常德市2025-2026学年高三一诊考试数学试卷（含答案解析）

这是一份常德市2025-2026学年高三一诊考试数学试卷（含答案解析），共13页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知函数满足=1，则等于，已知是虚数单位，则复数等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的定义域为，且，当时，.若，则函数在上的最大值为（ ）
A．4B．6C．3D．8
3．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为( )
A．B．C．D．
4．已知函数f(x)＝,若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．已知平面，，直线满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
7．若实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
A．B．C．3D．2
8．已知函数满足=1，则等于（ ）
A．-B．C．-D．
9．已知是虚数单位，则复数（ ）
A．B．C．2D．
10． 若数列满足且，则使的的值为( )
A．B．C．D．
11．已知复数，则的虚部为（ ）
A．－1B．C．1D．
12．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知变量 (m>0)，且，若恒成立，则m的最大值________．
14．已知数列满足，，若，则数列的前n项和______．
15．抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________．
16．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，）．以坐标原点 为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（l）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，且．求直线 的方程．
18．（12分）在四边形中，，；如图，将沿边折起，连结，使，求证：
（1）平面平面；
（2）若为棱上一点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；
（2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求：
①点的极角；
②面积的取值范围.
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.
21．（12分）已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围.
22．（10分）已知六面体如图所示，平面，，，，，，是棱上的点，且满足.
（1）求证：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．
【详解】
取中点，由，可知：，
为三棱锥外接球球心，
过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，
，，，为的中点
由球的性质可知：平面，，且．
设，
，，
，在中，，
即，解得：，
三棱锥的外接球的半径为：，
三棱锥外接球的表面积为．
故选：.
本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.
2．A
【解析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得；利用定义可证明函数的单调性，由赋值法即可求得函数在上的最大值.
【详解】
函数的定义域为，且，
则；
任取，且，则，
故，
令，，则，
即，
故函数在上单调递增，
故，
令，，
故，
故函数在上的最大值为4.
故选：A.
本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.
3．B
【解析】
根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值.
【详解】
设会旗中五环所占面积为，
由于，所以，
故可得.
故选：B.
本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.
4．D
【解析】
由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直线y＝kx－和y＝ln x相切时，k＝；结合图象即可得解.
【详解】
若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，
则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，
故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．
∴k×1－＞0，解得k＞.
当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，
则k＝＝，∴m＝.
此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，
故所求k的取值范围是，
故选D..
本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．
5．B
【解析】
求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．
【详解】
由题意,对应点坐标为 ，在第二象限．
故选：B．
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．
6．A
【解析】
，是相交平面，直线平面，则“” “”，反之，直线满足，则或//或平面，即可判断出结论．
【详解】
解：已知直线平面，则“” “”，
反之，直线满足，则或//或平面，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力．
7．C
【解析】
作出可行域，直线目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】
作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1．
故选：C．
本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．
8．C
【解析】
设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.
【详解】
解：设的最小正周期为，因为，
所以，所以，
所以，
又，所以当时，，
，因为
，
整理得，因为，
，
，则
所以
.
故选：C.
本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.
9．A
【解析】
根据复数的基本运算求解即可.
【详解】
.
故选：A
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.
10．C
【解析】
因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．
11．A
【解析】
分子分母同乘分母的共轭复数即可.
【详解】
，故的虚部为.
故选：A.
本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.
12．B
【解析】
对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以，的递增区间是，
所以，即.
故选:B.
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．
【详解】
不等式两边同时取对数得，
即x2lnx1＜x1lnx2，又
即成立，
设f（x）＝，x∈（0，m），
∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，
函数的导数，
由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，
得0＜x＜e，
即函数f（x）的最大增区间为（0，e），
则m的最大值为e
故答案为：e
本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键
14．
【解析】
,求得的通项，进而求得,得通项公式，利用等比数列求和即可.
【详解】
由题为等差数列，∴,∴,∴,∴,故答案为
本题考查求等差数列数列通项，等比数列求和，熟记等差等比性质，熟练运算是关键，是基础题.
15．
【解析】
设抛物线上任意一点的坐标为，根据抛物线的定义求得，并求出对应的，即可得出结果.
【详解】
设抛物线上任意一点的坐标为，
抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，此时.
因此，抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.
故答案为：.
