答题模板15 数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减、奇偶并项、周期与类周期综合）-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案）

这是一份答题模板15 数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减、奇偶并项、周期与类周期综合）-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案），共62页。学案主要包含了二级结论等内容，欢迎下载使用。

模块说明：
洞察命题意图，明确攻坚方向
1. 考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。
2. 思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。
1. 考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）
数列求和问题在高考中已从单一方法套用，演变为融合递推关系、函数背景、不等式论证及代数变形能力的综合性思维载体。试题常以等差、等比数列为基础，通过嵌入分式、指数、三角函数、绝对值等结构，要求学生灵活选用并交叉运用分组求和、裂项相消、错位相减、奇偶项讨论、周期与类周期处理等方法，实现求和目标的化归与求解。这类问题集中体现了“结构识别→方法匹配→变形化简”的完整思维链，是检验学生代数运算素养与策略选择能力的关键题型之一。
核心考查三大方向：
一是方法识别与条件转化，能根据通项公式的结构特征（如分式、等差乘等比 、周期重复等）迅速匹配最适求和策略；
二是跨方法融合与分段处理，特别是在含绝对值、奇偶项不同规律、周期循环等情境中，能合理分段并组合多种求和方法；
三是数列与函数、不等式的综合，借助求和结果进一步处理最值、恒成立、证明不等式等延伸问题，体现数列的工具性与应用价值。
2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）
学生常见误区：面对复杂通项时缺乏“先看结构、再选方法”的系统分析习惯，常盲目尝试某一种方法而陷入复杂运算；对裂项相消的配凑技巧掌握机械，不善于通过观察分母关系或尝试待定系数进行主动构造；在错位相减过程中容易漏项、错位不对齐或化简出错；处理含或周期数列时，对奇偶讨论的分类标准不清晰，或未能发现隐藏的周期规律；在分组求和时，对如何合理拆分重组缺乏整体视角，导致组内无法直接求和。这暴露出学生在结构识别能力、代数恒等变形的熟练度、分类讨论的严谨性以及多方法综合运用的策略意识等方面存在明显短板，尤其不善于从通项的“形式特征”出发进行方法预判与路径规划。
模块说明：
构建思维框架，提炼通用解法
1.模模块化知识体系：熟记数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期综合）有关的5类核心题型的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。
2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。
3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。
结论背记
一、二级结论
1. 常见的裂项技巧：
2.万能公式
形如的数列求和为，
其中，，
技法归纳
方法一 分组求和的应用及解题技巧
分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中的常考考点，需强加练习
例题1 （2025·内蒙古赤峰·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的等差中项以及公差计算，结合其通项公式，可得答案；
（2）根据等差数列的求和公式，可得新数列的通项公式，利用分组求和，可得答案.
【详解】（1）由数列为等差数列，则，解得，
可得等差数列的公差，
可得
所以等差数列的通项公式为..
（2）由等差数列易知，
则，设数列的前项和为，
可得，
当时，；
当时，.
综上可得数列的前项和为.
例题2 （2025·浙江杭州·一模）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由等差数列通项公式建立方程组，解得首项和公差，即可写出数列通项公式；
（2）结合题中条件和等比数列通项公式建立方程组，解得首项和公比，即可求得通项公式，从而求得数列通项公式，利用等比数列和等差数列前项和公式即可求得数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得，
所以的通项公式为.
（2）设等比数列的公比是，
由，得，解得，
所以的通项公式为，此时，，
满足，故.
结合（1）知，
所以数列的前项和.
方法二 奇偶并项求和的应用及解题技巧
裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练习
例题3 （2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求数列的通项公式.
（2）利用分组求和法求和.
【详解】（1）当时，，
当时，，，
两式相减得，，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
故.
（2）当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
.
例题4 （2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出数列的通项公式；
（2）分为偶数、奇数两种情况讨论，当为偶数时，可得出，利用等差数列的求和公式可求出的表达式；当为奇数时，可得出，可得出的表达式.综合可得出的表达式.
