伊春市2026年高考考前模拟数学试题（含答案解析）

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2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）
A．正方体B．球体
C．圆锥D．长宽高互不相等的长方体
2．已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
4．函数在的图象大致为
A．B．
C．D．
5．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）.
A．432B．576C．696D．960
6．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知定点，，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
8．已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：
①在上单调递增；
②
③在上没有零点；
④在上只有一个零点.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．②④B．①③C．②③D．①②④
9．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A．CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住
B．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%
C．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%
D．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%
10．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )
A．B．C．D．
11．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为20，方差为4B．平均数为11，方差为4
C．平均数为21，方差为8D．平均数为20，方差为8
12．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为_____.
14．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按，编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母，的概率为________.
15．已知向量，，若，则______.
16．已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则可取到的最大值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，.
（1）当时，证明：；
（2）设直线是函数在点处的切线，若直线也与相切，求正整数的值.
18．（12分）已知，，为正数，且，证明：
（1）；
（2）.
19．（12分）已知椭圆的右顶点为，点在轴上，线段与椭圆的交点在第一象限，过点的直线与椭圆相切，且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.
（Ⅰ）当为线段的中点时，求直线的方程；
（Ⅱ）记的面积为，的面积为，求的最小值.
20．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；
（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．
21．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了人，其中女性人，男性人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：
（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；
（2）根据统计数据建立一个列联表；
（3）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.
附：
22．（10分）函数，且恒成立.
（1）求实数的集合；
（2）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明.
（参考数据：）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据基本几何体的三视图确定．
【详解】
正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形．
故选：C．
本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键．
2．C
【解析】
设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.
【详解】
设，则，，，则，设，
则，两式相减得到：，
，，即，，
，故，即，故，故.
故选：.
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3．C
【解析】
由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定义计算．
【详解】
由
可得，因为，所以．故在方向上的投影为．
故选：C．
本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
4．A
【解析】
因为，所以排除C、D．当从负方向趋近于0时，，可得.故选A．
5．B
【解析】
先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻.
【详解】
首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有种不同排列方式，甲、丁排在一起共有种不同方式；
若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；
若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；
根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为种.
故选：B.
本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.
6．B
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.
【详解】
解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：
可知点,，
在处有最小值，最小值为.
故选：B.
本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.
7．B
【解析】
根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.
【详解】
因为线段的垂直平分线与直线相交于点，如下图所示：
所以有，而是中点，连接，故，
因此
当在如下图所示位置时有，所以有，而是中点，连接,
故，因此，
综上所述：有，所以点的轨迹是双曲线.
故选：B
本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.
8．A
【解析】
先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.
【详解】
因为函数在区间内没有最值.
所以，或
解得或.
又，所以.
令.可得.且在上单调递减.
当时，，且，
所以在上只有一个零点.
所以正确结论的编号②④
故选：A.
本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．D
【解析】
A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可. B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.
【详解】
A. CPI一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.
B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.
C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.
D. 猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误.
故选：D
本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
10．B
【解析】
设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B．
11．D
【解析】
由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.
【详解】
样本的平均数是10，方差为2，
所以样本的平均数为,方差为.
故选:D.
样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.
12．C
【解析】
根据程序框图程序运算即可得.
【详解】
依程序运算可得：
，
故选：C
本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得，，,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令，则，令对函数求导研究函数在上单调性，可求得离心率的范围.
法二：令，，，，，根据直角三角形的性质和勾股定理得，将离心率表示成关于角的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数，可求得离心率的范围.
【详解】
法一:，，，,
，,
设，则，
令，所以时，，在上单调递增， ，，.
法二：，，令，，，，，
，，，
，
.
故答案为：.
本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.
14．
【解析】
根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有种情况是两个球颜色不相同；
故其概率是
故答案为：．
本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15．1
【解析】
根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.
【详解】
向量,
则,
则
因为
即,化简可得
解得
故答案为:
本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.
16．4
【解析】
由于曲线与直线相交，存在相邻两个交点间的距离为，所以函数的周期，可得到的取值范围，再由解出的两类不同的值，然后列方程求出，再结合的取值范围可得的最大值.
