2025-2026学年驻马店市高三第六次模拟考试数学试卷（含答案解析）

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1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “”是“函数的图象关于直线对称”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱 AB，BC，的中点，M为棱AD的中点，设P，Q为底面ABCD内的两个动点，满足平面EFG，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
9．函数（， ， ）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ）
A．2，0B．2， C．2， D．2，
10．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的模为（ ）
A．B．4C．2D．
11．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线C：（）的左、右焦点为，，为双曲线C上一点，且，若线段与双曲线C交于另一点A，则的面积为______.
14．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则_______.
15．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为，则随机变量的期望为________.
16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为
（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若时，，求实数；
⑶试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论．
18．（12分）设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若的解集为，，求证：．
19．（12分）在平面直角坐标系中，设，过点的直线与圆相切，且与抛物线相交于两点．
（1）当在区间上变动时，求中点的轨迹；
（2）设抛物线焦点为，求的周长(用表示)，并写出时该周长的具体取值．
20．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
21．（12分）已知直线与抛物线交于两点.
（1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率；
（2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程.
22．（10分）已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.
（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；
（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解.
【详解】
若函数的图象关于直线对称，
则，
解得，
故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件．
故选：A
本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
2．C
【解析】
分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.
详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：
，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C
点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．
3．C
【解析】
把截面画完整，可得在上，由知在以为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得的最小值．
【详解】
如图，分别取的中点，连接，易证共面，即平面为截面，连接，由中位线定理可得，平面，平面，则平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，∴．
正方体中平面，从而有，∴，∴在以为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形内的部分）上，
显然关于直线的对称点为，
，当且仅当共线时取等号，∴所求最小值为．
故选：C．
本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．
4．B
【解析】
考虑当时，有两个不同的实数解，令，则有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.
【详解】
因为的图象上关于原点对称的点有2对，
所以时，有两个不同的实数解.
令，则在有两个不同的零点.
又，
当时，，故在上为增函数，
在上至多一个零点，舍.
当时，
若，则，在上为增函数；
若，则，在上为减函数；
故，
因为有两个不同的零点，所以，解得.
又当时，且，故在上存在一个零点.
又，其中.
令，则，
当时，，故为减函数，
所以即.
因为，所以在上也存在一个零点.
综上，当时，有两个不同的零点.
故选：B.
本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.
5．D
【解析】
A. 若，则或，故A错误；
B. 若，则或故B错误；
C. 若，则或，或与相交；
D. 若，则，正确.
故选D.
6．B
【解析】
先根据题意，对原式进行化简可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立转化为恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.
【详解】
由题，
即
由累加法可得：
即
对于任意的，不等式恒成立
即
令
可得且
即
可得或
故选B
本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.
7．D
【解析】
设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.
【详解】
设，则，所以，
解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
8．C
【解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；
对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；
对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；
对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.
故选：.
本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.
9．D
【解析】
由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案
【详解】
由函数图象可知：
，
函数的图象过点
，
，则
故选
本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果
10．D
【解析】
由复数的综合运算求出，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．
【详解】
，．
故选：D．
本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．
11．B
【解析】
设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率.
【详解】
解：不妨设过点作的垂线，其方程为，
由解得，，即，
由，所以有，
化简得，所以离心率．
故选：B.
本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
12．A
【解析】
由复数的运算法则计算．
【详解】
因为，所以
故选：A．
本题考查复数的运算．属于简单题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由已知得即，,可解得,由在双曲线C上,代入即可求得双曲线方程,然后求得直线的方程与双曲线方程联立求得点A坐标,借助,即可解得所求.
【详解】
由已知得，又，，所以，解得或，由在双曲线C上，所以或，所以或（舍去），因此双曲线C的方程为.又，所以线段的方程为，与双曲线C的方程联立消去x整理得，所以，，所以点A坐标为，所以.
本题主要考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线方程的求解,考查求三角形面积,考查学生的计算能力,难度较难.
14．9
【解析】
已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得结果.
【详解】
由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.
故答案为:.
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.
15．0.38 0.9
【解析】
考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量的可能取值为，计算得到概率，再计算数学期望得到答案.
【详解】
第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：
.
甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：
，，.
故随机变量的可能取值为，
故；；
；.
故.
故答案为：0.38 ；0.9.
本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16．
【解析】
先由三视图在长方体中将其还原成直观图，再利用球的直径是长方体体对角线即可解决.
【详解】
由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示
长方体对角线长为，所以三棱锥外接球半径为，故所求外接球的
表面积.
故答案为：.
本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积，考查学生空间想象能力以及基本计算能力，是一道基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）（3）为定值
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为；
（2）我们要知道=的条件应用，在于直线交椭圆两交点M，N的横坐标为，这样代入椭圆方程，容易得到，从而解得；
（3） 需讨论斜率是否存在．一方面斜率不存在即=时，由（2）得；另一方面，当斜率存在即时，可设直线的斜率为，得直线MN：，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和焦半径公式，就能得到，所以为定值，与直线的倾斜角的大小无关
试题解析：（1），得：，椭圆方程为
（2）当时，，得：，
于是当=时，，于是，
得到
（3）①当=时，由（2）知
②当时，设直线的斜率为，，则直线MN：
联立椭圆方程有，
，，
=+==
得
综上，为定值，与直线的倾斜角的大小无关
考点：（1）待定系数求椭圆方程；（2）椭圆简单的几何性质；（3）直线与圆锥曲线
18．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）当时，将所求不等式变形为，然后分、、三段解不等式，综合可得出原不等式的解集；
（2）先由不等式的解集求得实数，可得出，将代数式变形为，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可证得结论.
【详解】
（1）当时，不等式为，且.
当时，由得，解得，此时；
当时，由得，该不等式不成立，此时；
当时，由得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
（2）由，得，即或，
不等式的解集为，故，解得，，
， ，，
当且仅当，时取等号，．
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．（1）．（2）的周长为，时，的周长为
【解析】
（1）设的方程为，根据题意由点到直线的距离公式可得，将直线方程与抛物线方程联立可得，设､坐标分别是､,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.
（2）根据抛物线的定义可得，由（1）可得，再利用弦长公式即可求解.
【详解】
（1）设的方程为
于是
联立
设､坐标分别是､
则
设的中点坐标为，则
消去参数得：
（2）设，，由抛物线定义知
，，
∴
由（1）知
∴
，，
的周长为
时，的周长为
本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题.
20． (1)；(2)
【解析】
（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，进而求得和，代入求得结果；
（2）利用正弦定理可将表示为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为，根据正弦型函数值域的求解方法，结合的范围可求得结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：

