山东省泰安市宁阳县2025-2026学年九年级下学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份山东省泰安市宁阳县2025-2026学年九年级下学期期中考试数学试题（含解析），共17页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，数轴上点A表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数与数轴．直接观察数轴，即可求解．
【详解】解：数轴上点A表示的数是，
故选：C．
2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下面纹样的示意图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形是指一个图形绕着一个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合，据此逐项判断即可．
【详解】解：选项A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
选项B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
选项C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意；
选项D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，积的乘方法则，同底数幂的除法法则计算各选项，判断运算是否正确；
【详解】解：A 、∵，∴A错误；
B、∵，∴B错误；
C、∵，∴C错误；
D、∵，∴D正确．
4. 2026年政府工作报告指出，全国粮食产量保持在1.4万亿斤，牢牢守住国家粮食安全底线．数据1.4万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义改写为标准形式，科学记数法的标准形式为，要求满足，n为整数．
【详解】解：因为1万，1亿，
所以1万亿，
则万亿．
5. 如图是一个阶梯状的金属垫块，该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：由题意知，其左视图如下：．
6. 为了让学生深入了解安溪的特色文化，某校组织研学活动，提供三个景点（文庙、清水岩、李光地故居）供九年级（1）班和（2）班各自随机选择一个景点参加研学，则两个班级恰好选择同一个景点的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．
利用画树状图法得出共有9种等可能的结果，其中两个班级恰好选择同一个景点的结果有3种，再列式计算，解答即可．
【详解】解：设文庙、清水岩、李光地故居分别记为A、B、C，
根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两个班级恰好选择同一个景点的结果有3种，
两个班级恰好选择同一个景点的概率是，
故选：B．
7. 如图所示，工人师傅用边长均为a的正三角形、正六边形和一个角为的菱形地砖绕着点O进行铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【详解】解：由题意得：，正六边形的内角为，
∴，
∴这块正多边形地砖的边数为．
8. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意，绫布和罗布总长丈（即尺），设绫布有尺，则罗布有尺，绫布和罗布分别出售均收入文，因此每尺绫布价格为文，每尺罗布价格为文，根据“每尺绫布和罗布共值120文”的条件，即可列方程．
【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺，
根据题意可得：
故选：B．
9. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示，平行于R轴的直线l分别交两图象于点A，B，过点A，B分别作R轴的垂线，垂足为C，D，图中阴影部分的面积是20，则下列说法正确的是（ ）
A. 经过用电器的电流的差值为
B. 两款蓄电池的电压的差值为
C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值为
D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值为
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的实际意义进行排除选项即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴两款蓄电池的电压的差值为，故B选项正确，A选项错误；
当用电器的电阻都为R时，则有，，电流的差值为，故D选项错误；
假设经过用电器的电流都为，则有，则有，故C选项错误．
10. 如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取的中点O，连接，由题意易得，，然后根据三角形三边不等关系进行求解即可．
【详解】解：取的中点O，连接，如图所示：
∵在矩形中，，N是对角线的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，O是的中点，
∴，
根据三角形三边不等关系可得：，则有当点O、M、N三点共线时，有最小值，最小值为．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 写出使二次根式有意义的x的一个值________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先根据该条件列出关于x的不等式，求解得到x的取值范围，再从这个范围内任取一个符合条件的数值即可．
