福州市2026届高三下学期4月适应性练习 数学试卷及答案

这是一份福州市2026届高三下学期4月适应性练习 数学试卷及答案，共19页。试卷主要包含了只给整数分数等内容，欢迎下载使用。
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、单项选择题
二、多项选择题
三、填空题
12．60° 13． 14．
四、解答题
15.本小题主要考查函数的奇偶性、函数的零点、三角恒等变换、等差数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力等，考查函数与方程思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性.满分13分.
解法一：（1）因为为奇函数，所以，1分
即恒成立.
得恒成立，2分
所以恒成立，3分
所以恒成立，4分
所以，5分
解得.6分
（2）因为，所以，
令，则，8分
所以或，10分
解得或，11分
令，，则，
所以，12分
所以．13分
解法二：（1）因为为上的奇函数，所以，2分
所以，3分
解得， 4分
经检验，是奇函数，
所以.6分
（2）因为，所以，7分
令，则，9分
所以，10分
所以或，
解得或或，11分
令，，，
则，
所以，
所以．13分
解法三：（1）同解法一．6分
（2）因为，所以，因为，
所以是的一个周期，7分
当时，令，则，9分
解得，10分
所以在区间的零点之和为．11分
令，
则是以为首项，为公差的等差数列，12分
所以
．13分
16.本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性．满分15分．
解法一：（1）函数的定义域为，．2分
当时，因为，所以，3分
又，4分
所以曲线在点处的切线方程为，
即．7分
（2）(i)当时，不符合题意，舍去；9分
(ii)当时，显然成立；11分
(iii)当时，令，得，令，得；
所以在单调递减，在单调递增．13分
所以，解得．14分
综上所述，的取值范围为．15分
解法二：（1）同解法一．7分
（2）由已知，得．
(i)当时，可得．8分
因为，所以，9分
又因为时，，
所以；10分
(ii)当时，恒成立，所以；11分
(iii)当时，可得．
令，，12分
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；13分
所以，所以．14分
综上所述，的取值范围为．15分
17.本小题主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系、三点共线等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分15分．
解法一：（1）当轴时，，
所以，1分
所以，3分
从而，，5分
故的方程为．6分
（2）设，，，7分
则，即．8分
又，
所以，，，. 10分
因为，，
所以，，12分
两式相加、减，得，，13分
又因为，，
，14分
所以，故三点共线. 15分
解法二：（1）当轴时，，
所以或，1分
所以①，2分
又②，4分
由①②，解得，，5分
故的方程为．6分
（2）设，则，即．7分
( = 1 \* rman i)当直线，斜率均存在时，，，
所以直线，，9分
由得，10分
由得， 11分
所以，，
因为，
所以，故三点共线. 12分
( = 2 \* rman ii)当直线或斜率不存在时，根据对称性，不妨设斜率不存在，且，
此时点，，，故直线，从而， 则，，
所以三点共线.14分
综上，三点共线. 15分
18.本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学运算、逻辑推理、数据分析、数学建模等核心素养等.体现基础性，应用性.满分17分.
解：（1）由题可知，，1分
化简可得 ， 2分
当时，，
则，
即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为.4分
（2）（ = 1 \* rman i）设事件“一次性购买个文创盲盒”（），事件“顾客为幸运客户”，
5分
则，，，.