本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
16．8 （写为也得分）
【解析】
由，得，.当时，，所以，所以的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则，.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1)见解析(2)
【解析】
（1）将消去参数t可得直线的普通方程，利用x=ρcsθ， 可将极坐标方程转为直角坐标方程．（2）利用直线被圆截得的弦长公式计算可得答案．
【详解】
（1）由消去参数t得（），
由得曲线C的直角坐标方程为：
（2）由得，圆心为（1，0），半径为2，
圆心到直线的距离为，
∴，即，整理得
，∵，∴，，，
所以直线l的方程为：．
本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查分析能力与计算能力，属于基础题．
18．（1）证明见详解；（2）
【解析】
（1）由题可知，等腰直角三角形与等边三角形，在其公共边AC上取中点O，连接、，可得，可求出.在中，由勾股定理可证得，结合，可证明平面.再根据面面垂直的判定定理，可证平面平面.
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由点F在线段上，设，得出的坐标，进而求出平面的一个法向量.用向量法表示出与平面所成角的正弦值，由其等于，解得.再结合为平面的一个法向量，用向量法即可求出与的夹角，结合图形，写出二面角的大小.
【详解】
证明：（1）在中，
为正三角形，且
在中，
为等腰直角三角形，且
取的中点，连接
，
，
，平面
平面
平面
..平面平面
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
设.则
设平面的一个法向量为.则
，
令，解得
与平面所成角的正弦值为，
整理得
解得或(含去)
又为平面的一个法向量
，
二面角的大小为.
本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题，属于中档题.
19．（1）曲线为圆心在原点，半径为2的圆.的极坐标方程为（2）①②
【解析】
（1）求得曲线伸缩变换后所得的参数方程，消参后求得的普通方程，判断出对应的曲线，并将的普通方程转化为极坐标方程.
（2）
①将的极角代入直线的极坐标方程，由此求得点的极径，判断出为等腰三角形，求得直线的普通方程，由此求得，进而求得，从而求得点的极角.
②解法一：利用曲线的参数方程，求得曲线上的点到直线的距离的表达式，结合三角函数的知识求得的最小值和最大值，由此求得面积的取值范围.
解法二：根据曲线表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，进而求得面积的取值范围.
【详解】
（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
因为则曲线的参数方程
所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点，半径为2的圆.
所以的极坐标方程为，即.
（2）①点的极角为，代入直线的极坐标方程得点
极径为，且，所以为等腰三角形，
又直线的普通方程为，
又点的极角为锐角，所以，所以，
所以点的极角为.
②解法1：直线的普通方程为.
曲线上的点到直线的距离
.
当，即（）时，
取到最小值为.
当，即（）时，
取到最大值为.
所以面积的最大值为；
所以面积的最小值为；
故面积的取值范围.
解法2：直线的普通方程为.
因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，
因为，所以圆与直线相离.
所以圆上的点到直线的距离最大值为，
最小值为.
所以面积的最大值为；
所以面积的最小值为；
故面积的取值范围.
本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
20．（1）（2）点在以为直径的圆上
【解析】
（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设点，，则，，求出直线的方程，进而求出点的坐标，再利用中点坐标公式得到点的坐标，下面结合点在椭圆上证出，所以点在以为直径的圆上．
【详解】
（1）由题意可知，，解得，
椭圆的标准方程为：.
（2）设点，，则，，
直线的斜率为，
直线的方程为：，
令得，，
点的坐标为，，
点的坐标为，，
，，
又点，在椭圆上，
，，
，
点在以为直径的圆上．
本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．
21．
【解析】
试题分析：先将问题“ 存在实数使成立”转化为“求函数的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可获解.
试题解析：
存在实数使成立，等价于的最大值大于，
因为，
由柯西不等式：，
所以，当且仅当时取“”，
故常数的取值范围是．
考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接，设，连接.通过证明，证得直线平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的正弦值.
【详解】
（1）连接，设，连接，
因为，所以，所以，
在中，因为，
所以，且平面，
故平面.
（2）因为，，，，，所以，
因为，平面，所以平面，
所以，，
取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得，，，，
所以，因为，
所以，
所以点的坐标为，
所以，，设为平面的法向量，
则，令，解得，，
所以，即为平面的一个法向量.
，
同理可求得平面的一个法向量为
所以
所以二面角的正弦值为
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.