期中能力过关检测卷（含答案）2025-2026学年数学北师大版八年级下册

这是一份期中能力过关检测卷（含答案）2025-2026学年数学北师大版八年级下册试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．下列图形中，是中心对称图形的是( )
2．已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角的度数为( )
A．70° B．55° C．40° D．110°
3．如果x＞y，那么下列不等式的变形中，一定正确的是( )
A．x＋y＜0 B．x＋1＜y－3 C．2x＜2y D．－2x＜－2y
4．已知直角三角形的两条直角边的长度之比为5∶12，斜边长为26 cm，则较长的直角边的长为( )
A．10 cm B．12 cm C．15 cm D．24 cm
5．下列命题的逆命题不正确的是( )
A．两直线平行，同位角相等 B．若a2＝b2，则a＝b
C．对顶角相等 D．等腰三角形的两个底角相等
6．把不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x＋1>0)) 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( )
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接CD，则∠BCD的度数为( )
第7题图
A．40° B．20° C．30° D．70°
8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意同心吉祥．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD向右平移1 cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点B′与点D之间的距离为( )

第8题图
A．2 cm B． eq \r(2) cm
C．( eq \r(2) －1) cm D．(2 eq \r(2) －1) cm
9．某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错一道题或不答扣1分，得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖，设小锋答对了x题，则根据题意可列出不等式为( )
A．5x＋(20－x)≥85 B．5x＋(20－x)＞85
C．5x－(20－x)＞85 D．5x－(20－x)≥85
10．如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，则当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间为( )
第10题图
A．2.5 s B．3 s C．3.5 s D．4 s
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．y与4的差不小于1，用不等式表示为________．
12．在平面直角坐标系中，若点A(m－1，－3)，B(2，n)关于原点对称，则m＋n＝________．
13．已知关于x，y的方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝2k－1，,x＋2y＝－4)) 的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是________．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度，得到△ADE.若点D恰好落在边BC上，且AD＝CD，则∠E的度数为________°.
第14题图
15．一辆汽车行驶在限速60 km/h的路段上，导航显示距离当前位置800 m的路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为64 s，此时导航提示：保持当前车速行驶能通过该路口．若汽车当前的车速为x km/h，则x的取值范围是________．
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．解不等式 eq \f(x,3) ＜1－ eq \f(x－3,6) ，并把它的解集表示在数轴上．
17．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作ED⊥AB于点D.求证：AD＝BD.
第17题图
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(－3，1)，B(－1，－1)，C(－2，2).
(1)将△ABC向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A2B2C，画出△A2B2C，并写出点A2，B2的坐标．
第18题图
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC.
(1)实践与操作：利用尺规过点C作△ABC的高CF，F为垂足；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)猜想与证明：在(1)的条件下，试判断∠ACF与∠B的数量关系，并给出证明．
第19题图
20．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，DF＝EF.
(1)如图2，将该仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边AB，AC上，连接AF并延长，交BC于点P.求证：AP平分∠BAC.
(2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q.若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积为60，求AB的长．
第20题图
21．如图，已知直线y＝kx＋b交x轴于点A(－4，0)，交y轴于点B，直线y＝－2x－2交x轴于点D，与直线AB相交于点C(m，2).
(1)求m的值与直线AB的函数解析式；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式－2x－2＞kx＋b的解集；
(3)求四边形OBCD的面积．
第21题图
五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22．综合与实践
23．【阅读材料】
(1)在等边三角形ABC的内部有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
如图1，为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A按逆时针方向旋转60°得到△ACP′，连接PP′，此时△ACP′≌△ABP，易证△APP′为等边三角形，再利用旋转的性质及等边三角形的性质，将线段PA，PB转化到△CPP′中，利用勾股定理的逆定理求出∠CP′P的度数，从而求出∠APB＝∠A′PC＝________°.
【类比探究】
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为边BC上的点，且∠EAF＝45°.求证：EF2＝BE2＋FC2.
【迁移应用】
(3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O在△ABC的内部，连接AO，BO，CO.若∠AOC＝∠COB＝∠AOB＝120°，则AO＋BO＋CO的值为________．
第23题图
期中能力过关检测卷
1．B 2.C 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.D 9.C 10.D
11．y－4≥1 12.2 13.k＞4 14.24 15.45≤x≤60
16．解：去分母，得2x＜6－（x－3）.
去括号，得2x＜6－x＋3.
移项、合并同类项，得3x＜9.
两边都除以3，得x＜3.
这个不等式的解集在数轴上的表示如答图1所示．
答图1
17．证明：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝80°，
∴∠ABE＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝ eq \f(1,2) ×80°＝40°.
∵∠A＝40°，∴∠A＝∠ABE.
∴△ABE为等腰三角形．
∵ED⊥AB，∴AD＝BD.
18．解：（1）如答图2，△A1B1C1即为所求．C1（－2，－1）.
答图2
（2）如答图2，△A2B2C即为所求．A2（－1，1），B2（1，3）.
19．解：（1）如答图3，线段CF即为所求．
答图3
（2）2∠B－∠ACF＝90°.
证明：由（1）可知∠AFC＝90°.