【详解】
，可得，由，则或，即或，由题意得，所以，则或，所以可取到的最大值为4.
故答案为：4
此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）令，求导，可知单调递增，且，，因而在上存在零点，在此取得最小值，再证最小值大于零即可.
（2）根据题意得到在点处的切线的方程①，再设直线与相切于点， 有，即，再求得在点处的切线直线的方程为 ②由①②可得，即，根据，转化为，，令，转化为要使得在上存在零点，则只需，求解.
【详解】
（1）证明：设，
则，单调递增，且，，
因而在上存在零点，且在上单调递减，在上单调递增，
从而的最小值为.
所以，即.
（2），故，
故切线的方程为①
设直线与相切于点，注意到，
从而切线斜率为，
因此，
而，从而直线的方程也为 ②
由①②可知，
故，
由为正整数可知，，
所以，，
令，
则，
当时，为单调递增函数，且，从而在上无零点；
当时，要使得在上存在零点，则只需，，
因为为单调递增函数，，
所以；
因为为单调递增函数，且，
因此；
因为为整数，且，
所以.
本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用均值不等式即可求证；
（2）利用，结合，即可证明.
【详解】
（1）∵，同理有，，
∴.
（2）∵，∴.
同理有，.
∴
.
本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及的妙用，属综合性中档题.
19．（Ⅰ）直线的方程为（Ⅱ）
【解析】
（1）设点，利用中点坐标公式表示点B，并代入椭圆方程解得，从而求出直线的方程；（2）设直线的方程为：，表示点，然后联立方程，利用相切得出，然后求出切点，再设出设直线的方程，求出点，利用两点坐标，求出直线的方程，从而求出，最后利用以上已求点的坐标表示面积，根据基本不等式求最值即可.
【详解】
解：（Ⅰ）由椭圆，可得：
由题意：设点，当为的中点时，可得：
代入椭圆方程，可得：所以：
所以.故直线的方程为.
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在且不为0，
故设直线的方程为：
令，得：，所以：.
联立：，消，整理得：.
因为直线与椭圆相切，所以.
即.
设，则，，
所以.
又直线直线，所以设直线的方程为：.
令，得，所以：.
因为，
所以直线的方程为：.
令，得，所以：.
所以.
又因为.
.
所以（当且仅当，即时等号成立）
所以.
本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及求椭圆中的最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养，本题利用了基本不等式求最小值的方法，运算量较大，属于难题.
20．（1）答案见解析（2）
【解析】
（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；
（2）对函数求导得，从而有，，，三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围.
【详解】
解：（1）由，，
则，
当时，则，故在上单调递减；
当时，令，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）∵，
,
由得，
∴，，∴
∵∴解得.
∴.
设，
则,
∴在上单调递减；
当时，.
∴，即所求的取值范围为.
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.
21．（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系
【解析】
（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；
（2）填写列联表即可；
（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．
【详解】
解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.
（2）列联表如下：
（3）由（2）中数据可得：.
所以，在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题．
22．（1）；（2）2个，证明见解析
【解析】
（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要讨论求解看是否有最小值；
（2）将图像与图像的交点个数转化为方程实数解的个数问题，然后构造函数，再利用导数讨论此函数零点的个数.
【详解】
（1）的定义域为，因为，
1°当时，在上单调递减，时，使得，与条件矛盾；
2°当时，由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，
若；
若；而时，，要使恒成立，
故.
（2）原问题转化为方程实根个数问题，
当时，图象与图象有且仅有2个交点，理由如下：
由，即，令，
因为，所以是的一根；，
1°当时，，
所以在上单调递减，，即在上无实根；
2°当时，，
则在上单调递递增，又，
所以在上有唯一实根，且满足，
①当时，在上单调递减，此时在上无实根；
②当时，在上单调递增，
，故在上有唯一实根.
3°当时，由（1）知，在上单调递增，
所以，
故，所以在上无实根.
综合1°，2°，3°，故有两个实根，即图象与图象有且仅有2个交点.
此题考查不等式恒成立问题、函数与方程的转化思想，考查导数的运用，属于较难题.
戴口罩
不戴口罩
合计
女性
男性
合计