【详解】解：二次根式有意义，
被开方数，
解得：，
取（满足的任意实数均可），
故答案为：3（答案不唯一）．
12. 如图所示，在平行四边形中，点O为坐标原点，点C的坐标为，点A的坐标为，则顶点B的坐标是________．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵四边形是平行四边形，且点C的坐标为，
∴，
∵点A的坐标为，
∴点B的横坐标为，纵坐标为3，
∴顶点B的坐标是．
13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
，
14. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查两直线平行的性质、折叠的性质以及矩形的性质，重点在于利用已知条件找到角度之间的关系．
由，，根据两直线平行，内错角相等，可求得的度数，然后由折叠的性质，可得的度数，进而再利用两直线平行内错角相等得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
，
由折叠的性质可得，
∴．
故答案为：．
15. 数学兴趣小组的同学们发明了一种“云科技”变换，对于正整数n，当n为奇数时，变换方式为；当n为偶数时，变换方式为．经过变换得到新的正整数，再进行相同的变换，直到结果为1时停止．我们把一个正整数通过上述变换得到1所经过的变换次数记为m．例如，4经过2次变成1，则；3经过7次变成1，则．若输入正整数n，且，则所有满足题意的n值的和为________．
【答案】37
【解析】
【分析】我用倒推法，结合“得到1就停止变换”的规则，逐步推导所有满足（经过5次变换得到1）的正整数即可解答；
【详解】解：∵，
∴第5次变换后得到1，因此第4次变换后的结果只能是（若第4次是奇数，无正整数解，仅偶数满足，此时）．
第4次结果是，因此第3次变换后的结果只能是（奇数无正整数解，仅偶数满足，此时）．
第3次结果是，第2次变换结果有两种可能：
奇数：，解得，若第2次就得到1，变换提前停止，总次数为，舍去；
偶数：，解得：，符合要求，保留．
第2次结果是，因此第1次变换后的结果只能是（奇数无正整数解，仅偶数满足，此时）．
第1次结果是，初始有两种符合要求的可能：
奇数：则，解得，验证：，共5次变换，符合；
偶数：则，解得，验证：，共5次变换，符合．
所有满足题意的为和，和为．
三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算及化简求值：
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据特殊三角函数值及负指数幂进行求解即可；
（2）先对分式进行化简，然后再代值求解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
，
当时，原式．
17. 如图，已知，按以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线，交于点G，交于点Q；
③以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，．
（1）判断四边形是何种特殊四边形，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）菱形，见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由作图知垂直平分，，然后可得，进而问题可求解；
（2）由（1）可得，，，然后根据勾股定理可进行求解．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
由作图知垂直平分，，
，，
，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，，
在中，，
∴，
，
．
18. 为迎接校园文化节，工作人员用一批大小相同的圆形小灯笼串成装饰条，灯笼沿直线均匀排列，相邻灯笼间配有装饰结，圆心间距保持一致，整体整齐美观（如图所示）．
设计测量数据：
当灯笼个数时，装饰条总长度；
当灯笼个数时，装饰条总长度．
（1）求每个圆形小灯笼的直径及相邻两个小灯笼圆心之间的距离；
（2）直接写出装饰条总长度L关于灯笼个数n的函数关系式．
【答案】（1）每个圆形小灯笼直径为，相邻两个圆形小灯笼圆心之间的距离为．
（2）
【解析】
【分析】（1）设每个圆形小灯笼直径为，两个圆形小灯笼圆心间距为，然后根据题意可得方程组，然后求解即可；
（2）由（1）可直接进行求解．
【小问1详解】
解：设每个圆形小灯笼直径为，两个圆形小灯笼圆心间距为，由题意得：
，
解得：，
答：每个圆形小灯笼直径为，相邻两个圆形小灯笼圆心之间的距离为．
【小问2详解】
解：由（1）可知：
装饰条总长度L关于灯笼个数n的函数关系式为：．
19. 中国24节气是中华民族传统文化的重要组成部分，是古人根据季节、物候、气候变化总结的时间指南，承载着古人对自然的认知与智慧．某校为加强学生对24节气文化的学习与了解，彰显中华传统文化的魅力，举行了“感受节气魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用x表示，百分制）分成四组：A．；B．；C．；D．，将所得数据进行收集、整理、描述和分析：
收集数据
七年级20名学生的竞赛成绩是81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，84，88，99，99，83，88，100．
八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是94，94，91，93，95，91．