【详解】（1）设数列的公差为，由，则，
即，解得，
所以．
（2）由可知，
当为偶数时，
．
当为奇数时，．
综上所述，
方法三 裂项相消求和的应用及解题技巧
错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习
例题5 （2025·云南昭通·模拟预测）在正项数列中，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，设数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可；
（2）利用裂项相消法进行运算证明即可.
【详解】（1）由，得，
因为数列为正项数列，所以，即，
又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，即，
则，
∴，
∵，，∴．
例题6 （2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）由得，可知，
两式相减得，
即，
，
∵当时，，
则是首项为1，公差的等差数列，
的通项公式为；
（2），
，
.
例题7 （2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对题干条件化简，求出前项和为与的关系式，再利用关系式求出通项公式.
（2）先求出数列的通项公式，根据列项求和法求出的值.
【详解】（1）由题意得，
所以，又数列是各项都是正数的数列，，
所以，，
当时，有，
所以，
所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
裂项得，证毕.
方法四 错位相减求和（万能公式）的应用及解题技巧
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等。这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习
例题8 （2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且．
(1)求；
(2)令，求的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用与的关系作差求，利用等比数列的通项公式求；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为数列的前项和，且满足，
所以，当时，，
所以，
经验证时，满足，故，
因为数列为公比大于0的等比数列，且，，
设公比为，所以，解得，
所以，.
（2）由（1）可得，
所以①，
②，
①②得，
所以.
例题9 （2025·云南昭通·模拟预测）已知数列是等差数列，且，数列的前项和为，且，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用，可求数列的通项公式，利用等差数列通项公式、可求得，即可求得的通项公式；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和即可.
【详解】（1）由数列的前项和为，可知，
，
经检验当时，也满足上式，所以．
在等差数列中，因为，，
所以，解得，
所以．
（2）由（1）知，，
所以．
则，
两式相减，得
化简得：．
例题10 （2025·辽宁·三模）已知数列的前n项积为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由时，代入求解即可;
(2) ,再利用错位相减法求和即可.也可以通过裂项相消法求和.
【详解】（1）当时，
当时，成立，
综上可得．
（2）解法一：，
，
，
，
．
解法二：，
设，
所以
即，
所以，
所以的前n项和
例题11 （2025·天津滨海新·模拟预测）已知是公比为的等比数列．对于给定的（，，⋯），设是首项为，公差为的等差数列，记的第项为．若，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和
(3)若，求使得成立的最大整数的值．（其中表示不超过的最
大整数）
【答案】(1)
(2)
(3)满足不等式的最大正整数
【分析】（1）根据给定定义，可得，进而列出的方程组，求解即可；
（2）由（1）求得，进而求得，利用错位相减法求得；
（3）由（1）求得，进而求得，进一步可证明，从而可得，计算可得满足不等式的最大正整数.
【详解】（1）依题意可得，
，
，
由，且，得，解得，于是，
所以的通项公式是；
（2）由题意可得，
所以，
所以
可得，
两式相减得，
令，
则有，
两式相减得
，
所以，
所以，
所以；
（3）根据题意可得，
所以
。
下证当时，，
，
因为，当时，，
所以
所以当时，，
所以，
当时，，所以，
所以，
所以，满足不等式的最大正整数.
【点睛】关键点点睛：正确理解数列新定义，进而得到的关系式，求得数列的通项公式，在此基础上，进一步求解后面的问题，第三问关键在于证明，从而可得，从而求解问题.
方法五 周期求和的综合应用及解题技巧
数列是一种特殊的函数，函数的周期性考察往往也存在于数列题中。周期性数列求和相对简单，需强化学习
例题12 （2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求该数列的前100项的和．
【答案】134
【分析】根据数列的递推关系求得数列以3为周期，且一个周期的三项之和为4，利用周期性求和即可.
【详解】由，，
可得，，，，，，，
所以数列以3为周期，且一个周期的三项之和为4，
所以有．
例题13 （2025高三·全国·专题练习）已知数列，判断数列的周期性．
【答案】周期数列，周期为3
【分析】写出数列的前4项，然后结合递推公式即可求解周期.
