陕西省商洛市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份陕西省商洛市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知向量，，且，则实数x的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．在等差数列中，，则（ ）
A．9B．14C．7D．5
3．已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．在1与81之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（ ）
A．B．9C．D．3
5．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（ ）
A．6B．5C．4D．
6．已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（ ）
A．B．C．D．
7．在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限内的交点为P，且，与的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知点在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．双曲线C的离心率
C．双曲线C的渐近线方程为D．点到C的渐近线的距离为
10．已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点B．圆心C到直线l距离的最大值是1
C．直线l被圆C截得的最短弦长为D．的取值范围为
11．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．直线与平面所成角的正弦值为
B．直线与直线是异面直线
C．点D到直线的距离为
D．直线和直线夹角的余弦值为
三、填空题
12．若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最大值为 .
13．数列满足，，则 .
14．双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为 .
四、解答题
15．已知圆M经过点，，.
(1)求圆M的方程；
(2)若直线与M交于P，Q两点，且，求k.
16．已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前n项和，证明：.
17．已知抛物线（）上一点到其焦点F的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F的直线l与C交于A，B两点，若，求直线l的方程.
18．如图，在三棱柱中，平面，.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面和平面夹角的余弦值.
19．已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点.
参考答案
1．B
【详解】因为向量，，且，
所以，解得：.
故选：B.
2．C
【详解】由等差数列的性质可得：，解得：.
故选：C.
3．A
【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为，
又直线l过点，，即.
故选：A.
4．D
【详解】这5个数分别为，则，
又这5个数成等比数列，，.
故选：D.
5．C
【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6，
所以点M到y轴的距离为.
故选：C．
6．A
【详解】由题意知，，半径，
则.
故选：A
7．D
【详解】如图所示，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，取，则，得，
所以点C到平面的距离为，
故选：D.
8．A
【详解】设公共半焦距为，,，
因为椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以，，
由椭圆和双曲线定义可知，，，
所以，
又因为，所以，
所以，所以，即，
所以，即.
所以
（当且仅当，即时取等号）.
故选：A.
9．ABD
【详解】双曲线，则、，所以；
对于A：因为点在双曲线的右支上，
所以，故A正确；
对于B：双曲线C的离心率，故B正确；
对于C：双曲线C的渐近线方程为，故C错误；
对于D：点，所以点到C的渐近线的距离，故D正确.
故选：ABD
10．ACD
【详解】对于A选项，直线的方程可化为，由可得，
所以直线l过定点，A正确；
对于B选项，设圆心到直线的距离为，记点，
当时，此时取最大值，即，
故圆心到直线距离的最大值是，B错误；
对于C选项，设直线被圆截得的弦长为，则，
当取最大值，取最小值，则，
故直线被圆截得的弦长最小值为，C正确；
对于D选项，令，则，
圆心到直线的距离为，
化简可得：，解得：，
所以的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
11．AC
【详解】以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，

则.
对于A：，且易知在正方体中，平面，
故平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则有，
即直线与平面所成角的正弦值为，故A正确；
对于B：，，故，
所以四点共面，因此直线与直线不是异面直线，故B错误；
对于C：，，故点到直线的距离，故C正确；
对于D：，，设直线和直线的夹角为，
则有，
即直线和直线夹角的余弦值为，故D错误.
故选：AC.
12．7
【详解】因为圆的圆心为原点，半径为3，
所以到直线的距离为，
所以点P到直线的距离的最大值为，
故答案为：7.
13．
【详解】因为，，
所以，，，，
观察数列项的规律，可以发现数列是周期为4的数列：，
所以.
故答案为：.
14．8
【详解】已知双曲线，可得：，
设光线与双曲线C的交点为，双曲线C的左焦点为．
所以，
由题意知，共线，
因为，所以，
故路径长．
故答案为：8.
15．(1)或
(2)
【详解】（1）设圆M方程为，
则，
圆M的方程为，或；
（2）因为圆心到直线的距离为，
由垂径定理，得，
化简可得：，解得.
16．(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：由得，
所以，
所以数列是以1为首项，以3为公差的等差数列，
所以
；
（2）因为，
所以
，
所以.
17．(1)
(2)或
【详解】（1）因为点到抛物线焦点F的距离为5，
所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）因为抛物线焦点，
所以设直线l方程为，，，

由消去x，得，
所以，，
又由，得，
所以，，
所以，
故直线l方程为，
即或.
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面.
（2）由（1）知，，两两垂直，以C为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间坐标系.
由，可设，，
则，，，，
，，，，
所以.
设平面的法向量为，
由，所以取，
设平面的法向量为，
由，所以取，
设二面角大小为，所以
，
故平面和平面夹角的余弦值为.
19．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为椭圆C过点 ，
又离心率为 ，
所以椭圆C的方程为；
（2）由条件可得直线的斜率不为，故设直线l方程为，，，
由 消去x，得，
方程的判别式，
，，
又因为，，
点在椭圆C上，则，
由，得，
所以，
所以，
所以，
即 或（舍去），
故直线l方程为，所以直线l过定点.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
C
A
D
A
ABD
ACD
题号
11









答案
AC