2026年湖南省常德市澧县中考一模考试数学试题（含解析）

这是一份2026年湖南省常德市澧县中考一模考试数学试题（含解析），文件包含解三角形周长与周长最值问题面积与面积最值问题专项训练原卷版docx、解三角形周长与周长最值问题面积与面积最值问题专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
1. 下列实数中,属于无理数的是（ ）
A. B. C. 3.14159265D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：，，3.14159265，中，只有是无理数，其余都是有理数.
2. 下列调查适合抽样调查的是（ ）
A. 了解某品牌牛奶的蛋白质含量B. 对搭乘飞机的旅客进行安检
C. 了解某小组10名学生的跳远成绩D. 检查“神舟二十二号”零件质量
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可．
【详解】解：A选项某品牌牛奶数量众多，全面检测不现实，适合抽样调查；
B选项安检涉及安全，必须全面检查；
C选项小组仅10人，可全面调查；
D选项航天零件质量要求高，需全面检查．
故选：A．
3. 如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，
判断这个几何体的俯视图即可．
【详解】解：这个几何体的俯视图为：
故选：C．
4. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解答此题的关键是要注意实心圆点与空心圆点的区别．先分别求出各不等式的解集，再求其公共部分，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
其解集在数轴上表示如下：
故选：B．
5. 圆周率是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．从的小数部分随机取出一个数字恰好是8的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，是解题的关键．从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字8的只有1种结果，利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
∴从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字8的只有1种结果，
∴从的小数部分随机取出一个数字恰好是8的概率为．
故选：D．
6. 制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式的应用，解答本题的关键是明确弧长计算公式．直接利用弧长公式求解即可．
【详解】解：∵半径，圆心角，
∴这段弯管中的长为，
故选：A．
7. 把正比例函数的图象向右平移3个单位长度，得到的图象与轴的交点坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数图象的平移，解题关键是求出在平移前函数图象上，代入解析即可求解．
【详解】解：∵正比例函数的图象向右平移3个单位长度，得到的图象与轴的交点坐标为，把向左平移3个单位后坐标为，
∴在正比例函数的图象上，即，
解得，，
故选：D．
8. 如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（ ）．
A. 7B. 8C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴；
故选C．
9. 已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系的判断方法求解即可得到答案．
【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为，
，
∴直线与的位置关系是相离，
故选：C．
本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键．
10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案．
【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，
∴点关于原点对称，
∴，
∴，
将代入中，，
解得：，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴，即，
∴，
故④正确，符合题意，
∵，
∴，，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴③错误，不符合题意，
综上所述：正确的是①②④，
故选：C．
二、填空题（共6小题,每小题3分,满分18分）
11. 的相反数是__________.
【答案】
##
【解析】
【详解】解：的相反数为.
12. 分解因式___________
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法是关键．先提取公因式再用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：
13. 方程的解为__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
根据解分式方程的方法，先把方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可．
【详解】解：，
方程两边同乘，得4x−33x−1=0，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为，得，
检验：当时，x(3x−1)≠0，
是原方程的解．
故答案为：．
14. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴；垂足为；若的面积等于，则的值___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．利用反比例函数的几何意义得到，然后根据反比例函数所在的象限确定k的值．
【详解】解：∵的面积等于4，
∴，
∴，
∵反比例函数图象过第二象限，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为__．
【答案】9
【解析】
【分析】连接，作于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在中，根据勾股定理列式求解即可．
【详解】解：如图，连接，作于点H，则，
分别与扇形相切于点A，E，，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
解得：．
故答案为：9．
此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可．
【详解】解：过点作轴，
∵为斜边为1的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的，
∴，
同理：，，，，，
∴，
∵，
∴，即：．
故答案为：．
三、解答题（共8小题,满分72分）
17. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，再合并计算即可得到结果．
【详解】解：
=33−2×3+1−(2−3)

