四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

这是一份四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
命题人：文一鸣郭 益审题人：文质彬
(考试时间：120 分钟分值：150 分)
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A 3-A 3的值是()
43
A. 3B. 6C. 15D. 18
下列求导运算错误的是()
1
2 2
( 2 )r =B. (x3)r = 3x2
C. (ex)r = exD. (csx)r =-sinx
某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有()
A. 3 种B. 4 种C. 7 种D. 12 种
已知 fr (x 是函数 f (x 的导函数，若 f (x = x2 - x，则 fr (2 =()
A. - 4B. - 3C. 3D. 4
书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书．从书架上任取数学书和语文书各 1 本，不同的选取方法有()
A. 6 种B. 30 种C. 5 种D. 11 种
B
A
D
C
如图，用 5 种不同的颜色把图中 A、B、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()
200 种B. 160 种
C. 240 种D. 180 种
设 f (x) , g(x) 是 R的可导函数，fr(x) , gr (x) 分别为 f (x) , g(x) 的导函数，且 fr(x) g(x) + f(x)gr(x) < 0，则当 a < x < b 时，有()
f(x)g(b) > f(b)g(x)B. f(x)g(x) > f(b)g(b)
C. f(x)g(a) > f(a)g(x)D. f(x)g(x) > f(a)g(a)
若关于 x 的不等式 x2 - 2lnx + m ≥ 0 恒成立，则实数 m 的取值范围为()
[-1，+∞)B. [e，+∞)
C. (-∞，-1]D. (-∞，e]
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，至少
两项是符合题目要求的，选不全对得 2 分，选错得 0 分。
如图是 y = f (x 的导数 y = fr (x 的图象，则下面判断错误的是()
在(-3 ,1 内 f (x 是增函数
在(3 ,4 内 f (x 是减函数
当 x = 4 时 f (x 取得极小值
在 x = 1 时 f (x 取得极大值
有 4 名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是()．
每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有 34 种
每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有 43 种
每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有 24 种
每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有 33 种
已知 f (x 是定义在(-∞,0 ∪ (0 ,+∞ 的偶函数，且当 x > 0 时，f (x = (x-1 lnx，
则()
f (1 = 0
当 x < 0 时，f (x = (x+ 1 ln(-x
x =-1 是 f (x 的极小值点
任意实数 k，使得直线 y = kx 与 y = f (x 的图象有 2 个公共点
第二部分 非选择题
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知函数 y = f (x的定义域为 R ，且 y = f r (x为 y = f (x的导函数 ，若
lim f (3 +Δx - f (3 = 1，则 fr (3 = ．
Δx→0
3Δx
现有 5 名同学排成一排，其中甲不站最左边，则有种站法(用数字作答).
若 x =-2 是函数 f(x) = (x2 + ax - 1)ex-1 的极值点，则 f(x) 的极小值为.
四 解答题 本大题共 5 小题 共分 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤
(本题满分13 分
已知函数 f(x) = lnx - ax + b 在 x = 2 处取得极值为ln2.
(1 求 a，b 的值；
(2 求在点(1，f (1处切线方程.
(本题满分15 分
已知函数 f (x = 1 x3 + x2 - 8x + 4 ．
33
求 f (x 的单调区间；
若 x ∈ -2 ,4 ，求 f (x 的最大值与最小值．
(本题满分15 分
口袋中装有 8 个白球和 10 个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出 2 个球
正好是白球、红球各一个的取法有多少种？
至少有一个白球的取法有多少种？
两球的颜色相同的取法有多少种？注 结果均用数字作答．
(本题满分17 分
2
已知函数 f (x = 1 x2 - alnx，a ∈ R.
(1 当 a = 1 时，求函数 f (x 的极值；
(2 讨论函数 y = f (x 的单调性；
(3 若函数 y = f (x 有两个零点，求 a 的取值范围.
(本题满分17 分
已知函数 f (x = lnx + ax2 - (2a + 1 x，其中 a 为常数.
当 a = 1 时，求函数 g(x = f (x - ax2 的单调区间；
若对任意的 x ∈ (1 ,+∞ ，都有 f (x ≤ 0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
2
2
设 0 < a < 1 ，求证：当 0 < x < 1 时，f (x f(x)g(x) > f(b)g(b)，故选：B.
8.2
22(x2 -1)
令 f(x) = x - 2ln x + m，x > 0，则 f'(x) = 2x - x =x，
令 f'(x) > 0，得 x > 1；令 f'(x) < 0，得 0 < x < 1，
则 f(x) 在 (0，1) 上单调递减，在 (1，+∞) 上单调递增，则 f(x)min = f(1) = 1 + m，又不等式 x2 - 2ln x + m ≥ 0 恒成立，则 1 + m ≥ 0，得 m ≥-1，
则实数 m 的取值范围为 [-1，+∞). 故选：A
【详解】解：对 A，由 y = fr (x 的图象，
2
2
可知 x ∈ (-3 ,- 3时，fr (x < 0，x ∈ (- 3 ,1 时，fr (x > 0，
2
2
所以 f (x 在 (-3 ,- 3上单调递减，在 (- 3 ,1 上单调递增，故选项 A 错误；
对 B，由 y = fr (x故选项 B 正确；对 C ，由 y = fr (x
的图象，可知 x ∈ (3 ,4
的图象，可知 x ∈ (2 ,4
时，fr (x
时，fr (x
< 0，所以 f (x
< 0，x ∈ (4 ,5
在 (3 ,4
时，fr (x
上单调递减，
> 0，
所以 f (x
在 (2 ,4
上单调递减，在 (4 ,5
上单调递增，
所以在 x = 4 时 f (x 取得极小值，故选项 C 正确.
