安徽省江淮十校2026届高三4月联考数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份安徽省江淮十校2026届高三4月联考数学试卷含解析（word版+pdf版），共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若复数 在复平面内对应的点为 ,则 的虚部为
A. -2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】 的虚部为 1.
2. 是 的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 时, 成立,当 时, 不一定成立,故 是 的必要不充分条件.
3.已知函数 ,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】易知 是 上增函数, .
4.已知四边形 为平行四边形, ,若 ,则 的值为
A. B. C. -7 D. 7
【答案】D
【解析】设 ,则 ,而 .
5.若 的展开式中二项式系数和为 256,则二项式展开式中第 3 项系数为
A. 112 B. 224 C. 56 D. 28
【答案】A
【解析】由 得 第 3 项系数为 .
6.甲、乙、丙等 5 人被安排到 三个社区做志愿者,每人随机选择一个社区,且这三个社区都有人去,则甲和乙不去同一个社区的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】先求甲、乙两人分在同一社区的概率 . 分两种情况:① 、 、 3 个社区人数为 1、1、3 结构. 甲乙分在同一社区方法数: 种; ② 个社区人数为 结构. 甲乙分在同一社区方法数: 种,而当不考虑任何条件时,满足题意分法总数为: .
7.过曲线 外一点 做 的切线恰好可做两条,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设切点为 ,据题意: 这样的切点有两个,即关于 的方程有且仅有两根. ,为过切点 , 的切线,又 在此切线上, ,令 ,又 不在曲线 上, ,由 的图像可知 .
8.已知等比数列 的公比大于 . 则下列判断正确的是
A. 任意 ,有
B. 数列 中, ,则
C. 在区间 中项的个数记为 ,则
D. 任意 ， ，则整数 的最小值为 4
【答案】C
【解析】设公比为 ,则 或 ,故 A 错误; 对于 且 当 2 时, ,又
，故 B 错误；对于 C ,
C 正确；对于 D，令，易知单增，，当时，＞2．又 ∵，空，故 D 错误.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 是概率均不为 0 随机事件，下列说法正确的是
A. 若 ,则事件 与 为对立事件
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
【答案】CD
【解析】对于互斥，不能对立， A 错；
对 B 得：或，故 B 错；
对 C，，若 则 ;
对 D, ,而 ,所以
10.在 中， 、 、 所对应的边分别是 、 、 ，且 ，下列结论正确的有
A.
B. 若 ,则满足条件的 有 2 个
C. 如 为 中点,则 最大值为
D. 若 有两解 ,则
【答案】BCD
【解析】由题意得: ,故 A 错; 对 B: 过点 作 ,则 ,在 上存在点 ,使 . 且 ,故 有两个. ; 对 : 已知 且 ①,延长 至 ,使 . 设 ,则 ,连 、 易知四边形 为平行四边形. 由 ,得 ,由①得: ,即 ,故 对; 对 : 由 得 ,又 ,故 或 ,或 或 或 (舍), ,故 D 对.
11.正三棱椎 中,点 分别是侧棱 的中点, ,则下列结论中正确的有
A. 平面
B. 过 的平面截该三棱椎所得截面三角形周长的最小值为
C. 棱长为 的正四面体可以在棱台 内随意转动
D. 在三棱台 中，若一质点从 出发，每次等可能地沿着三棱台的棱向相邻的另一个顶点运动,设在 次运动后质点仍停留在下底面 的概率为 ,则
【答案】ABD
【解析】易知 为正四面体， 、 均为等边三角形，又 、 均为中点 平面 ,故 A 对.
由①知 ,故 是 到 最短距离, ,故 也是 到 最短距离, 是所有截面中周长最短的且 ,故 B 对. 对 C: 假设 C 成立,则该正四面体应有一个外接球能在三棱台内任意转动. 那么该外接球直径 ,又而此三棱台内能放下的球直径不大于 ，显然 ，故放不下，故 错. 对 ；据题意 ,故 D 对.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.一组数据 的第 60% 分位数为 9 (其中 ,则 最小值为________.
【答案】
【解析】对 10 个数先排序: 。据题意, ,
由 .
13.在平面直角坐标系 中,角 的始边与 轴的非负半轴重合,终边与单位圆 相交于点 ,把角 按顺时针方向旋转 后与单位圆 相交于点 ，则 _______.
【答案】
【解析】设 ,又 .
14.焦点在 轴上的椭圆 与双曲线 有公共左、右焦点 、 ，点 是 与 的公共点且 ,点 在 轴上,满足 ,若 ,则 与 的离心率之积为________.