依题意，得，，6分
因为每个盲盒是否为封面款相互独立，
所以，，8分
又由题意知，，且两两互斥，9分
所以，11分
由（1）得，，代入化简可得，
所以，.12分
（ = 2 \* rman ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，
依题意，得，13分
且，两两互斥，
所以，14分
由（ = 1 \* rman i）得，，
所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为
，16分
由题意，可得，解得，
又因为，所以.17分
19.本小题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成角，二面角，平面轨迹方程等基础知识；考查运算求解能力，直观想象能力，逻辑推理能力等；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想等；考查数学运算，逻辑推理，直观想象等核心素养．体现综合性和创新性．满分17分．
解法一：（1） 因为平面，,所以，．1分
不妨设，且，
因为，所以，，，
所以，所以为△的最大内角．2分
由余弦定理，得，3分
所以，所以△是锐角三角形．4分
（2）（i）因为，在上，且，
由对称性知在同一个轨迹上，且轨迹关于对称，
故以为原点，分别为轴和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
设，，因为，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，
故，即， 5分
故，，
，
依题意得，化简得，6分
且，即，故，又点不在直线上，故，
同理，，且，7分
故在坐标平面中，是双曲线右支上的动点，且在轴的两侧，如图．
因为的两条渐近线分别为和，它们的夹角为，
所以．8分
因为平面平面，，，
所以是二面角的平面角，所以二面角为锐角．9分
（ = 2 \* rman ii）因为△不是任何一个长方体的截面，所以△是直角三角形或钝角三角形．10分
证明如下：
若△为锐角三角形，有，，，
可令，，，
则存在以为共点棱的长方体，△为该长方体的截面．
由（1）知，若△是长方体的截面，则△是锐角三角形，
所以△不是任何一个长方体的截面等价于△是直角三角形或钝角三角形．11分
由（i）知，，所以，又因为，，
所以，故．12分
因为，所以分别是直线与所成的角， 即，
不妨设，则，且，所以，，13分
且．
作于，因为平面，平面，平面，
所以，又，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，
所以，即直线过，14分
所以，所以，15分
这样，问题等价于在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上，直线过点，，，求的最小值．
如图，不妨设点在第四象限，则，．因为都在双曲线的右支，故，
即，所以，又，，
故解得即，16分
所以，
当，即时，等号成立．
故的最小值为．17分
解法二：（1）因为平面，，所以，．1分
又因为，故可以为原点，分别为轴，轴和轴的正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系．2分
设，所以，在中，
，所以为锐角，
，所以为锐角，
，所以为锐角，
所以是锐角三角形．4分
（2）（ = 1 \* rman i）同解法一．9分
（ = 2 \* rman ii）因为△不是任何一个长方体的截面，所以△是直角三角形或钝角三角形．10分
证明如下：
若△为锐角三角形，有，，，
可令，，，
则存在以为共点棱的长方体，△为该长方体的截面．
由（1）知，若△是长方体的截面，则△是锐角三角形，
所以△不是任何一个长方体的截面等价于△是直角三角形或钝角三角形．11分
作于，因为平面，平面，平面，
所以，又，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，
所以，即直线过．12分
在平面直角坐标系中，设直线的方程为，
联立得，
依题意，有且
因为，所以．
因为，
所以
，13分
，
同理，
不妨设，则必有．
因为，
因为且，所以，代入上式得到
14分
，
所以，
又因为，所以．15分
因为，所以分别是直线与所成的角，即，
因为，所以，所以，所以，16分
，
当，即时，等号成立．
故的最小值为．17分
解法三：（1）因为平面，，所以，．1分
又因为，所以在中，
，所以为锐角，2分
，所以为锐角，3分
，所以为锐角，
所以是锐角三角形．4分
（2）（ = 1 \* rman i）同解法一．9分
（ = 2 \* rman ii）因为△不是任何一个长方体的截面，所以△是直角三角形或钝角三角形．10分
证明如下：
若△为锐角三角形，有，，，
可令，，，
则存在以为共点棱的长方体，△为该长方体的截面．
由（1）知，若△是长方体的截面，则△是锐角三角形，
所以△不是任何一个长方体的截面等价于△是直角三角形或钝角三角形．11分
由（i）知，，所以，又因为，，
所以，故．12分
因为，所以分别是直线与所成的角，即，
不妨设，则，且，所以，，13分
且．
作于，因为平面，平面，平面，
所以，又，所以．
因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点，
所以，即直线过，14分
所以，所以．15分
这样，问题等价于在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上，直线过点，，求的最小值．
如图，不妨设点在第四象限，因为，所以点在以为直径的圆内（含边界），记
圆与双曲线在第四象限的交点为，则．
因为在渐近线的上方，故，而，故，即直线与双曲
线右支有两个交点，符合条件．所以当点位于点时，最大，则最小．16分
联立，得，解得或（舍去），
故当，即时，的最小值为．
故的最小值为．17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
C
C
B
C
D
题号
9
10
11
答案
BCD
AD
ACD