【详解】由题意，所以，
根据递推公式可知，数列是周期数列，周期为3.
例题14 已知数列，满足，其中，.
(1)若，.
①求证：为等比数列；
②试求数列的前n项和.
(2)若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)
【分析】（1）①，利用累加法求解即可；
②由①得,令，的前项和为,利用错位相减法求解数列的和即可；
（2）推出数列是一个周期为6的周期数列,然后求解数列的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出，则得到答案.
【详解】（1）①证明：，当时累加得
，，又
所以为首项为2，公比为2的等比数列.
②由①得，令，的前项和为，
则，
，
得
（2）若，则，
所以数列是周期为6的周期数列，设，，则，，，，
设数列的前n项和为，则.
所以，
，所以
所以.
模块说明：
聚焦前沿题型，靶向提升解题能力
1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。
2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。
【题型01】分组求和（共6题）
1．（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系化简可得，利用等比数列通项公式求法计算即可求解；
（2）求得，利用分组求和即可求解.
【详解】（1）当时，由题意可知，
因为，即，
当时，，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
当时，，
当，
，
因为，
所以，
综上，.
2．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可；
（2）由错位相减法可得结果；
（3）分和两种情况求和计算结果.
【详解】（1）设公差为，公比为，
，故，，
，故，
联立，解得或（舍去），
故，；
（2），
设数列的前项和为，
则，①
，②
两式①-②得：，
所以；
（3）令，设数列的前项和为，
则，
由，解得，
当时，，则，
当时，，
则
，
综上：.
3．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解；
（2）由分组求和法、裂项相消即可求解.
【详解】（1）因为是关于的方程的两个根，
所以．
所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列．
因此．
（2）由（1）知，对于方程，
由韦达定理得，即．
所以
．
所以
．
4．（2025·河南·模拟预测）已知等比数列满足，且是，的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的通项公式结合等差中项公式求解即可得答案；
（2）利用分组求和及等比数列的求和公式求解可得答案.
【详解】（1）设的公比为，
因为是的等差中项，所以，
又，所以解得
所以.
（2）由（I）可得该数列为，，，，，，，，
则.
5．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)根据等差数列通项公式和前n项和的公式,求出公差,在求出等比数列公比,求出两个数列的通项公式.
(2)采用分组求和的方式,分为两个部分,分别求和.
【详解】（1）设等差数列公差为,根据题意得,解得
所以,
可知,
设等比数列的公比为,带入得,解得,
可知.
（2）有第一问可知,,则.
分组得
计算,
计算
则.
6．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知，均为等比数列，且，.
(1)证明：为定值.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先求公比，进而得通项公式，计算即可得证；
（2）由，利用分组求和即可求解.
【详解】（1）证明：设数列的公比为，数列的公比为
依题意可得的公比为，的公比为，
所以，，
则，故为定值.
（2）由，
故
.
【题型02】奇偶并项求和（共7题）
7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)10170.
【分析】（1）根据给定的递推公式，利用等比数列定义推理得证.
（2）由（1）求出通项公式.
（3）由（2），利用分组求和法及等比数列前项和公式求解.
【详解】（1）由，，得，
则，而，
所以数列是等比数列.
（2）由（1）得，，所以数列的通项公式.
（3）由（2）得，，
.
8．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
【答案】(1)证明见详见
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；
（2）求数列和的通项，进而可得的表达式，分类讨论，结合等比数列的前n项和即可求解.
【详解】（1），
，
又
构成以为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
，
又
构成以为首项，为公比的等比数列
，
，
∴当为偶数时，
当为奇数时，
所以
9．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意先求出，然后由求经过验证后可得通项公式.
（2）根据（1）代入可得，当为偶数时，可看为两两一组，先求出，再利用错位相减求和求得.当为奇数时，因为为偶数项和，所以可利用代入求得.
【详解】（1）当时，.
当时，由，得，
则.
因为，所以.
（2）由（1）可得
当为偶数时，，
则，
则，
则
，
则.
当为奇数时，.