【答案】
【解析】据题意: 三点共线, ,设 ,则 ,由椭圆第一定义: ,由双曲线第二定义: ,设椭圆,双曲线离心率分别为 ,那么 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.设 为数列 的前 项和,已知 与 的等比中项为 3,且 为等差数列.
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 .
【解析】(1) 易得 ,设等差数列 的公差为 ,因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,即 , 4 分
当 时, ,
当 时, ,满足上式,所以 . 6 分
(2) 由 (1) 知 ,则
所以数列 的前 项和为 . 13 分
16.在一次元宵节三角函数公式竞答决赛活动中，甲、乙两人角逐冠军. 规则如下:①共5次竞答机会,每次竞答两人均从 两个箱子中选择一个公式回答,答完放回; ②甲答对 、 箱中一个公式的概率分别为 ; 乙答对 箱中一个公式的概率均为 ; ③每答对 箱中一个公式得 20 分,每答对 箱中一个公式得 30 分；④ 5 次竞答后总得分最高者获得冠军.
(1)规定甲前两次都从 箱中选择，后三次都从 箱中选择，五次竞答完成后，求甲总分得分至少 110 分的概率.
(2)若前两次甲、乙均从 箱中选择公式，两次竞答后甲得总分 60 分，乙得总分 30 分. 后三次竞答在即， 深思熟虑后甲决定后三次都在 箱子中选择公式竞答，乙决定后三次仍然都在 箱子中选择公式竞答, 请问最终冠军最有可能是谁?
【解析】(1)甲至少 110 分有三种情况:前两次甲得 40 分，后三次甲得 90 分；前两次甲得 20 分，后三次甲得 90 分; 故概率为 6 分
(1)后三次甲选 袋,甲五次总得分 可能为 ; 随机变量 的分布列为:
分. 10 分
后三次乙选 袋,乙五次总得分 可能为 ,
,
,随机变量 的分布列为:
分, 14 分
所以 ,故甲获得冠军的可能性更大. 15 分
17.如图,在三棱柱 中，平面 平面 ，平面 平面 .
(1)求证: 平面
(2)若 是线段 上一点且 ，线段 与过 、 、 、 四点的球面是否有公共点 ? 若有公共点 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】
(1) 平面 内取一点 ,作 于点 ,作 于点 .
平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
平面 . 又 平面 ,所以 3 分
同理 ,所以 平面 5 分
(2)假设线段 上与过 、 、 、 四点的球面有公共点 点，以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系
则 设 ,则
,
设球心 ,半径 ,其中 则球心 10 分
由得，解得
则得心，设入
设，则
∴，解得或（或），
∴存在点满足题意．12 分
，平面法向量
设与平面所成角为 0 ，
则．15分
18.已知点 为圆 上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ，设点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知点 、 ， 为直线 上的动点,连接 交曲线 于 ，连接 交曲线 于 . ( i ) 证明直线 过定点 ;
(ii) 若线段 上存在点 ，有 ，连接 与 交于点 ，求证: .
【解析】 (1)
(2) 设点 ,当 时,则 联立 可得
因为 ,同理可得: , 6 分 ,故 过定点 . 8 分
当 时,易得 过定点 . 9 分
综上: 过定点 . 10 分
(2)证明:若 ，不妨设 ，设 ，设 ， ， 12 分
又 13 分
已知 代入①可得:
即 15 分
故点 在直线 上,过 . 同理,若线段 上存在点 ,使得 ,
可证点 也在直线 上,又 与 交点唯一确定,所以 与 重合. 17 分.
19.已知函数 .
(1)若 仅有一个零点时，求 的取值范围；
(2)函数 ，且 .
( i ) 讨论 的单调性;
(ii) 若存在 ,使得 ,证明: .
【解析】(1) 由 得: ,
令 ,则 , 2 分
的递减区间为 ,递增区间为 ,
且 ,
函数 与 的图象如图, 4 分
故当 仅有一个零点时, 的取值范围为 . 5 分
(2)(i) ，
6 分
① 当 时， 的递减区间为 ；
递增区间为 . 8 分
② 当 的递减区间为 ；
递增区间为 . 9 分
③ 当 的递减区间为 ;
递增区间为 . 10 分
(ii) 由 (i) 知 ,设 ,
(2) ，
6 分
① 当 时， 的递减区间为 ；
递增区间为 . 8 分
② 当 的递减区间为 ;
递增区间为 . 9 分
③ 当 的递减区间为 ;
递增区间为 . 10 分
(ii) 由 (i) 知 ,设 ,
其中 ,
则
在 单调递增,
,即 ,
,
在 单调递增且 ,
,即 . 13 分
再设 ,其中 ,
则 .
且
在 单调递增,
,即 ,
在 单调递增
且 ,即 16 分
由①、②得:
17 分60
80
100
120
Y
30
60
90
120