四川省成都市第七中学2026届高三下学期4月阶段性测试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份四川省成都市第七中学2026届高三下学期4月阶段性测试数学试卷含解析（word版+pdf版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若，则A的真子集个数为
A. 3B. 8C. 7D. 6
【答案】C
【解析】因为集合，所以的真子集有共7个.
2. 在复平面内,复数对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】由题意，复数，
所以该复数在复平面内对应的点为，在第一象限.
3.将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】时间过去1小时，相当于分针转一圈，一圈的弧度为，
故将时钟拨慢15分钟，分针逆时针转过的弧度数为 .
4.函数的部分图象大致为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当时，，所以，排除B.
5.已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知，
则，解得，
在方向上的投影向量为：.
6.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆柱的上底面圆周与分别交于点中点为交于点，
因为四边形是边长为2的正方形，所以，
由，得.
由题意，圆柱的底面圆与正方形的四边都相切，故其半径.
又，
所以，圆柱的高，
所以圆柱的体积为.
7.2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约（ ）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）?（参考数据：）
A. 1880年B. 2580年C. 3550年D. 4150年
【答案】B
【解析】根据题意，，即，
所以，即，
所以，即，
所以区间的中点为，近似到十年为2580年.
8.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分，
符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、
甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率；
情况二：甲赢4局，乙赢2局，
从6局中选4局甲赢，有种，
其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、
乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种，
则符合题意的获胜情况有9种，此时概率；
情况三：甲赢5局，乙赢1局，
符合题意的情况有种，此时概率；
情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率；
综上，概率.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.关于函数，下列说法正确的是
A. 它的极大值为，极小值为
B. 当时，它的最大值为，最小值为
C. 它的单调递减区间为
D. 它在点处的切线方程为
【答案】ACD
【解析】函数，．
由，得或，此时函数单调递增；
由，得，此时函数单调递减，C正确；
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，A正确；
当时，单调递增，它的最大值为，
最小值为，B错误；
，，它在点处的切线方程为，D正确.
10.已知集合，，则下列结论正确的是
A. 当时，B. ，
C. 当且仅当时，D. ，使得
【答案】AB
【解析】对于A，当时，则，，
由，解得，因此，A正确；
对于B，直线过定点，
表示直线上所有的点，因此，B正确；
对于C，，若，则；若，则直线
与直线平行，且，于是，解得，
因此当或时，，C错误；
对于D，若，由选项C知，且，无解，D错误.
11.在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是
A.
B.
C. 周长取值范围为
D. 若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由题意得，，
则由正弦定理得，
因为，所以，则，则，故A正确；
因为，所以，
则，
因为，所以，故B正确；
由，即，得，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，得，
则，
因为，所以，
则，故，
故周长取值范围为，故C错误；
设的外接圆半径为，，则，则，
故和面积之差为
，
因为，所以，则，
故当时，；当时，当时，
故和面积之差的取值范围为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知均为正数，且，则的最小值为________.
【答案】8
【解析】由均为正数，且，
则，
当且仅当，解得时等号成立 .
13.已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为_______.
【答案】
【解析】，则，
因为在区间上恰有3个最小值点，
所以结合余弦函数的性质可得，，得，
则实数的取值范围为 .
14.三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为________.
【答案】
【解析】在平面内，，以中点为原点，为轴正向，
过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，
容易得到:点在双曲线上，
同理，在平面内，以中点为原点，为轴正向，过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，容易得到，点在双曲线上，
由，所以、两点在直线上的投影相同，记为，
∴设，则因为,
所以为平面的平面角,所以中，，
由余弦定理，，解得:，所以
又，所以重合，则，
所以的外接圆圆心分别为的中点，分别记为，
记为外接球球心，则平面平面，
则四点共面，且四边形中，，
因为，所以，
，
在中，.
∴三棱锥的外接球的表面积为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表：
（1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱）
（2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差.
参考数据：，，.
参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，， .
【解析】(1)由已知得，，，
，，
，
故，
所以与的线性相关性很强 .
(2)因为，，，，
，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
当时，，
所以5月份该生物繁殖量的残差为 .
16.如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】（1）是正三角形，为的中点，
．
又是直三棱柱，
平面ABC，
．
又，
平面．
（2）连接，由（1）知平面，
∴直线与平面所成的角为，
．
是边长为2的正三角形，则，
．
在直角中，，，
．
建立如图所示坐标系，
则，，，，．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
设平面与平面夹角为，则
．
平面与平面夹角的余弦值为．
17.的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；
（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值.
【解析】
（1）因为，∴
在中，由余弦定理得，∴
（2）由角分线性质知：，所以
过做垂直于点，
则
所以
（3）由题意可知：
，
∴， .
18.已知函数，.
（1），，求函数值域；
（2）讨论的单调区间；
（3）证明：当时，不等式对任意恒成立.
【解析】 (1) ，时，，函数定义域为，
∴，
∴在区间，上单调递增，在区间，上单调递减；
在处取得极大值，；
在处取得极小值，；
且当时，；当时，；
的值域为.
(2) 函数的定义域为，
求导得：，
当时，在，上均递减；
当时，在，上均递减；
当时为对勾函数，
则在，上分别递增，在，上分别递减.
综上所述：当时，在，上分别递增，在，上分别递减；
当时，在，上分别递减.
(3) ，，则，；
∵函数定义域为关于原点对称，
∴，
，；
∴为偶函数；
则只需证明时，不等式，恒成立；
∵
；
∴；
∵；
∴
；
∵.
∴；
则；
即.
综上所述：当时，不等式对任意恒成立.
19.已知平面直角坐标系中，为：上的动点，.线段的中垂线与直线的交点为R，记点R的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）设，点为E上一点，构造点列：对，点关于x轴的对称点为点，过作斜率为k的直线，与E的另一交点为（若只有一个交点，记为）.
①试判断以和为邻边的平行四边形顶点是否恒在直线上?若是，求出的方程（用表示）；若不是，请说明理由.
②求证：当，且时，数列满足：对，.
【解析】 (1) 点在上，连接，由R在线段的中垂线上，得，
则，因此动点R的轨迹是以C，A为焦点，长轴长为4的椭圆，
即长半轴长，半焦距，则知半轴长，
所以曲线E的方程为.
(2)①依题意，，，，，
设直线，即的方程为，由消去，
得，则，
即，，
因此，而，
则，在中，，
即，直线斜率恒为，
所以点恒在直线：上.
②由①知，，当时，，
当时，，则，
由在椭圆上，令，对，，
，，，
由，得，则，，
则，对，，
因此，，
由，得，
所以.
月份
1
2
3
4
5
繁殖量/千个
1.5
2
3.5
8
15