18. 先化简：，然后再从，，1，2中选取一个合适的数代入求值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入进行计算，即可解题．
【详解】解：原式
，
分式有意义，
，
，
当时，
原式=．
19. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当时，关于的不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键，
（1）利用待定系数法即可求出反比例和一次函数的解析式；
（2）当时，可以理解为一次函数的图象在反比例函数图象下方的部分，根据图象可直接写出的范围，即可得到答案．
【小问1详解】
解：将代入，得，
∴反比例函数的解析式为：，
将代入，得：，
∴，
将，代入，
∴
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
【小问2详解】
解：观察图象，当时，关于的不等式的解集是或．
20. 一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，，；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，其示意图如图2所示．已知、、C三点在同一直线上，且，．
（1）求散热架的高度；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了多少？
（参考数据：取，取，取，取）
【答案】（1）24 （2）
【解析】
【分析】（1）由，即可求出的长；
（2）如图1，过B作交的延长线于H，由得到，求出，据此解答即可．
【小问1详解】
解：如图2，在中，
，
；
【小问2详解】
解：如图1，过B作交的延长线于H，
，
，
，
，
如图2，，
垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了．
21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：
：，：，：，：，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_______， _______， _______．
（2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
【答案】（1），，
（2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人
（3）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案；
（3）用树状图法求解即可．
【小问1详解】
解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多，
众数．
乙款评分数据中、两组共有个数据，
乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数．
乙款评分数据在组人数所占百分比为，
即．
故答案为：，，．
【小问2详解】
解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为：
（人）．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人．
【小问3详解】
解：画树状图为：
由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
22. 根据如下素材，完成探索任务．
【答案】任务1：A型80万元，B型60万元；任务2：买5台A型，5台B型
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意正确列出等式、式子、不等式是解题的关键．
任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，台型机器人，共需万元”和“买台型机器人，台型机器人，共需万元”列式求解即可；
任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出关于的一次函数，再利用“用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台”列出不等式，求出的范围，最后利用一次函数的性质即可求解．
【详解】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，
根据题意得：，
解得：，
答：、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元；
任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，
根据题意得：，
∵，
解得：，
∴，
∵，，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值（万件），
（台）,
即购买型号智能机器人台，购买型号智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多．
23. 如图所示，在中，，，在上取点，以为圆心，以为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，（异于点）．

（1）求证：平分；
（2）若点恰好是的中点，求扇形的面积；
（3）若的长为，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）2或
【解析】
【分析】（1）连接，以此可得，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得，进而得到，由可得，因此，以此即可证明；
（2）连接、、，易得，根据直角三角形中线的性质的，因此为等边三角形，则，根据平行线的性质得，于是可证明为等边三角形，再利用扇形的面积公式计算即可；
（3）连接，过点作于点，则四边为矩形，根据垂径定理可得，设的半径为，则，，，易证，根据相似三角形的性质可得出方程，求解即可．
【小问1详解】
连接，如图，

与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
【小问2详解】
连接、、，如图，

，是的中点，
，
在中，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
【小问3详解】
连接，过点作于点，如图，

则，四边为矩形，
，
设的半径为，则，，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：或，
的半径长为或，
本题考查切线的性质、等边等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、直角三角形的中线性质、扇形的面积公式、相似三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题关键．
24. 如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，最大值为
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设，则，根据与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可；
（3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可．
【小问1详解】
解：把和代入，得
，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：设，
∵轴，
∴，
∴．
∵与y轴相切，
∴，
解得，（舍去），
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵以为直径作，，
∴，
∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，
∴，
∵过点作轴，
∴，当时，，
∴，
∴，
∴．
如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．
∵，与y轴相切，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即面积的最大值为．
背景
快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
素材1
买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元；
买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元．

素材2
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；
B型机器人每台每天可分拣快递18万件
素材3
用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．
解决问题
任务1
求A、B两种型号智能机器人的单价；
任务2
选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？