2
对 D，由 y = fr (x 的图象，可知 x ∈ (- 3 ,2 时，fr (x > 0，
2
所以 f (x 在 (- 3 ,2 上单调递增，因为 x = 1 左右两边的单调性相同，所以 f (x 取不到极大值，
故选项 D 错误；故选：AD.
【详解】对于 AB 选项，第 1 个同学有 3 种报法，第 2 个同学有 3 种报法，
后面的 2 个同学也有 3 种报法，根据分步计数原理共有 34 种结果，A 正确，B 错误；对于 CD 选项，每个社团限报一个人，则第 1 个社团有 4 种选择，
第 2 个社团有 3 种选择，第 3 个社团有 2 种选择，
根据分步计数原理共有 4 × 3 × 2 = 24 种结果，C 正确，D 错误．故选：AC.
【详解】由题设 f (1 = (1 -1 ln1 = 0，A 对，
若 x < 0，则 -x > 0，故 f (-x = (-x-1 ln(-x) =- (x + 1)ln(-x)，
由 f (x 为偶函数，则 f(x) = f (-x =- (x + 1)ln(-x)，B 错，
x
-
由上 x < 0 时，f(x) =- (x + 1)ln(-x)，则 fr(x) =-ln(-x) - 1 - 1，
令 g(x) = fr(x) ⇒ gr(x) = 1
x2
1 = 1 -x xx2
> 0，即 g(x) = fr(x) 在 (-∞ , 0) 上单调递增，
又 fr(-1) =-ln1 + 1 - 1 = 0，故在 (-∞ ,-1) 上 fr(x) < 0，在 (-1 , 0) 上 fr(x) > 0，
所以 f(x) 在 (-∞ ,-1) 上单调递减，在 (-1 , 0) 上单调递增，故 x =-1 是 f (x 的极小值点，C 对，
由 C 分析，x →-∞或 x → 0- 时 f (x →+∞，且 f(-1) = 0，
所以 (-∞ ,-1)、(-1 , 0) 上 f(x) ∈ (0 ,+∞)，
又 f (x 为偶函数，则 (0 , 1)、(1 ,+∞) 上 f(x) ∈ (0 ,+∞)，
所以直线 y = kx 与 y = f (x 的图象恒有 2 个交点，D 对.故选：ACD
【详解】由导数的定义，可得函数 f(x) 在 x = 3 处的导数满足：fr(3) = lim f(3 + h)- f(3) ，
则lim f (3 + h - f (3 = 1 ⋅ lim f (3 + h - f (3 = 1
h→0h
fr(3) = 1，解得 fr(3) = 3.
h→03h3h→0h3
4
【详解】先安排最左边的位置，有 4 种方法，然后剩余的 4 人在四个位置上排列，有 A4 = 24 种，
故共有 4 × 24 = 96 种. 故答案为 96.
【详解】f′ (x) = [x2 + (a + 2)x + a - 1]·ex-1，
则 f′ (-2) = [4 - 2(a + 2) + a - 1]·e-3 = 0 ⇒ a =-1，
则 f(x) = (x2 - x - 1)·ex-1，f′ (x) = (x2 + x - 2)·ex-1，令 f′ (x) = 0，得 x =-2 或 x = 1，
当 x 1 时，f′ (x) > 0，当 -2 < x < 1 时，f′ (x) < 0，则 f(x) 极小值为 f(1) =-1．故答案为 -1.
x
【详解】(1 由已知可得：f′ (x) = 1 - a，
2
所以 f′ (2) = 1 - a = 0，f(2) = ln2 - 2a + b = ln2,
2
解得：a = 1 ，b = 1；
(2 k = f′ (1) = 1 - 1 = 1 ，f(x) = ln1 - 1 + 1 = 1 ，
2222
2
2
故切线方程为：y - 1 = 1 (x-1 ，整理得：x - 2y = 0.
【详解】(1) 因为 fr (x = x2 + 2x - 8 = (x+ 4 (x-2 ．
令 fr (x = 0，得 x =-4 或 x = 2，
当 x 变化时，fr (x , f (x 的变化情况如表所示．
所以 f (x 的单调递增区间为 (-∞,-4 和 (2 ,+∞ ，单调递减区间为 (-4 ,2 ．
由 (1) 知当 x = 2 时，f (x 取得极小值 -8．
=
+
3
3
3
因为 f (-2 1 × (-2 3 + (-2 2 - 8 × (-2 4 = 56 ,
=
3
3
3
f (4 1 × 43 + 42 - 8 × 4 + 4 = 20 .
