
16．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）不等式组的解集是______．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）即可．
【详解】解：解不等式组：
解不等式，得：，
所以不等式组的解集为．
故答案为：．
17．（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1解不等式即可
（2）先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集，然后即可求解．
【详解】（1）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
化系数为1，得；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
18．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式（组）：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：解得：，
解得：，
不等式组的解集为：．
19．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解不等式（组）：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：移项可得：，
合并同类项可得：，
系数化为1可得：；
（2）解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴原不等式组的解为：．
20．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组．
【答案】（1），数轴见解析；（2）．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识点，正确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）移项、合并同类项、系数化为，即可求出不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可；
（2）依据题意，先分别解组成不等式组的不等式，从而可以得出解集．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴．
把解集表示在数轴上，如图所示：
（2）由题意，解不等式，
∴．
∴．
解不等式，
∴．
∴．
∴原不等式组的解集为．
地 城
考点05
根据一元一次不等式的解集求参数
21．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是根据整数解的个数确定参数的取值范围．
先解不等式组，得到解集的范围，根据恰有2个整数解的条件确定m的取值范围，然后求出所有整数m的和．
【详解】解：对于不等式组：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组恰有2个整数解，且，整数解为和，
∴，
∵，得，
又∵，得，
∴m的取值范围为：，
∵为整数，
∴，
所有符合条件的整数m的和为：，
故选：D．
22．（24-25七年级下·河南周口·期中）关于x的不等式组的解集是，那么a的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出答案．
【详解】解：解不等式得，
∵关于x的不等式组的解集是，
∴，
故选；B．
23．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集情况求参数，先求出不等式的解集，再根据正整数解求解即可．
【详解】解不等式，得．
∵正整数解恰是1，2，3，
∴．
故答案为：．
24．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________．
【答案】
【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法．
先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：．
25．（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数．
(1)求m的取值范围．
(2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？
【答案】(1)
(2)
整数的值是
【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围；
（2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数．
【详解】（1）解：给定方程组，
，得，
解得；
，得，
解得．
∵为非负数，为负数，
∴，
解第一个不等式，得；
解第二个不等式，得．
因此的取值范围是．
（2）解：整理不等式得，
当时，，不合题意；
当时，x不存在；
当时，，
此时，
结合（1）中，可得．
因此范围内的整数为．
地 城
考点06
根据一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围
26．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，在数轴上表示不等式的解集，根据数轴可得，再由不等式有三个非负整数解得到这三个非负整数解是0，1，2，据此可得答案．
【详解】解析：由数轴可得，，
该不等式恰有三个非负整数解，这三个非负整数解是0，1，2，
．
故选：B．
27．（24-25八年级上·山西太原·期中）在不等式组的解集中，整数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
【答案】C
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解．解题的关键是正确求出不等式组的解集．
先求出不等式组的解集，然后再求出其范围内的整数解，即可．
【详解】解：解第一个不等式 得；
解第二个不等式 得；
∴ 不等式组的解集为 ；
∴ 整数解为 ，共4个；
故选：C．
28．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是________．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式．
先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数．
【详解】解：：
移项，得，
即，
两边同时除以2得，
即．
因此，正整数解为1、2，
故答案为：1（答案不唯一）．
29．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是____．
【答案】94
【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，
先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，并求和即可.
【详解】解：不等式组，
解不等式①，得；
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是.
∴不等式组的最大整数解是9.
∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3，
∴最小整数解是6，
∴，
解得，
∴，
则.
故答案为：94.