故
10．（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
【答案】(1)
(2)4212
【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得；
（2）先求出，再利用分组求和法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，解得，
所以．
（2）因为，所以，
故
11．（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，，
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，结合数列为递减数列可求得、的值，即可得出等比数列的通项公式；推导出，结合可求得数列的通项公式；
（2）分为奇数、偶数两种情况讨论，化简的表达式，利用错位相减法、裂项相消法结合分组求和法可求得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，则，
因为数列是等比数列，解得，所以，，
因为，所以，，
因为，则，所以， ，故.
（2）当为奇数时，，令，
则，
所以，，
两个等式作差可得
，
化简得；
当为偶数时，，
令，则
，
故.
12．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列的前项和为，若，
(1)求；
(2)若，为数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数列的递推关系可得是等比数列，求解即可；
（2）先求出的通项公式，然后采用分组转化求和法求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，所以，
所以，所以，
又因为，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
又时也满足上式，所以；
（2）因为，所以，
所以，
所以
.
13．（2025·云南·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，.
(1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式；
(2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)证明见解析，或
(2)
【分析】（1）由与的关系求得数列通项公式；
（2）由（1）得到，借助等差数列的前项和公式求得.
【详解】（1）令，则，
由得，解得或，
因为，则，
两式相减得，
化简得，
因式分解得，
由已知，故.
所以是公差为3的等差数列.
当时，数列的通项公式为，
当时，数列的通项公式为.
（2）满足条件的数列有两个：
数列1：，即1，4，7，10，13，…
数列2：，即2，5，8，11，14，…
将这两项合并后按升序排列，得到：1，2，4，5，7，8，10，11，13，…
所以数列是所有不能被3整除的正整数数列，
所以数列的通项公式为
当为偶数时，设，则
，将代入得，
当为奇数时，设，，则
，
将代入得，
因此.
【题型03】裂项相消求和（共7题）
14．（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，.
(1)求；
(2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意列出方程组，求得，即可写出通项；
（2）先求出的表达式，将两个数列的项依次列出，再合并后从小到大排列推得，化简数列的通项，利用裂项相消法计算即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因，可得，
解得，
故；
（2）由（1）得，则，则.
因数列的项依次为：，而数列的项依次为：，
将两数列的所有项从小到大排列依次为：，故其通项为.
则，
故数列的前项和为：
.
15．（2025·四川泸州·一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系列式计算可得，利用等比数列通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，化简，利用裂项相消法计算求解.
【详解】（1）已知，当时，有，
用减去，根据，
可得：，即，
当时，，
又，所以，此时，满足，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，即，
（2）由（1）可得，
又，所以，化简可得，
则，
所以．
所以数列的前项和为：
．
16．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)记，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）分析递推式，利用等比数列的定义证明；
（2）通过累加法求通项；
（3）利用裂项相消法求和并证明不等式.
【详解】（1）由，得，
又，所以，
所以，
即是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
当时，
.
当时，也成立，
所以的通项公式为；
（3）由（2）得，
所以，
所以，
显然是递增数列，所以.
因为，所以，
所以.
17．（2025·山东·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使得成立的的最大值；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)45
(3)
【分析】（1）利用时结合已知等式得首项，再由代入等式，转化得到是等差数列，进而求出的通项.
（2）由求出，再通过与的前项和关系得到的分段表达式，分和讨论的不等式，求解的最大值.
（3）写出的分段形式，时对通项进行裂项相消拆分，再分和计算前项和.
【详解】（1）因为，所以，在中令，得.所以
当时，由及，得，所以.
又，所以是首项为3，公差为2的等差数列.
.所以.
（2）由（1）知（）.
当时，，满足上式，所以，
则（）.
当时，，不满足上式，所以
当时，，显然成立；
当时，有，所以，
又，所以的最大值为45.
（3）设，
当时，，
当时，
所以
.
当时，上式也符合，
所以.
18．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式.
（2）利用裂项求和法求，即可证明.
【详解】（1）由题意.
所以数列，其前项和为.
当时，；
当时，.
时，上式亦成立.
所以，.
（2），
所以.
