山东泰安市2026届高三二轮检测数学试题（含解析）高考模拟

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1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】，则.
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. 1B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘除法，乘方运算化简复数，然后根据复数虚部的定义即可求解.
【详解】 ，所以的虚部为.
3. 当时，的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由配凑法结合换1法得出，再使用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，
则
，
当且仅当即时等号成立.
4. 2002年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了5件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经3D打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时14.4分钟，100件漏完恰好为24小时.如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度与时间的函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用圆台、圆锥的结构特征，结合单位时间内漏出相同体积的沙子，分析高度下降速度随时间变化的快慢即可判断得解.
【详解】依题意，细沙匀速下漏，单位时间漏出沙子的体积恒定，
随时间的增大，高度逐渐减小，沙面面积逐渐减小，
由圆台上部大下部小，得漏出的沙子，随时间的增大，高度的变化量逐渐增大，
因此的下降速度越来越快，对应图象变得越来越陡，排除选项BC；
又漏斗上部为圆台，下部为圆锥，两部分沙面面积随的变化规律不同，
圆锥部分比圆台部分沙面面积更小，减小更快，因此的下降速度更快，图象更陡，
且下降速度在交界处会发生变化，图象在交界处不光滑，排除选项A，选项D符合题意.
5. 已知三棱柱所有棱长均为为的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设可得，然后以作为基底表示，最后由向量模长公式可得答案.
【详解】因三棱柱所有棱长均为1，，
则，
，
则
，
又，，
则.
6. 已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】设等比数列的公比为 ，令，则可由求出，，关于的表达式，再由条件求出，进而得到．
【详解】设等比数列的首项为，公比为，其中．
则，由，得．
令，则．由上式可得，
，，由题意得，
因为，所以．
化简得．解得或．
又，所以，故．
7. 已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点， 利用平面向量的基本定理和数量积得到，要求的最小值就是求的最小值，求出，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，由点为直线上的动点，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线的距离公式来求出，从而得到.
【详解】取的中点，则，
，
要求的最小值，就是求的最小值，
圆的圆心为，半径为，
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
点为直线上的动点，
的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
，
，故选项C正确.
8. 实数满足，则（ ）
A. 2025B. 2026C. 2027D. 2028
【答案】C
【解析】
【详解】设，因为，所以当时，，即，
又函数和函数在上都单调递增，
故在上也单调递增，
又，，，
.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 若随机变量，则
B. 一组不全相等的数的平均数为，方差为，若再插入一个数，则这个数的方差为，则
C. 若随机变量，，则
D. 若，，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质求出；对B，根据平均数和方差的计算公式分别求出，然后比较大小；对C，根据正态分布的性质分别计算和，再比较大小；对D，根据条件概率公式和全概率列出关于的方程，进而求解.
【详解】已知随机变量，
根据二项分布的方差公式可得，
所以，故A正确；
一组不全相等的数的平均数为，所以方差，
若再插入一个数，则这个数的方差，
因为，所以，所以，故B正确；
因为随机变量，则正态分布曲线关于对称，所以，
所以，
同理，随机变量，则正态分布曲线关于对称，所以，
所以，
由正态分布的性质可知，，
所以，故C错误；
由，，
可得，，
又，所以，
又，所以，
解得，故D正确.
10. 已知函数为常数，且，若函数的最大值等于，则下列选项正确的是（ ）
A. 若是函数的两个相邻零点，则
B.
C. 将函数的图象向右平移个单位长度后，图象关于原点对称
D. 若函数在区间上恰有3个零点，则
【答案】BC
【解析】
【分析】先将函数化为的形式，再由“函数的最大值等于”确定参数关系，最后逐项判断各选项．
【详解】设，其中.
因为函数的最大值为，且已知其最大值等于，所以.
即，所以.
故，即，可取.
于是，从而 ，且.
所以.
对于 A．由，得.
所以零点为.
设两个相邻零点分别为，
则.
于是.
所以它不恒等于．故 A 错误；
对于 B．，而.
所以，故 B 正确；
对于 C．将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得函数为.
因为函数为奇函数，所以其图象关于原点对称．故 C 正确；
对于 D．令，则，
即，所以.
要使在区间上恰有 3 个零点，就应满足：
第 1 个零点第 2 个零点第 3 个零点，
但第 4 个零点，于是条件化为，
即，因此，故 D 错误．
11. 如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形的中点为，平面过直线，且垂直于平面与圆柱侧面的交线为曲线，则下列选项正确的是（ ）
A. 圆柱在下方部分的体积为
B. 圆柱在下方的部分内放入一个球，则球的半径的最大值为
C. 曲线是椭圆且其离心率为
D. 为下底面圆周上一动点，，垂直于底面，与曲线交于，若的长为，则
【答案】ACD
【解析】
【详解】A选项：圆柱底面半径，．
根据割补法，原几何体体积等于高为的圆柱体的体积，为，正确；
B选项：最大内接球半径为内接圆半径．
在中，，
内接球半径，
即内接球半径最大值为，错误；
Ｃ选项：椭圆长轴为，，短轴长为圆柱底面直径，
，，离心率，正确；
Ｄ选项：圆柱底面如左图所示，如右图所示
记，在上投影为，，有，
中，，
，，
中，，
即，正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知实数，且，若，则__________.