30．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）解不等式组：，并求出它的所有整数解之和．
【答案】解集为，整数和为
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键．
先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数求和即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
该不等式组的解集为，整数解为：3，4，5．
该不等式组的所有整数解的和为．
地 城
考点07
根据一元一次不等式组的解集情况求参数的取值范围
31．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，准确的计算是解决本题的关键．
首先解每个不等式，得到不等式组的解集，然后根据整数解的个数确定m的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式得，
解得，
解不等式得，
解得，
∵整数解有且只有2个，
∴不等式组的解集为，
∵，
∴整数解为和0，
∴，
∴，
∴，
故m的取值范围是，
故选B．
32．（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中的两个不等式，再根据解集为确定的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵数使关于的不等式组的解集为，
∴，
故答案为：．
33．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________．
【答案】24
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到的另一取值范围，求交集后得到整数的值，最后求和．
【详解】解：
不等式组的解集为，
有且仅有2个整数解，即整数解为1和2，
，
解得，
整数可为，，，，
又分式，恒成立，
，得，
满足条件的整数为，
，
故答案为：．
34．（25-26八年级上·北京房山·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的取值，同时满足两个条件的整数解即为答案．
【详解】解：，
解不等式①的解集为，
不等式②的解集为，
∵不等式组的解集为，
；
解关于的分式方程，
，
，
解得，
∵，
，
关于的分式方程的解是非负整数，
，
，，，
但时，是原方程的增根，舍去，
，，
符合条件的所有整数的所有取值为，．
35．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于的不等式组
(1)若，请判断是不是该不等式组的解，并说明理由．
(2)若该不等式组有解，求的取值范围．
(3)若该不等式组所有整数解的和为，求的取值范围．
【答案】(1)不是该不等式组的解，理由见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键．
（1）求得不等式组的解集即可判断；
（2）根据题意得到关于的不等式，解不等式即可；
（3）求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解和为，探讨得出的取值范围即可．
【详解】（1）解：若，则
解不等式组得，
不是该不等式组的解；
（2）解不等式得，，
该不等式组有解，
，
；
（3）若该不等式组所有整数解的和为，则整数解为、或、、、、，
或，
解得或．
地 城
考点08
整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数的问题
36．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）若方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，熟练掌握相关解法、表示出是解本题的关键．
将方程组中两方程相减，表示出，代入中，即可求出的范围．
【详解】解：，
得：，
，
，
，
．
故选：A．
37．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围．
【详解】解：，
由得：，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∴ 的取值范围是 ，
故选：B
38．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知关于、的方程组
①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③若，则；④无论取何值，、的值都不可能互为相反数．
以上结论正确的是________．（只填序号）
【答案】①④
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数，求不等式的解集，先求出方程组的解，再根据各选项的条件，逐一进行判断即可．
【详解】解：解，得：，
∴当时，，方程为，
把代入，得到，故①正确；
∵，
∴，故②错误；
若，则：，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故④正确；
故答案为：①④．
39．（24-25七年级下·四川眉山·期中）在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为．
(1)求的正确值；
(2)求不等式的正整数解．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的基本方法，以及解一元一次不等式．
（1）将代入即可求解；
（2）将代入，将代入，得到关于的二元一次方程组，求出，再解不等式即可．
【详解】（1）解：将代入
有，
；
（2）解：将代入，
有
将代入，
有
∴
解得：
，
解得：，
∵为正整数，
．
40．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立．
(1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”；
①；②；③；
(2)已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围；
(3)已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围．
【答案】(1)①③
(2)
(3)
【分析】（1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可；
（2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可；
（3）先解不等式组得，再由‘恰有6个整数解’的条件求得，由‘偏解方程’的定义得到，取两个范围的交集即可．
【详解】（1）解：，解得，
①成立，故符合题意；
②不成立，故不符合题意；
③成立，故符合题意，
方程是下列不等式（组）中①③的“偏解方程”，
故答案为：①③；
（2）
解得，
方程组是不等式的“偏解方程组”，
，
解得；
（3），
解得，
关于x的方程是它的“偏解方程”，
，
解得，
不等式组恰有6个整数解，
设6个整数解为k，，，，，，
由题意得，，
，
解得，
有解，
，
解得，
的整数解为或，
当时，，
，
当时，，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，解题的关键在于分类讨论．
地 城
考点09
一元一次不等式（组）与一次函数的综合问题
41．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象交点右侧直线图象在直线图象的上面，即可得出的解集．
【详解】解：∵直线和直线交于点，
∴由图象可得，不等式的解集为．
即关于的不等式的解集为．
42．（25-26八年级上·广西梧州·期中）一次函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：一次函数与的交点坐标为，
在交点P的左边，一次函数的图象在一次函数的上方，
∴关于x的不等式的解集为；
故选A．
43．（25-26八年级下·全国·期中）如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是________．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握利用函数图象求解不等式的方法是解题的关键．
不等式等价于，观察一次函数图象，找到图象在轴上方时对应的的取值范围．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点
∴当时，
∵不等式即为
∴从图象可知，当函数图象在轴上方时，
∴此时的取值范围是
∴不等式的解集是
故答案为： ．
44．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是________．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，根据两条直线的交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键．根据两条直线在交点两侧的位置回答即可．
【详解】解：函数和的图像交于点，
在直线右侧，直线在直线的上方，即，
不等式的解集为．
故答案为：．
45．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点，一次函数与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，图象法解不等式组．
（1）直接将A、B坐标代入，求解即可；