19．（2025·山东·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据给定的递推公式，依次代入计算得解.
（2）由结合已知推理即得.
（3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）在正项数列中，，
令，得，解得，负值舍去；
令，得，即，则，
所以，负值舍去’
（2）当时，，而，则，
即，又，
所以是首项为2，公差为2的等差数列.
（3）由（2）知，可得，
则，
所以.
20．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解；
（2）由（1）可得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解.
【详解】（1）由，
当时，，
两式相减得，即，①
则，②
由①②整理得，，
所以；
又，则当时，，
当时，，则，
所以，满足，
所以，故数列为等差数列，且首项为，公差为.
（2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
则，
所以.
【题型04】错位相减求和（共6题）
21．（2025·辽宁·二模）记数列的前项和为，已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用和等比数列的定义即可求证；
（2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解；
（3）利用错位相减法和分组求和即可求解.
【详解】（1）因为，
所以当时，；
当时，，
所以，
即，
又，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得
所以．
（3）由（2）得，
记，①
则，②
由①－②得
所以，
所以．
22．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列的前项和为，其中，．
(1)求的值以及数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由可求得的值，可得出的表达式，再利用可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）依题意，，解得，所以．
当时，，
当时，，满足上式，
综上所述，．
（2）依题意，，
故，
故，
两式相减可得，
，
则．
23．（2025·江西景德镇·三模）已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若为递增数列，，求数列的前项和．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用等差数列的性质得出，，再利用等比数列的性质得，结合可求得通项；
（2）根据单调性得出通项公式，再利用错位相减法可求.
【详解】（1）因数列为等差数列，则，解得，
同理可得，
因，则，又，得，
因数列为等比数列，则，解得，
若，则，公比为，公差为；
若，则，公比为，公差为，
则或．
（2）因为递增数列，则，，则，
则，，
两式相减得，
．
24．（24-25高三下·河南信阳·月考）已知数列的前n项和为，，.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)设，数列的前n项和为，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，根据，得到，两边同除以，得到，结合等差数列的定义，即可得证；
（2）由（1）求得，得到，利用乘公比错位相减法求和，即可求得.
【详解】（1）证明：因为，可得，所以，
两边同除以，可得，即，
又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，可得，
所以，
则.
两式相减，可得
，
所以.
25．（2025·湖南·模拟预测）在数列中，已知，数列为等差数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式：
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等比数列的定义及通项公式求解；
（2）由等差数列的通项公式求解；
（3）利用错位相减法求和.
【详解】（1）因为，所以，
因为，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，.
故，
设数列的公差为，则，
所以；
（3），
即，
所以，
两式相减得，
所以，
所以.
26．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若正整数成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不能构成等比数列，理由见解析.
【分析】（1）当时，求得；当时，利用，得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；
（2）由（1）知，得到，结合等差数列的求和公式，以及乘公比错位相减法求和，即可得到答案.
（3）假设成等差数列，则，由构成等比数列，得到，化简得到，再由，得到，两边同除，求得，结合为奇数，为偶数，得出等式不成立，即可得到结论.
【详解】（1）由数列的前项和为，且，
当时，可得，解得；
当时，可得，
整理得，即，所以，
所以数列是首项，公比为的等比数列，则，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得，
设，
则
两式相减，可得
，
所以，
又由，所以.
（3）由题意，正整数成等差数列，则，
若构成等比数列，则满足，
因为，可得，
整理得，即，
又因为，可得，所以，即
两边同除，可得，
因为，且，所以，
所以与均为偶数，则为奇数，为偶数，
所以等式不成立，所以不能构成等比数列.
【题型05】周期与类周期求和（共5题）
27．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，判断数列的周期性．
【答案】周期数列，最小正周期为6.
【分析】根据给定的递推公式求出各项，总结规律判断即得.
【详解】数列，
则，
，
即，故有，
所以数列是周期数列，最小正周期为6.
28．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，满足，记，求及．
【答案】，
【分析】由递推数列可计算数列前几项，可得数列周期，据此可得答案.