即


（2）由（1）知：
，

，即的取值范围为
本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.
21．（1）（2）
【解析】
（1）设，根据直线的斜率公式即可求解；
（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，，结合直线的斜率公式得到，换元后讨论的符号，求最值可求解.
【详解】
（1）设，
因为
，
即直线的斜率为1.
（2）显然直线的斜率存在，
设直线的方程为.
联立方程组，
可得
则
，
令，则
则
当时，；
当且仅当，即时，解得时，取“=”号，
当时，；
当时，
综上所述，当时，取得最大值，
此时直线的方程是.
本题主要考查了直线的斜率公式，直线与抛物线的位置关系，换元法，均值不等式，考查了运算能力，属于难题.
22．（1）曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.（2）见解析
【解析】
（1）由题知|PF1|+|PF2|2|F1F2|，判断动点P的轨迹W是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程；（2）设出点P的坐标，再表示出点N和Q的坐标，根据题意求出的值，即可判断结果是否成立．
【详解】
（1）由题知，，
所以 ，
因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
又知，，
所以曲线的标准方程为.
又由题知，
所以 ，
所以，
又因为点在抛物线上，所以，
所以抛物线的标准方程为.
（2）设，，
由题知，所以，即，
所以 ，
又因为，，
所以，
所以为定值，且定值为1.
本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能力，是中档题．