2026临汾高三下学期质量监控第一次模拟测试数学含解析

这是一份2026临汾高三下学期质量监控第一次模拟测试数学含解析，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．1C．2D．3
2．已知直线与直线平行，则（ ）
A．2B．或2C．D．或1
3．从1，3，5，7，9这五个数中，依次取出两个不同的数a，b，共可得到的不同值的个数是（ ）
A．10B．16C．18D．20
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，数列满足：，则为（ ）
A．2025B．2026C．4050D．4052
8．阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的菱形，平面，，，AC与BD相交于点O，E是线段PB上的动点，则（ ）
A．
B．PO与底面ABCD所成角的正切值为2
C．二面角的余弦值为
D．面积的取值范围是
11．已知函数的部分图象如图，则（ ）
A．是图象的一条对称轴
B．在区间上单调递增
C．在区间上的零点之和为
D．函数的零点个数为11个
三、填空题
12．已知随机变量X服从正态分布，，则______.
13．已知在底面边长为，高为的正三棱柱内有一个半径为的小球，该小球可以在正三棱柱内自由活动，当任意旋转、晃动正三棱柱过程中小球至少与正三棱柱的一个面相切时，小球球心的轨迹在正三棱柱的内部又会形成一个新的几何体，则该几何体的体积为________.
14．2026年马年春晚，魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器人领域的强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点O沿东偏北方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为，则机器人行走2min时距原点的最远距离是________m，最近距离是________m.
四、解答题
15．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
16．水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产、所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据：
根据以上数据，绘制成如图所示的散点图：
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.
(1)根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；
(3)若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里.
参考数据：
其中，
参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
17．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角B；
(2)当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围.
18．已知椭圆的右焦点为F，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F作直线l（与x轴不垂直）与椭圆C交于A、B两点，在直线上取点P，使，证明：直线PB恒过定点；
(3)设点Q为椭圆上异于其左右顶点的一点，过Q分别作椭圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，设直线QM、QN的斜率分别为、，证明：为定值.
19．已知函数（，且）.
(1)当时，在处的切线斜率为0，求b的值；
(2)若对任意的，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
(3)当，时，若函数有两个不相等的零点，，证明：.
x/年
1
2
3
4
5
6
7
y/平方公里
6
11
21
34
66
101
196
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
参考答案
1．B
【详解】
2．C
【详解】因为直线与直线平行，
根据两直线平行的充要条件可得，解得或，
当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意；
当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意.
所以
3．C
【详解】总的有序数对的个数为,因为 ，所以不同值的个数即为不同比值的个数.
在20个比值中，由于 以及，存在两组比值相同的情况，因此实际不同值的个数为.
4．A
【详解】指数函数在定义域内单调递减，所以，即.
对数函数在上单调递增，所以，即.
对数函数在上单调递增，所以，即.
又，
，，
所以，即，所以.
综上，.
5．C
【详解】根据题意，三人的选择组合共有种，
其中看同一部电影的情况有种，
所以三人看同一部电影的概率为．
6．D
【详解】在中，由及正弦定理，得外接圆半径，
在三棱锥中，由平面，得三棱锥外接球球心在线段的中垂面上，
因此三棱锥外接球球心到平面的距离，
所以三棱锥外接球半径，该球的表面积.
7．B
【详解】由函数，得
，
令，
则，
两式相加得，
所以，解得.
8．B
【详解】设过的直线的方程为，
联立方程，得到，
不妨设，
由韦达定理得到，
因为，所以，
又因为，即 ，
所以，即，
所以，得到
即，解得，所以
即，解得，所以，
所以,得到，
所以直线的方程为，即.
对两边求导得到，
所以点的切线斜率，
所以方程为即，
同理可得方程为，
联立方程得到，解得，
所以点到直线的距离为，
，
所以 .
9．BC
【详解】对于选项AD：当时，则在上单调递增，故D错误；
且在定义域内单调递增，可知在上单调递增，故A错误；
对于B：因为的定义域为，且，可知为偶函数，
由幂函数性质可知在上单调递减，故B正确；
对于C：因为的定义域为，且，可知为偶函数，
当时，则在上单调递减，故C正确.
