河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年下学期4月月考高二数学试题（文）（含解析）

这是一份河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年下学期4月月考高二数学试题（文）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知数列满足，且，则（ ）
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据递推公式求解即可.
【详解】由，且，
得，所以.
故选：A.
2. 设是可导函数，且，则（ ）
A. 2B. C. -1D. -2
【答案】B
【解析】
【详解】
，即 .
3. 已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（ ）
A. 3B. －3C. 2D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边数列的性质即可求解方程得，即可求解.
【详解】解：由是单调递增的等比数列且，
所以是的两个实数根，且，
得，故．
故选：C．
4. 已知函数在处取得极值，则（ ）
A. B. C. 5D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可．
【详解】函数，
则，
因为在处取极值，
所以，解得：，
经检验满足题意.
故.
故选：D.
5. 已知函数，则（ ）
A. －1B. 0C. －8D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】求导，解得，得到求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
则，
解得，
则，
所以，
故选：C
6. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时，（ ）
A. 1B. 2C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据，确定数列的正负项，可得当取得最小值时.
【详解】令，则，解得，
所以，，，当时，，
所以当取得最小值时.
7. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的前n项和公式设，再利用关系即可求解.
【详解】∵，又因为等差数列的前项和分别为，
则设
∴.
8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解.
【详解】由题当时，，所以，
所以当时，，当时，；
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
当时，当时，；
当时，；
所以可作出函数的图象，如下图，
若要使函数有个不同的零点，
所以的图象与直线有个交点，
即，解得.
二、多选题
9. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递减B. 当时，取得极大值
C. 当时，取得极小值D. 是在上的最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可.
【详解】对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确；
对于B，C，由题图易知在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值，故BC，正确；
对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误.
10. 已知等差数列的前项和存在最小值，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 首项
B.
C. 当时，取得最小值
D. 时，最小为19
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据等差数列前项和存在最小值确定公差，首项，再分别对各选项利用等差数列通项公式，前项和公式及性质进行分析判断.
【详解】已知等差数列的前项和存在最小值，
所以数列公差，首项，
在A选项中， 首项，A错误，
在B选项中， 利用等差数列通项公式可得：
，
又因为，故，
即，B正确，
在C选项中， 已知，且，
因此，，
所以前10项均为负数，从第11项开始为正数，
前项和在时取得最小值，C正确，
在D选项中， 利用等差数列前项和性质可得：
（），
（），
因此时，最小为，D错误.
11. 已知函数，过点且与图象相切的直线有且只有一条，则的值可以为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】设切点横坐标为 ，将切线过点 条件转化为 ，分析 的单调性与极值后， 需大于极大值 或小于极小值 ，进一步结合选项得出答案.
【详解】由，求导得.
设切点为，则切线方程为.
因为切线过点，代入得， 即.
将与代入并整理： .
令.
所以过点的切线有且只有一条等价于： 方程有唯一实数解.
.
令，易得或函数两极值点，计算极值：，.
易得当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减.
故的极小值为，极大值为.
方程有唯一解的条件为或.
结合选项： ，符合条件； 为极大值，不符合条件. 故的值为.
三、填空题
12. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知在区间内恒成立，整理可得，结合对勾函数单调性运算求解.
【详解】由题意可知：在区间内恒成立，
可得在区间内恒成立，
因为在区间内单调递增，则，
可得，所以实数的取值范围为.
13. 已知数列的前项和，则的前8项和为__________．
【答案】32
【解析】
【分析】根据，求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前8项的和即可.
【详解】已知，.
当时，.
满足上式，所以，.
则当时，；当时，；
所以
14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．
【答案】
【解析】
【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数，可得，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
又由函数，可得，
设曲线的切点为，
则，解得.
故答案为：.
四、解答题
15. 已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1．
（1）求a；
（2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出导数，结合导数值和斜率的关系可求答案；
（2）设出切点坐标，求导得出切线方程，代入点的坐标可求切点，进而可得方程.
【小问1详解】
，因为曲线在点处的切线的斜率为1，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）知，，
设切点坐标为，则，切线的方程为，
又点在曲线上，所以，代入得，
即，
整理可得，故l的方程为，即.
16. 已知函数的图象过点，且.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调区间，极值和值域.
【答案】（1）
（2）函数的单调增区间：和，单调减区间： ；极大值为，极小值为，值域为.
【解析】
【分析】（1）求出，根据题意得出，求出、的值，可得出函数的解析式；
（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用函数的极值、最值与导数的关系可求出函数在区间上的极值、最大值和最小值可得答案.
【小问1详解】
因为，则，
由已知条件得，解得，
所以，
【小问2详解】
由（1）知，，，
由可得或，列表如下：
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，函数在区间上的极大值为，极小值为，
又因为，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以值域为.
17. 已知数列满足，，且对任意均成立，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）整理可得，结合等比数列通项公式可得，分析可知数列an−3n−12为常数列，即可得数列的通项公式；
（2）整理可得，结合裂项相消法运算求解.
【小问1详解】
因为，
则，即，
且，
可知数列是以首项为1，公比为3的等比数列，
则，
即，可得，
可知数列an−3n−12为常数列，
则，所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，
所以Sn=6−3+3−43+43−59+⋅⋅⋅+n+13n−2−n+23n−1=6−n+23n−1.
18. 已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的等差中项性质，结合已知条件建立方程求解基本量和公差，再利用因式分解处理数列递推关系，根据正项数列确定等比关系，从而得到通项公式；
（2）数列按奇偶项分组求和，奇数项直接利用等比数列求和，偶数项通过裂项相消法化简求和，最终将两部分相加得到前项和.
【小问1详解】
是等差数列，由等差中项性质得：，得，
又，所以，公差，
所以；
，
因为数列各项为正数，，故，
即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：；
【小问2详解】
由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分：
设奇数项和为，设偶数项和为，
，
为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列，
共项，故，
为偶数时，设，则：，
裂项相消求和：，
所以.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有极小值，且，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数求得，进而利用导数的几何意义可求得切线方程；
（2）求导，分和两种情况讨论可求得的单调性；
（3）结合（2）可得时，有极小值，进而结合题意可得，进而求解即可.
【小问1详解】
当时，，
所以，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
由，
得，
函数的定义域为，
若，可得时，，所以在上单调递增；
若时，当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）可知当时，有极小值，极小值为，
此时极小值也是最小值，由，可得，，
又，所以.
令，求导得，
所以在上单调递减，又，
当时，，当时，，
所以时，，此时满足，
所以a的取值范围.
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增