四川省攀枝花市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省攀枝花市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二数学
一、单选题
1．已知直线在轴上的截距为1，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．已知平面的法向量分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．数列的第6项是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．直线与圆交于两点，则的最小值为 （ ）
A．B．2C．D．4
7．长度为1，3，7，9，的5条线段，它们长度的平均数与中位数相同.现从中任取3条线段，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
8．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是
A．若事件与事件是互斥事件，则
B．若事件与事件是对立事件：则
C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
10．设等差数列的前项和为，，公差为，，，则（ ）
A．
B．当时，取得最大值
C．
D．使得成立的最大自然数是9
11．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线上异于原点的两个动点，且，作交直线于点，则 （ ）
A．当直线的斜率为2时，线段的中点在直线上
B．直线恒过定点
C．存在一个定点，使得为定值
D．
三、填空题
12．假设，且相互独立，则 .
13．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .

14．在平面直角坐标系中，和分别是与轴和轴方向相同的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知数列中，，数列的前项和为，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．已知双曲线过点，渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，求的值.
17．某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．
18．如图，在矩形中，，为的中点，将沿直线折起到，使得平面平面，连接.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)点均在球的球面上，求三棱锥的体积.
19．设椭圆的离心率为，上顶点为，右焦点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆上两个不同的动点（均不与重合）．
①若直线过点，求面积的最大值；
②若是的角平分线，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
参考答案
1．C
【详解】直线在轴上的截距为1，则直线过点，
所以，解得：;
故选：C
2．B
【详解】，平面的法向量分别为，，
，，
，，
，，，.
故选：B.
3．A
【详解】第一项：
第二项：
第三项：
第四项：
所以通项公式为：，则第六项为：.
故选：A
4．D
【详解】由，，知的中点坐标为，
且，
则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以圆的标准方程为，
故选：D
5．A
【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且，
所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
因为，所以，
故．
设为平面的一个法向量，
则，
令，得．
设直线与平面，所成的角为，
则，
故选：A．
6．C
【详解】直线，则,
令，解得：,
所以直线的定点为，
由于圆，则圆心，半径,
则
当时，取最小值，此时,
故选：C
7．B
【详解】长度为1，3，7，9，的平均数为，
它们长度的平均数与中位数相同，
当，中位数为，则，解得，
，不符合题意；
当，中位数为，则，解得，
，符合题意；
当，中位数为，则，解得，
，不符合题意；
综上可得，，
这条线段为，
现从中任取3条线段，所有的取法有，
，共种取法，
其中这3条线段能构成一个三角形的组合有，共种取法，
故这3条线段能构成一个三角形的概率为.
故选：B.
8．C
【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，
所以，，
设，，
所以，
又，即，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理得：，
所以，所以，
所以，
故选：C.
9．ABC
【详解】事件与事件互斥，则不可能同时发生，，正确；
事件与事件是对立事件，则事件即为事件，，正确；
事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，正确；
“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，错误.
故选：.
10．AB
【详解】因为，，
所以，则，故A正确;
当时,取得最大值，故B正确;
，故C不正确;
因为，，
所以使得成立的最大自然数是，故D错误.
故选：AB．
11．ACD
【详解】，，，右焦点为，
抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的焦点，
，，抛物线的标准方程为，
，，
，，，
对于选项A，直线的斜率为2，
设直线的方程为，
为抛物线上异于原点的两个动点，，
将代入中，得到，
，即，
，
在直线上，
，
，
，
，
，，，
，，，
，，
，
，
，的中点的纵坐标为，
当直线的斜率为2时，
线段的中点在直线上，故选项A正确；
对于选项B，当直线不存在斜率时，
直线的方程为，，
，，，
在抛物线上，
，，，或，
为抛物线上异于原点的点，，，
，直线过点，
当直线存在斜率时，设直线的方程为，
由解得，将代入，
得到，即，则，
，，
，，，
，，，
直线的方程为，
直线的方程为，
直线恒过定点，
综上可知，直线恒过定点，故选项B错误；
对于选项C，直线恒过定点，
交直线于点，
的轨迹是以为直径的圆上的点（除去原点），且圆心为，
存在一个定点，使得为定值，其定值为半径，故选项C正确；
对于选项D，
在抛物线上，，
，
同理，
，，
，，，
，，，
，，
，
对称轴为，开口向上，的最小值在对称轴处取得，
且最小值为，，故选项D正确.
故选：ACD.
12．/0.5
【详解】因为，且相互独立，则
则，
故答案为：
13．
【详解】由条件知，，，
又二面角的平面角为，则，
所以
，所以.
故答案为：
14．
【详解】因为和分别是与轴和轴方向相同的单位向量，
所以，，
设，由可得：
，
表示动点到两点的距离之和为，
则，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
则点的轨迹方程为：，
设，由可得：，
表示动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
所以动点的轨迹方程为，
，的最大值表示圆上的点到椭圆上点的最远距离，
即为圆心A到椭圆上点的最大距离加上半径，
，设，
则
，
设，
当时，取最大值，且最大值为，
所以的最大值为，的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：
15．(1)，
(2)
【详解】（1），是等差数列，公差，
，，
，当时，，
当时，
当时，，适合此等式，
综上可知，；
（2），，，
即，，
，
是等差数列，，
.
.
16．(1)
(2)或
【详解】（1）以及点代入中，可得，
所以双曲线为.
（2）将代入，可得，
设，，则：，，依据弦长公式可得：
，
，
令，则方程变为：，解得或，即或，
由此可得或；原一元二次方程的判别式：
，即，
所有解均满足条件，最终：或.
17．(1)分；
(2)分；
(3).
【详解】（1）解：由，
得.
数学成绩在：
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
样本平均值为：，
可以估计样本数据中数学成绩均值为分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．
（2）解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为，
在分以下所占比例为
因此，第百分位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的第百分位数约为分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分.
（3）解：由题意可知，分数段的人数为 (人)，
分数段的人数为 (人)．
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，
设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，
则样本空间共包含个样本点
而的对立事件包含个样本点
所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）在矩形中，，为的中点，
则
所以，。
又，满足，
故，
已知平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）取的中点，
因为，
所以，且，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
由于平面，
所以以为原点，为轴，为轴，过作垂直于平面的直线为轴，
则轴，
所以，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，，
所以
设平面的一个法向量为，
，则，令，则，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以
平面与平面夹角的余弦值为
（3）设球心，半径为，
由于
所以，解得：，
则，
所以为的中点，
故，
所以
所以三棱锥的体积为
19．(1)
(2)①;②
【详解】（1）因为上顶点为，右焦点为，且，
所以，由，解得，
可得，
则椭圆的方程为.
（2）①显然直线的斜率不为0，
设直线方程为，，
则，消去化简可得，
所以，
由韦达定理可得，
所以，
点到直线的距离，
则的面积
，
由于，则，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以，，
则面积的最大值为，
②设，则，
因为直线的斜率必存在，所以直线，即，
设到直线与的距离均是，从而
平方得，
又由于，故，
整理得即点在直线
同理点也在直线上
故直线的方程为
将其按照参数进行整理：题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
A
C
B
C
ABC
AB
题号
11









答案
ACD