∴∠A＝90°－∠ACF.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝180°－2∠B.
∴90°－∠ACF＝180°－2∠B.
∴2∠B－∠ACF＝90°.
20．（1）证明：在△ADF和△AEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝AE，,DF＝EF，,AF＝AF，))
∴△ADF≌△AEF（SSS）.∴∠DAF＝∠EAF.
∴AP平分∠BAC.
（2）解：如答图4，过点P作PG⊥AC于点G.
答图4
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PG⊥AC，
∴PG＝PQ＝6.
∴S△ABC＝S△ABP＋S△APC＝ eq \f(1,2) AB·PQ＋ eq \f(1,2) AC·PG＝60，即 eq \f(1,2) AB×6＋ eq \f(1,2) ×9×6＝60.
∴AB＝11.
21．解：（1）把C（m，2）代入y＝－2x－2，得－2m－2＝2.
解得m＝－2.
把C（－2，2），A（－4，0）代入y＝kx＋b，
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2k＋b＝2，,－4k＋b＝0.)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝4.))
∴直线AB的函数解析式为y＝x＋4.
（2）关于x的不等式－2x－2＞kx＋b的解集为x＜－2.
（3）在y＝x＋4中，当x＝0时，y＝x＋4＝4.
∴B（0，4）.∴OB＝4.
在y＝－2x－2中，当y＝0时，－2x－2＝0.解得x＝－1.
∴D（－1，0）.∴OD＝1.
∵A（－4，0），∴OA＝4.∴AD＝OA－OD＝4－1＝3.
∴四边形OBCD的面积为S△AOB－S△ACD＝ eq \f(1,2) AO·BO－ eq \f(1,2) AD·|yc|＝ eq \f(1,2) ×4×4－ eq \f(1,2) ×3×2＝5.
22．解：任务一：设A，B两种充电器每件的进价分别为a元、b元．
根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30a＋40b＝3 800，,40a＋30b＝3 200.)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝20，,b＝80.))
答：A，B两种充电器每件的进价分别为20元、80元．
任务二：设购进A种充电器x件，则购进B种充电器（1 000－x）件，利润为w元．
根据题意，得w＝（30－20）x＋（100－80）（1 000－x）＝－10x＋20 000.
∵－10＜0，∴w随x的增大而减小．
∵A种充电器的数量不少于B种充电器的数量的4倍，
∴x≥4（1 000－x）.解得x≥800.
∴当x＝800时，w取得最大值，最大值为－10×800＋20 000＝12 000，此时1 000－x＝200.
答：获利最大的进货方案是购买A种充电器800件，B种充电器200件，最大利润是12 000元．
23．（1）解：150.
（2）证明：如答图5，把△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ACE′，连接E′F.
答图5
由旋转的性质，得AE′＝AE，
CE′＝BE，
∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B.
∵∠BAE＋∠CAF＝∠CAB－∠EAF＝45°，
∴∠CAE′＋∠CAF＝45°，即∠E′AF＝45°.
∴∠EAF＝∠E′AF.
在△EAF和△E′AF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝AE′，,∠EAF＝∠E′AF，,AF＝AF，))
∴△EAF≌△E′AF（SAS）.∴EF＝E′F.
∵∠B＋∠ACB＝180°－∠CAB＝90°.
∴∠ACE′＋∠ACB＝90°，即∠E′CF＝90°.
在Rt△E′CF中，由勾股定理，得E′F2＝CE′2＋FC2.
∴EF2＝BE2＋FC2.
（3）解： eq \r(7) .【提示】如答图6，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△A′O′B，连接OO′.
答图6
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝ eq \r(3) .
由旋转的性质，得A′B＝AB＝2，BO′＝BO，A′O′＝AO，∠A′BA＝∠O′BO＝60°，∠A′O′B＝∠AOB＝120°.
∴∠A′BC＝∠ABC＋∠A′BA＝30°＋60°＝90°，△BOO′是等边三角形．∴OO′＝BO，∠BOO′＝∠BO′O＝60°.
又∵∠AOC＝∠COB＝∠AOB＝120°，
∴∠COB＋∠BOO′＝∠A′O′B＋∠BO′O＝120°＋60°＝180°.
∴C，O，O′，A′四点共线．
在Rt△A′BC中，由勾股定理，得A′C＝ eq \r(BC2＋A′B2) ＝ eq \r(（\r(3)）2＋22) ＝ eq \r(7) .
∴AO＋BO＋CO＝A′O′＋OO′＋CO＝A′C＝ eq \r(7) .
电子配件采购方案
素材一
为备战双十一购物节，某电子商户分两批次购进A，B两种充电器，两批次同型号的进价相同，两批次的采购数量及总费用如下表：
采购批次
A数量(件)
B数量(件)
采购总费用(元)
第一次
30
40
3 800
第二次
40
30
3 200
素材二
A种充电器售价：30元/件，B种充电器售价：100元/件．
素材三
计划购进两种充电器共1 000件，且A种充电器的数量不少于B种充电器的数量的4倍．
问题解决
任务一
分别求A，B两种充电器每件的进价
任务二
求获利最大的进货方案及最大利润