【详解】利用递推关系，经过计算得到数列的前几项为：
由此得数列是周期为6的周期数列．
所以，
，其中.
所以．
29．（2021·江西南昌·二模）已知数列中，，，．
（1）求，的值；
（2）求的前2021项和．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）根据递推公式，利用代入法进行求解即可；
（2）根据递推公式可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.
【详解】（1）当时，，所以；
当时，，所以；
（2）当时，，所以；
由知：，所以，故数列是以4为周期的周期数列，
即，，，，
所以．
30．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知数列满足（）.
(1)若，，请写出该数列的前6项，并求出该6项的和；
(2)设数列的前n项和为，如果，，求；
(3)若（），设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)前6项分别是，和为0
(2)986
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1），结合，，依次求解出前6项，并求和得到答案；
（2）数列以6为周期的周期数列，且，故，求出，并得到；
（3）得到，，成等比数列，且公比，若存在，使得，则有，即，而恒成立，故方程无解，得到结论.
【详解】（1）由可得，
故，，
，，
数列的前6项分别是，
前6项的和为；
（2）由可得，，
，
，，
，
所以数列以6为周期的周期数列，
且，
由题意 ，
即，解得，
所以.
（3）不存在，理由如下：
由题意，，，，
因为（），所以，
所以，，成等比数列，且公比，
所以，，
若存在，使得，则有，
而，则有，即，而，
因此不存在，使得.
31．（2025·江苏·模拟预测）已知数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列的通项，其前n项和为，求（用n表示）．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）通过累乘求前项和，再由与的关系得通项；
（2）化简后，利用余弦函数的周期性分组，详细计算每个周期内的和，再分三种情况累加剩余项，得到前项和.
【详解】（1）由得，结合，
累乘得 .
当时，，
时符合上式，故.
（2）由三角恒等式，得，
结合，故.
因余弦函数周期为，故，即的周期为3.
时，； 时，； 时，.
分3种情况求前项和：
①当（）时，前项分为个周期，
每个周期含（）.
计算一个周期的和：
，
前项和为个周期的和累加：
，
代入，得.
②当（）时，前项是前项加第项（）：
，
代入，得.
③当（）时，前项是前项加第项（）：
，
代入，得.
综上所述，.
模块说明：
答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最新高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量15题
1．（25-26高三上·北京·月考）已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为， 由 ，令，可得，解得，从而可得结果；
（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，
则，即，解得 ，
所以.
则 数列的通项公式为：
（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
又因为，所以.
设数列的前项和为，
则
所以数列的前项和为
2．（2025·四川巴中·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式；
（2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式.
【详解】（1）在等差数列中，，则.
又，所以该等差数列公差.故.
所以，
故数列的通项公式为.
（2）因为，所以，
则
化简得.
因为，所以，故.
3．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知等比数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前48项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件列方程求解等比数列的公比和首项，进而求得通项公式；
（2）通过裂项求和求解
【详解】（1）设公比为，由，有，解得.
又由，有，解得.
故，即数列的通项公式为.
（2）由，
有.
4．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列中，，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将化简可得，由此可求得答案；
（2）法一：由（1）可得的通项公式，采用分组求和的方法，结合等比数列的前n项和公式及裂项相消求和；.法二：分奇偶项，由等比数列求和公式及裂项相消法求和.
【详解】（1）由，得，
因为，所以，则，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
（2）方法一：
由（1）知
方法二：
由（1）知
设，则可得，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以的前n项和，
设
所以的前n项和
所以．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而可求得，；
（2）由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解．
【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由，，，，
可得，解得：（负的舍去），
则，
（2）
∴
.
6．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，为的前n项和，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意可得，即可求出，再根据两边同除以，可得，即可求出
（2）根据分组求和、裂项求和及错位相减法，即可求出答案.
【详解】（1），，
，，
又，，
，，
由两边同除以，
得，
从而数列为首项，公差的等差数列，
，
从而数列的通项公式为
（2）由（1）知，
，
，
设，
则，
两式相减得，
整理得，
.