10．ABD
【详解】对于选项A，底面是菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，选项A正确；
对应选项B，底面是边长为的菱形，，
所以，所以，
因为平面，，
所以PO与底面ABCD所成角的正切值为，所以选项B正确；
对于选项C，记的中点为，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，解得，所以平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，则，
所以C错误；
对应选项D，可知，
则，设，
可知，得，即，
，，
因为平面，所以，所以，
即，
当时， ，
即三角形面积的取值范围为，所以D正确.
11．BCD
【详解】
.
由图象可知，，所以，即，解得.
所以，又图象经过点，且在处递增趋势，
所以，，解得，，
因为，所以.
所以.
选项A：令，，则，，
即函数的对称轴为，，故不满足，A错误.
选项B：当时，，
又在上单调递增，所以在区间上单调递增，故B正确.
选项C：令，即，，解得，，
又，所以或，零点之和为，故C正确.
选项D：函数定义域为.
令，则，
易知，最小正周期为.
令，，，
在定义域上单调递增，所以大致图像如下：
由图可知，曲线与有11个交点，故D正确.
12．3
【详解】因为随机变量X服从正态分布，且，
所以根据对称性可得.
13．
【详解】由题意，正三棱柱的高为，小球的半径为，
当小球与上底面相切时，球心到上底面的距离为，当小球与下底面相切时，球心到下底面的距离为，
所以在上下方向上，球心的轨迹在距离上下底面各为的位置，即在高为的范围内.
正三棱柱底面是边长为的正三角形，当小球与侧面相切时，球心到侧面的距离为，
相当于在正三角形的内切圆基础上，向正三角形的中心方向移动了个单位，如图，
而，，在正三角形中，可得，
又为正三角形的中心，所以，所以，
又，所以，所以，
所以，
这样，球心的轨迹在底面形成的图形是一个边长为的正三角形，
综合以上分析，球心的轨迹在正三棱柱的内部形成的新几何体是一个底面边长为，高为的正三棱柱.
因此，该几何体的体积为.
14． 30
【详解】设改变方向的地点为M，终点为P，
由于，所以，，
，，
由余弦定理得
当时，，当时，，
结合二次函数的性质可知当时，
取得最小值；
由，则，，
结合二次函数的性质可知当或时，
取得最大值；
综上所述，，最远距离是，最近距离是.
15．(1)，
(2)
【详解】（1）①，
当时②，
①-②得，
当时，，符合上式，
综上：，.
（2），
则
.
16．(1)更适宜
(2)
(3)347
【详解】（1）由散点图得，藻类面积随时间的增加其增长速度越来越快，
所以更适宜作为藻类面积y与时间x的关系的回归方程类型.
（2）由，两边同时取常用对数得，
设，，，则，
由，，得，
则，因此，，
所以y关于x的回归方程为.
（3）当时，（平方公里）
所以若不加治理，第8次检测时，藻类面积约为347平方公里.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题可得，
即
因为，，所以，即，
因为，所以.
（2）解法一：，，
由余弦定理可得：，即.
所以，即.
，
由正弦定理可得，，，
则
因为，，所以
所以，所以
解法二：由正弦定理可得，，，
则
因为，，所以，
所以，
所以.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可知：，又，故
解得：，故椭圆C的方程为：；
（2）当时，设直线AB的方程为：，
且交椭圆C分别为点、，则，
联立，有，
，
故，，故，
由图形的对称性知，直线恒过的定点在x轴上，
设定点为， 则有，即，
故，
即直线BP恒过定点；
当时，直线BP方程为：，此时直线BP亦过定点；
综上，直线BP恒过定点；
（3）设，设切线为：，
联立，有，
由，
得，
即，即，
故，又Q在椭圆E上，即①，
将①代入得，
故为定值.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由可知，，
则，由题可得：，
故.
（2）因为，则，
因为，，
所以是单调递减函数，
令，得唯一极值点，
在递增，递减，
所以有两个零点等价于，
则，，得：
，约去正数，
得，
当时，，
因此 ，即，得出 ，
故，又，故.
（3）方法一：
当时，，
时，
令，则有，
即，
则在单减，在单增，
不妨设，
构造，
，
，
，
，
，
令，则在上单减，
，故，
故在单减，故，
又，，
又，，
又，且在单增，
故，故得证.
方法二：已知，
即，两式相减得：，
即：，
故，
不妨设，则，，
下证：，
令，则，
即证，即证，
令，，
则，
故在上单增，故，
所以，故得证.