=
3
所以 f (x max = f (-256 , f (x min = f (2 =-8．
【详解】(1) 取出 1 个白球，有 8 种取法；取出 1 个红球，有 10 种取法，所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有 8 × 10 = 80 种．
至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球，
x
(-∞,-4
-4
(-4 ,2
2
(2 ,+∞
fr (x
+
0
-
0
+
f (x
单调递增
28
单调递减
-8
单调递增
取出的两个球全是白球的取法有 8 × 7
2
= 28 种，
所以至少有一个白球共有 80 + 28 = 108 种取法．
两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球，
取出的两个球全是红球的取法有 10 × 9
2
= 45 种，
所以两球的颜色相同的取法有 45 + 28 = 73 种．
2
x
【详解】(1) 由函数 f (x = 1 x2 - lnx，所以函数的定义域为 (0 ,+∞ ，fr (x = x - 1 ，
x
令 fr (x = x - 1 > 0 得 x > 1，
故 f (x 在 (1，+∞ (0，1 上单调递增，在 (0，1 上单调递减，
故当 x = 1 时 f (x 取极小值 f (1 =-1，无极大值；
x
x
(2 fr (x = x - a = x2 -a ，
当 a ≤ 0 时，fr (x > 0 恒成立，故 f (x 在 (0 ,+∞ 单调递增；
当 a > 0 时，令 fr (x > 0 解得 x > a ，
故 f (x
在 (0， a
单调递减，在 (
a ，+∞
单调递增；
综上所述：当 a ≤ 0 时，f (x
在 (0 ,+∞
单调递增；
当 a > 0 时，f (x
在 (0， a
单调递减，在 (
a ，+∞
单调递增；
(3 由题意可得：1 x2 = alnx 有两个不等根，等价于 1 = lnx
有两个不等根，
令 g(x
r
2
= lnx ，则 gr (x x2
y
O
x
1 -2lnx
= 1 -2lnx ，
x3
1
2ax2
1
1
令 g (x =
x3> 0 得 0 < x < e 2 ，
故 g(x
在 (0，e 2
单调递增，在 (e 2 ，+∞
单调递减,
当 x → 0 时，g(x
→-∞，当 x →+∞时，g(x
→ 0，如图所示，
1 lnx
111
故 y = 2a 与 y =
x2 要有两个不同交点，则 0 < 2a < g(e 2
= 2e ，
解得 a > e. 故 a 的取值范围为 (e，+∞ .
=
【详解】(1) 当 a = 1 时，则 f (x = lnx + x2 - 3x 的定义域为 (0 ,+∞ ，
2
且 fr (x
1 + 2x - 3 = (2x-1 (x-1 ，
x
2
x
令 fr (x
> 0，解得 0 < x < 1
或 x > 1；令 fr (x
< 0，解得 1
< x < 1；
2
所以函数 f (x
因为 f (x
的单调递增区间为 (0 , 1
2
= lnx + ax2 - (2a + 1 x，
，(1 ,+∞
，单调递减区间为 ( 1 ,1 .
=
若 a > 0，当 x 趋近于 +∞时，f (x 趋近于 +∞，不合题意，所以 a ≤ 0，
因为 fr (x
1 + 2ax - (2a + 1
= (2ax-1 (x-1 ，
x
x
且 x ∈ (1 ,+∞
，则 x - 1 > 0，2ax - 1 ≤ 0，则 fr (x
≤ 0，
可知 f (x
在 (1 ,+∞
内单调递减，则 f (x
< f (1
=-a - 1，
可得 -a - 1 ≤ 0，解得 -1 ≤ a ≤ 0，所以实数 a 的取值范围为 -1 ,0 .
令 g(x = f (x + 1 (x-1 2 = (a + 1
x2 - (2a + 2 x + lnx + 1 ，
2
则 gr (x = (2a + 1 x - (2a + 2
22
+
x
x
1 = (x-1 (2a + 1 x-1 ，
因为 0 < x < 1，0 < a < 1 ，则 x - 1 < 0，1 < 1 < 1，
2a + 1
2a + 1
222a + 1
令 gr (x
> 0，解得 0 < x < 1 ；令 gr (x
< 0，解得 1 < x < 1；
可知 g(x
1 2a + 1
内单调递增，在 ( 1 ,1
内单调递减，
在 (0 ,
则 g(x
≤ g( 1
= 1 - 2a + 2
+ ln 1 + 1
=-1 + ln 1 - 1 ，
2a + 1
2a + 1
2(2a + 1
2a + 1
2a + 12
2(2a + 1
2a + 12
因为 1
< 1 < 1，则 ln 1 < 0，可得 g( 1
=-1 + ln 1 - 1
< 0，
2
22a + 1
2a + 1
2a + 1
2(2a + 1
2a + 12
即 g(x
< 0，所以当 0 < x < 1 时，f (x