【答案】
【解析】
【详解】，，，
，，
，，，，
，.
13. 将随机排成一行，前三个数构成三位数，后三个数构成三位数，已知的百位数字比的百位数字大3，则满足的不同排列的个数为__________.（用数字作答）
【答案】36
【解析】
【分析】先确定的百位数字，共有种选择，再按的十位数字比的十位数字小，分类进行讨论，即可求解.
【详解】由题意，设的百位数字为，的百位数字为，
因为的百位数字比的百位数字大3，
所以在中，满足条件的只有组：，，，
因为，所以的十位数字比的十位数字小，
假设剩余的个数字为、、、，且，
①若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择，
②若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择，
③若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择，
综上所述，满足条件的、共有种.
14. 已知函数，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据余弦函数的单调性及特殊角的三角函数值计算求解.
【详解】函数，
当，，因为，，则函数在上单调递减，
所以；
当，，因为，，
则函数单调递增，所以；
则
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示
（1）该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？
（2）估计该校高三学生日均运动时间的平均数；
（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？
附，其中.
【答案】（1）人
（2）小时
（3）根据小概率值的独立性检验，能认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联
【解析】
【分析】（1）应用已知比例关系计算求解；
（2）应用已知数据计算100名学生日均运动时间的平均数，即可求解；
（3）先列表格计算，再与临界值比较判断求解.
【小问1详解】
因为抽取的100人中日均运动时间不足1小时的人数占比为，
所以该校2000名学生中日均运动时间不足1小时人数约为人；
【小问2详解】
该校名学生日均运动时间的平均数约为
，
所以该校高三学生日均运动时间的平均数为小时；
【小问3详解】
作出列联表如表所示
零假设：“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
16. 如图，在四棱锥中，平面，.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在梯形中，证明，根据线面垂直的判定定理证明平面，即可得；或建立恰当的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示证明；
（2）利用平面与平面所成角的向量求法求平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
如图，连接.
易知四边形为梯形，且
，
，
.
平面平面，.
平面.
平面.
平面，
.
方法二：在四棱锥中，平面，平面，
所以.
又，且，，
所以以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，得，.
.
【小问2详解】
设平面的一个法向量为.
则，即
取，则
设平面的一个法向量为
则，即
取，则
∴平面与平面夹角的余弦值为
17. 已知数列满足，等差数列满足.
（1）求数列和通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）通过构造等比数列可得的通项公式，进而可得的通项公式，由等差数列通项公式的逆向应用即可求得的通项公式；
（2）由正弦函数的和差公式结合三角函数同角关系构造出裂项相消的形式即可求解.
【小问1详解】
，，
又，且，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
，，
，
设等差数列的公差为，则，
.
【小问2详解】
，
.
18. 已知.
（1）当时，求关于的函数在处的切线方程；
（2）当时，在上的解集非空，求的取值范围；
（3）若对于任意的，都有成立，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可；
（2）将问题转化为，使得成立，设，利用导数求出其最大值即可；
（3）由题意可得恒成立，即恒成立，其中，设，利用导数求出其最大值即可.
【小问1详解】
当时，，
，，
，
在处的切线方程为；
【小问2详解】
当时，.
在上的解集非空，
等价于，使得成立，
设，
则，
单调递减，，
.
【小问3详解】
恒成立，恒成立，
令，则，恒成立，
设，
则，显然，单调递减，
，∴在上，单调递增，
在上，单调递减，
，
，即的最小值为.
19. 已知椭圆过点，中心在原点，对称轴为坐标轴.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线的斜率为与椭圆交于两点，其中两点分别位于轴左，右两侧，直线分别与直线交于三点.
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，求；
（ii）当直线平分的内角（或其外角）时，求的值.
【答案】（1）
（2）（i）4；（ii）
【解析】
【分析】（1）设椭圆的方程为，代入，求解即可；
（2）（i）设直线，，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出直线的方程，从而求出的横坐标，结合斜率公式求解即可；
（ii）求出D点的横坐标，从而可得为的中点，进而得，，利用求解即可.
【小问1详解】
设椭圆的方程为
过点
，解得
∴椭圆的标准方程为
【小问2详解】
（i）直线，
设
由
得
∵直线的方程为
令，得，
，
，
；
（ii）因为直线的方程为,
令，则有，
为的中点
如图，∥，
又
日均运动时间（小时）
男生人数
5
20
20
10
女生人数
15
20
6
4
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
日均运动时间
合计
男
25
30
55
女
35
10
45
合计
60
40
100