7．（2025·辽宁鞍山·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知且满足关系式，．
(1)求及数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式整理，结合各项都为正数的递增数列，利用等差数列的定义证明出数列为等差数列；
（2）先得出的通项公式，再利用裂项相消法进行求解．
【详解】（1）
，
令，则为首项为1，公差为1的等差数列
即；
；
（2）
由累加法，得：．
8．（24-25高二下·辽宁丹东·期末）记是数列的前项和，，，且数列是等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设若，求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出，再利用与的关系求解即可；
（2）利用分组求和，其中奇数部分利用等差数列的前项和公式，偶数部分利用裂项相消求解即可.
【详解】（1）因为，，设等差数列的公差为，则，解得，
所以，即，
当时，，当时，成立，故．
（2）由题意可得
.
9．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求的前2n项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意得到，由，化简得到，求得，结合等差数列的定义推理得证.
（2）由（1）可得，得到，结合裂项法，即可求解.
【详解】（1）依题意，，当时，得，则，
由，得，则，即，
当时，，于是，解得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）得，
则，
所以
.
10．（2025·全国·模拟预测）设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系化简题设可得数列是首项为2，公比为3的等比数列，进而求解即可；
（2）先求得，利用裂项相消法及分组求和法求和即可.
【详解】（1）令，则，即，
又①，②，
②-①得，则，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以．
（2）由（1）知，数列是首项为2，公比为3的等比数列，且，
则，
则，
所以，
即．
11．（2025·全国·模拟预测）已知等差数列满足，且，，为等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，则，.根据题意利用基本量法列出方程组，解出公差与首项即可求解；
（2）由（1）知，故，利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，.
∵，∴，即.
∵，，为等比数列，∴，
即，即，解得或.
当时，不符合题意，故舍去.
∴，，∴，.
（2）由（1）知，∴，
∴，
，
将两式左右两边分别相减得，
即，
化简得.
12．（25-26高三上·广东·月考）已知函数为数列的前项和.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用，可求出的通项公式，注意检验是否满足即可得解；
（2）由导数得，利用不等式放缩的原理得到，得到答案
【详解】（1）由题意知，的前项和，
当时，，
当时，，
经检验，满足，
的通项公式为；
（2）证：，
，
又，
故.
13．（2025·河北邯郸·一模）已知等比数列的前项和为，若成等差数列.
(1)求等比数列的公比；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由和并结合题意即可求解；
（2）由（1）可求得，从而可得，再利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）由题意若成等差数列，
则得，即，
则得，所以，
故.
（2）由（1）可知，又，所以，
则，
所以，
，
，
由可得
，
解得.
所以数列的前项和.
14．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和．
(1)求通项公式及；
(2)设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）根据等差数列通项公式，代入，求得通项公式，再根据等差数列前项和公式求得.
（2）由等比数列通项公式求出的表达式，结合第（1）问中通项公式得到的通项公式，即可得的公式，构造和分别处理两个求和部分，再通过错位相减、化简即可得到结果.
【详解】（1）由已知得，，则，
所以.
（2）由已知得，，又由（1）得，
所以，
则.
令，
则，
所以，
即；
令，则，
所以.
15．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求等差数列的公差和等比数列的公比即可求解；
（2）令，利用裂项相消法即可求解；
（3）利用错位相减法先求，由有，令，研究数列的单调性即可求解.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则有，
所以，
所以，又，所以，
所以，
所以；
（2）令，
所以；
（3）由已知有，
所以①，
②，
所以①②有：，解得，
由有，即，令，
所以，
所以当时，，即，所以当时，数列单调递减，又，所以，
所以.
目录
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具
【结论背记清单】
方法一 分组求和的应用及解题技巧
方法二 奇偶并项求和的应用及解题技巧
方法三 裂项相消求和的应用及解题技巧
方法四 错位相减求和（万能公式）的应用及解题技巧
方法五 周期求和的综合应用及解题技巧
第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。
【题型01】分组求和
【题型02】奇偶并项求和
【题型03】裂项相消求和
【题型04】错位相减求和
【题型05】周期求和
第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力


指数型
对数型