浙江省宁波市余姚市名校2024年中考四模数学试卷（解析版）

这是一份浙江省宁波市余姚市名校2024年中考四模数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.舟山市体育中考，女生立定跳远的测试中，以为满分标准，若小贺跳出了，可记作，则小郑跳出了，应记作（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】根据题意，小郑跳出了，应记作．
故选：A
2.据统计，2019年某市初中七年级学生为25000余人，25000用科学记数法表示为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】25000＝2.5×104．
故选：C．
3.数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由题意可得，
A、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
4.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】∵不是同类项，无法计算，
故A不合题意．
∵，
∴B不合题意．
∵，
∴C合题意．
∵，
∴D不合题意．
故选：C．
5.在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，将点向左平移个单位，得到的点的坐标为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴点，
则点向左平移个单位，得到的点的坐标为，
故选：．
6.如图所示，格点三角形放置在的正方形网格中，则的值为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】过点A作，交于点D，则，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7.如图，点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】如图：
∵C为中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8.已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】根据题意得，即，
故选：A．
9.关于二次函数（其中）有以下论述，正确的是（ ）
当时，对称轴为直线．
函数图象与轴必有两个不同的交点．
函数图象必过某一定点．
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】∵，
∴抛物线的对称轴为直线故正确；
令得，，
则，
∵，
∴，
∴函数图象与轴必有两个不同的交点，故正确；
∵，
由得，，，
由得，，
所以当时，，
即函数图象过定点，故正确，
综上可知：正确，
故选：．
10.如图，已知，M、N分别是边上动点．将沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，A的对应点为，连结、．若，，则的值为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】：如图，
连接，在上截取，作，交的延长线于点F，交于T，
设，，
∵沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，是等边三角形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.因式分解：_____
【答案】
【解析】a2-9=（a+3）（a-3），
故答案为：（a+3）（a-3）．
12.一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同之外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是__________．
【答案】
【解析】树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中两次摸出的球所标数字之和为6的可能性有2种，
∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率为，
故答案为：．
13.计算：_______．
【答案】1
【解析】原式
，
故答案为：1．
14.如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则______．
【答案】4
【解析】平分，
，
∵，
，
，
，
，，
，
于点，
，
故答案为：4．
15.等腰中，，，以C为圆心，为半径作圆弧与的边交于点D．则__________．
【答案】或
【解析】∵，，
∴，
如图，当与交于D时，
∵，
∴，
如图，当与交于D时，
∵，
∴；
∴的度数为或．
故答案为：或．
16.“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点．
（1）若，则点的坐标为________．
（2）若点的坐标为，则________．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）解：由题意可知，，，，
∴，，
∴四边形是正方形，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
∵点是反比例函数（）图象上，
∴，
解得，，（舍去），
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）可知，，
∵坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵点是反比例函数（）图象上，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）计算：；
（2）化简：．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
18.作图题：如图，在方格纸中，请按要求画出以为边的格点四边形．
（1）在图1中画出一个，使得格点为的对称中心；
（2）在图2中画出一个，使得的周长为整数且邻边不垂直．
解：（1）连接BP并延长，取BP=PD，连接AP并延长，取AP=PC，
依次连接AD，DC，CB，如图所示：
∵CD=BA，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故边形ABCD即为所求．
（2）如图所示：
，，
∵BC=AD，CD=BA，
∴四边形ABCD为平行四边形，且周长=，且邻边不垂直，
故四边形ABCD即为所求．
19.如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
解：（1）∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为．
20.小海准备购买一辆新能源汽车，在预算范围内，他打算从甲、乙两款汽车中购买一辆，为此，小海收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下：
表一：甲、乙两款汽车的四项得分数据统计表
表二：甲，乙两款汽车的满意度得分统计表（满分10分）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若小海认为汽车四项的重要程度有所不同，而给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项得分的占比为2：3：3：2，请你帮小海计算甲、乙两款汽车的平均分．
（2）结合（1）的结论和甲、乙两款汽车满意度得分的众数和中位数，你建议小海购买哪款汽车？请详细说明你的理由．
解：（1）甲款：，
乙款：，
∴甲、乙两款汽车的平均分分别为6.9分，7分．
（2）甲款的中位数为，众数为8，
乙款的中位数为，众数为7，
甲乙两款车的满意度得分的平均数接近，但甲款车的满意度得分中位数和众数都高于乙款车，
故选择甲款车．
21.某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，）
（1）若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米）
（2）若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明．
解：（1）过点作于点，过点作于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
（米），
∴（米），
答：点距离地面的高度约为2.5米；
（2）根据题意四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
（米），（米），
∴（米），，
（米），
（米），
，
∴宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸，
答：宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸．
22.如图，在三角形纸片中，，．把三角形纸片分别沿对折（点分别在边上，点在边上），使点落在边上同一点处．
（1）若，则五边形的周长为______；
若，则五边形的周长为______．
（2）根据题（）的研究结果，提出一个合理猜想，并证明猜想成立．
解：（1）由折叠可得，，，，，，
∵，，
∴，
过点作于，则，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴五边形的周长；
故答案为：；
当时，同理可得，，，，，，
∴五边形的周长，
故答案为：；
（2）猜想：五边形的周长为定值．
证明：设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴五边形的周长．
23.设y关于x的二次函数为，其中．
（1）用含m或a的代数式表示该二次函数图象的对称轴和最大值．
（2）若该二次函数图象与x轴交于，且过点，求二次函数表达式．
（3）若该二次函数图象过点，而，求m的值．
解：（1）由题意，令，
又，
∴或，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线开口向下，
∴当时，y取最大值，最大值为，
答：二次函数图象的对称轴是直线，函数的最大值为；
（2）由题意，根据（1）可得抛物线与x轴交于，，
又图象与x轴交于，
∴或，
∴或，
∴抛物线为或，
又抛物线过点，
∴或，
∴或，
∴抛物线的解析式为或；
（3）∵二次函数图象过点，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
24.如图1，中，，M是中点，过点B、M、C作，P是上一点，连结交于K，连结．
（1）若，求．
（2）如图2，连结，若过圆心O，且O恰为重心，求的值．
（3）如图1，若，，回答以下问题中的两个：
①当时，求的值．
②当时，求四边形面积（用含x的代数式表示）
③若P是的四等分点，且，则当面积最大时，直接写出四边形的面积．
解：（1）连接，如图，
∵，，
∴．
∵，M是中点，
∴，
∴，
∴；
连接，并延长，交于点F，如图，
则为的直径，
∵O恰为重心，
∴平分，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵过圆心O，
∴为圆的直径，
∵O恰为重心，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴；
（3）①连接，如图，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②过点M作于点G，过点P作于点H，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴．
由①知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴四边形面积
．
∴四边形面积为．
③由题意得：，
当△面积最大时，，连接，过点作于点，如图，
为的直径，
，
．
是的四等分点，
，
，
，
．
四边形的面积
．
外观造型
舒适程度
操控性能
售后服务
甲款
7
6
7
8
乙款
7
8
6
7
甲款
5
5
6
6
7
8
8
8
8
9
乙款
5
6
6
7
7
7
7
8
8
9