（2）分别求出C、D的横坐标，再根据图象求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数经过，两点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
令，可得，
∴C点横坐标为2，
由图象可知：当时，．
地 城
考点10
用一元一次不等式与不等式组解决实际问题
46．（24-25七年级下·全国·期中）某校举行知识竞赛，共有道抢答题，答对一题得分，答错或不答扣分，要使总得分不少于分，则至少应该答对（ ）
A．19道B．20道C．21道D．22道
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设答对题数为，则答错或不答题数为，根据得分规则列出不等式，求解的最小整数值．
【详解】解：设答对题数为，则答错或不答题数为，根据题意得：
，
解得，
为整数，
，
故至少答对道．
故选：D．
47．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可．
【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，
由题意得：，
解得，
∵x为正整数，
∴x的取值为34、35、36、37，
则不同的购买方案种数为4种．
故选：B．
48．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．
(1)若购买这两种学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？
(2)若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
【答案】(1)购买A种学习用品400件，B种学习用品600件
(2)最多购买B型学习用品800件
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式．
（1）设购买A种学习用品x件，B种学习用品y件，根据某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，购买这两种学习用品用了26000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设可以购买B型学习用品a件，则购买A型学习用品（1000﹣a）件，根据购买这批学习用品的钱不超过28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设购买A种学习用品x件，B种学习用品y件，
由题意得：，
解得：，
答：购买A种学习用品400件，B种学习用品600件；
（2）解：设可以购买B型学习用品a件，则购买A型学习用品件，
由题意得：，
解得：，
答：最多购买B型学习用品800件．
49．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元，请设计购买方案．
【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元
(2)可购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵；或甲种树苗26棵，乙种树苗74棵
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
（1）设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可；
（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，由“购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元”列出不等式组，求解即可．
【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，
根据题意得：，
解得，
答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
解得：
为正整数，
当时，，
当时，，
答：可购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵；或甲种树苗26棵，乙种树苗74棵．
50．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件．
(1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？
(2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和．
①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示）
②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？
【答案】(1)A种奖品最多买了35件；
(2)①；②36
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用．
（1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论；
（2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量；
②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，
根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为7，
∴（件）．
答：A种奖品最多买了35件；
（2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，
∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）．
故答案为：；
②根据题意得：，
解得：，
即，
又∵x，均为正整数，
∴，
∴．
答：全班有36位同学获得了B种奖品．
地 城
考点11
不等式与不等式组中的新定义型问题
51．（24-25七年级下·福建漳州·期中）定义新运算，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，观察题目当⊕时，，解这个一元一次不等式即可求得答案．熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，当时，，
解得．
故选：A．
52．（24-25八年级下·江西九江·期中）对于任意实数m，n，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法送算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，则x的取值范围是______．
【答案】/
【分析】本题考查的是新定义和一元一次不等式的整数解，正确理解新定义、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键，根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
53．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：．
(1)计算：；
(2)请根据上述定义解不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键．
（1）根据题意，展开后计算即可；
（2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可．
【详解】（1）解：，
（2）解：，
由题意得，，
去括号得，，
移项后合并同类项得，，
解得，．
54．（24-25七年级下·福建泉州·期中）对、定义一种新运算，记为：．
(1)若，如：，则________；
(2)若，（其中、为常数），且，．
①求、的值；
②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围．
【答案】(1)8
(2)①，；②
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，有理数的混合运算．
（1）利用新运算所给的等式进行计算即可；
（2）①利用新运算得到关于a，b的方程组，解得a，b的值即可；
②利用新运算得到关于m的不等式组，解得m的取值范围（含有k），根据不等式组有3个整数解的条件得到m，k的取值范围，进而求得新数n的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得：，
故答案为：8；
（2）解：①已知，
把和分别代入可得方程组：
，
解得；
②由①知，，
所以，
则不等式组可化为：
，
解第一个不等式：
，
，
，
，
解第二个不等式：
，
，
，
所以不等式组的解集为，
因为不等式组恰好有3个整数解，所以这3个整数解为0，1，2，则，
解得；
解得，
所以，
又因为，
由且，可得，
当时，；
当时，（取不到）．
所以，
即在不等式组恰好有3个整数解的条件下，n的取值范围是．
55．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题：
(1)__________，当时，__________；
(2)若，求的取值范围；
(3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据新定义即可求解；
（）由题意得， 然后解不等式即可；
（）由，得，再通过一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，当时，，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
由图象得，当时，，
∴的取值范围是．
故答案为：．