浙江省湖州市2025-2026学年高三考前热身数学试卷（含答案解析）

这是一份浙江省湖州市2025-2026学年高三考前热身数学试卷（含答案解析），共7页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数（， ， ）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ）
A．2，0B．2， C．2， D．2，
2．观察下列各式：，，，，，，，，根据以上规律，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知三棱柱( )
A．B．C．D．
5．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A．B．C．D．
6．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
7．函数，，则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为
A．B．
C．D．
9．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）
A．B．C．D．
10．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（ ）
A．B．C．D．
12．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆相交于两点，则弦的长等于____________．
14．已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________．
15．已知数列的各项均为正数，记为数列的前项和，若，，则______.
16．给出下列等式：，，，…请从中归纳出第个等式：______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，，不等式恒成立.
（1）求证:
（2）求证:.
18．（12分）已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围.
19．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且.
（1）求角的值；
（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.
20．（12分）已知三棱柱中，，是的中点，，.
（1）求证：；
（2）若侧面为正方形，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（12分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.
（1）求证：；
（2）当时，求的取值范围.
22．（10分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；
（2）化简求值：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案
【详解】
由函数图象可知：
，
函数的图象过点
，
，则
故选
本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果
2．B
【解析】
每个式子的值依次构成一个数列，然后归纳出数列的递推关系后再计算．
【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字，，，，，，，构成一个数列，可得数列满足，
则，
，．
故选：B．
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．
3．A
【解析】
首先求得平移后的函数，再根据求的最小值.
【详解】
根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数，
所以，所以．又，所以的最小值为．
故选：A
本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.
4．C
【解析】
因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
5．A
【解析】
详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，
且俯视图应为对称图形
故俯视图为
故选A.
点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
6．A
【解析】
由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，
再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，
所以，即椭圆的左焦点为，且 ①
直线交轴于，所以，，
因为，所以，所以，
又由点在椭圆上，得 ②
由，可得，解得，
所以，
所以椭圆的离心率为.
故选A.
本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
7．B
【解析】
根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
设，若函数是上的奇函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.
所以，“是奇函数”“的图象关于轴对称”；
若函数是上的偶函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.
所以，“的图象关于轴对称”“是奇函数”.
因此，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.
故选：B.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.
8．C
【解析】
由题可得，解得，
则，，
所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C．
9．B
【解析】
利用复数的除法运算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.
【详解】
由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为
故选：B
本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.
10．D
【解析】
如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.
【详解】
如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.
故，，.
故，故，.
故选：.
本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
11．B
【解析】
由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.
【详解】
由题意可知，
框图的作用是求分段函数的值域，
当；
当
综上：.
故选：B
本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
12．B
【解析】
化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.
【详解】
对应的点的坐标为在第二象限
故选：B.
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
方法一：依题意，知直线的方程为，代入圆的方程化简得，解得或，从而得或，则．
方法二：依题意，知直线的方程为，代入圆的方程化简得，设，则，故.
方法三：将圆的方程配方得,其半径,圆心到直线的距离，则.
14．
【解析】
设直线l的方程为，，联立直线l与抛物线C的方程，得到A，B点横坐标的关系式，代入到中，解出t的值，即可求得直线l的方程
【详解】
设直线．
由题设得，故，
由题设可得．
由可得，
则，
从而，得，
所以l的方程为,
故答案为：
本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.
15．63
【解析】
对进行化简，可得，再根据等比数列前项和公式进行求解即可
【详解】
由
数列为首项为，公比的等比数列，
所以63
本题考查等比数列基本量的求法，当处理复杂因式时，常用基本方法为：因式分解，约分。但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质
16．
【解析】
通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第个等式即可．
【详解】
解：因为：，，，
等式的右边系数是2，且角是等比数列，公比为，则角满足：第个等式中的角，
所以；
故答案为：．
本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）先根据绝对值不等式求得的最大值，从而得到，再利用基本不等式进行证明；
（2）利用基本不等式变形得，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.
【详解】
（1）∵，∴.
∵，，，
∴，
∴，
∴.
（2）∵，，
即两边开平方得.
同理可得，.
三式相加，得.
本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力.
18．（1）；（2）
【解析】
分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；
(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当时，，即
故不等式的解集为．
（2）当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.
19． (1) .(2) .
【解析】
（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；
（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意知，∴，
由余弦定理可知，，
又∵，∴.
（2）由正弦定理可知，，即
∴
，
又∵为锐角三角形，∴，即，
则，所以，
综上的取值范围为.
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
20．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取的中点，连接，，证明平面得出，再得出；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，，
，，，
，
，故，
又，，平面，
平面，
，
，分别是，的中点，，
．
（2）解：四边形是正方形，，
又，，平面，
平面，
在平面内作直线的垂线，以为原点，以，，为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，2，，，0，，
，1，，，2，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得：，，，
，．
直线与平面所成角的正弦值为，．
本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．
21．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）分两种情况讨论：①两切线、中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线、的斜率都存在，可设切线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出关于的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为，进而可得出结论；
（2）求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出，换元，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
（1）由于点在半圆上，则.
①当两切线、中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为，或，，此时；
②当两切线、的斜率都存在时，设切线的方程为（、的斜率分别为、），
，
，，.
综上所述，；
（2）根据题意得、，
，
令，则，
所以，当时，，当时，.
因此，的取值范围是.
本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.
22．（1）（2）
【解析】
（1）求曲线和曲线围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间上的定积分．
（2）首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出，
然后再整体代入可得；
【详解】
解：
（1）联立解得，，所以曲线和曲线围成的图形面积
．
（2）
∴
本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.