整理数据
分析数据
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
应用数据
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m的值为________，n的值为________；
（2）若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动学生获得优秀（90分以上）成绩的总人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“24节气文化”知识了解得更多？并说明理由（写出一条即可）．
【答案】（1）99，94
（2）参加此次竞赛活动学生获得优秀（90分以上）成绩的总人数为550人
（3）八年级学生对“24节气文化”知识了解的更多．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据众数及中位数的定义进行求解即可；
（2）根据题意可直接进行求解；
（3）根据中位数、平均数及众数进行说理即可，合理即可．
【小问1详解】
解：由众数的定义可知：成绩为99分出现5次，所以，
∵，
∴根据中位数的定义可知：中位数落在C组，即第10和第11的数据之和的平均数，则有；
【小问2详解】
解：由题意得：
（人）；
答：参加此次竞赛活动学生获得优秀（90分以上）成绩的总人数为550人．
【小问3详解】
解：八年级学生对“24节气文化”知识了解的更多．
理由：八年级所抽学生的平均成绩大于七年级的平均成绩．（从中位数或者从众数的角度分析均可．）
20. 2026马年春晚舞台上，一群机器人演员惊艳亮相，让传统年味充满了科技光芒．机器人代表我国新质生产力走进百姓视野，参与日常生活．图1是一款智能机器人，图2是其侧面示意图，底座是矩形，是上部显示屏，是侧面支架，，，，，．
请根据上述数据，计算该机器人的最高点F距地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】点F到地面的高度约为
【解析】
【分析】过点E、F分别作，，垂足分别为M、N，过点E作，垂足为P，则四边形为矩形，利用角的正弦值，求出，再求出，从而得出，即可得解．
【详解】解：如图，过点E、F分别作，，垂足分别为M、N，过点E作，垂足为P．
，
四边形为矩形，
，．
，
，
．
，，
，
，
，
，
点F到地面的高度约为．
21. 如图，在中，，点E是边上一点，以为直径的圆O交于点D，连接并延长，交的延长线于点F，且．
（1）如图1，求证：是的切线；
（2）如图2，连接，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，则，得出，根据，得出，则，证出，则，结合是的半径，即可证明是的切线．
（2）根据，，，得出，，结合，证出是等边三角形，则，，求出，，勾股定理求出，即可求出，，再求出，结合即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，则，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为．
22. 已知二次函数．
（1）当时，求此抛物线与y轴的交点坐标；
（2）若抛物线过点，，，且，求m的取值范围；
（3）在第（2）问的条件下，当时，y有最大值为1，求t的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先求出函数解析式，再令，即可求解．
（2）由点，得，抛物线的对称轴是直线，求出，得出抛物线关系式为：，即可得抛物线开口向下，点关于对称轴的对称点是，根据，得出或，求解即可．
（3）先求出对称轴为直线，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别列式求解即可．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
因此，抛物线与y轴的交点坐标为．
【小问2详解】
解：由题意得，抛物线的对称轴是直线，
，
∴抛物线关系式为：，
抛物线开口向下，点关于对称轴的对称点是，
，
或，
或，
即．
【小问3详解】
解：，对称轴为直线，
①当，即时，则，
解得：，（舍去）；
②当时，，此种情况不成立；
③当，即时，
则，解得：，（舍去）；
综上所述，或．
23. 现有两个全等和，，，，固定，将与叠放在一起，两个数学学习小组设计了不同的叠放方式，按如下方式操作
（1）第一种叠放方式如下：
如图1，将的顶点E固定在的边上的中点处，绕点E在边上方旋转，旋转时边交边于点N，交边于点M，求的值．
（2）第二种叠放方式如下：
将的顶点E在的边上滑动（点E不与B、C点重合），点D、F的位置会随点E的滑动而改变，且保持边始终经过点A．过A作的平行线交于点P，连接．
①如图2，当点E滑动到使线段最小时，求的长；
②如图3，当点E滑动到使时，请证明：
【答案】（1）
（2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而根据相似三角形的性质进行求解即可；
（2）①由题意得，，然后可得，，进而可得，则有当时，长最小，即长就最小，最后问题可求解；
②先得到四边形是平行四边形，则有，然后通过进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：①由题意得，，
，
，，
，
，
，
又，
，
∴，
当时，长最小，即长就最小，
，，
，
因此，；
②证明：，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
∴，
，
，
，，
．
年级
七年级
八年级
平均数
91.5
92
中位数
91.5
n
众数
m
100