2026届漳州市高三第三次测评数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届漳州市高三第三次测评数学试卷（含答案解析），共9页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，数列满足，过抛物线C，由得x＝或x＝3.等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知定义在上的函数的周期为4，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）
A．B．
C．D．
4．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是( )
A．1B．2C．D．
5．在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
6．数列满足：，则数列前项的和为
A．B．C．D．
7．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B．C．D．
8．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
9．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ）
A．2阶区间B．3阶区间C．4阶区间D．5阶区间
10．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）
A．年该工厂的棉签产量最少
B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显
C．三年累计下来产量最多的是口罩
D．口罩的产量逐年增加
11．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．0
12．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，， ，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________
14．已知向量，满足，，且已知向量，的夹角为，，则的最小值是__．
15．的展开式中的常数项为_______．
16．若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小值为________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列为公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且、、成等比数列，.设数列的前项和为，且满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）令，证明：.
18．（12分）设函数.
（1）时，求的单调区间；
（2）当时，设的最小值为，若恒成立，求实数t的取值范围.
19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于点，将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.
（1）求曲线的参数方程；
（2）求面积的最大值．
20．（12分）已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点，求的正切的最大值.
21．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点．
22．（10分）已知，函数有最小值7.
（1）求的值；
（2）设，，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.
【详解】
函数的定义域为，当时，，排除B和C；
当时，，排除A.
故选：D.
本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.
2．A
【解析】
因为给出的解析式只适用于，所以利用周期性，将转化为，再与一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.
【详解】
定义在上的函数的周期为4
，
当时，，
，，
.
故选：A.
本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.
3．B
【解析】
根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间.
【详解】
解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称，
对满足的，，有，∴.
再根据其图像关于直线对称，可得，.
∴，∴.
将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.
令，求得，
则函数的单调递减区间是，，
故选B.
本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.
4．C
【解析】
画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.
【详解】
不等式表示的平面区域如图：
直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，，，，所以阴影部分面积.
故选：C.
本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.
5．A
【解析】
由复数z求得点Z的坐标，得到向量的坐标，逆时针旋转，得到向量的坐标，则对应的复数可求.
【详解】
解：∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1），
∴＝(0，1)，将绕原点O逆时针旋转得到，
设＝(a，b)，，
则，
即，
又，
解得：，
∴，
对应复数为.
故选：A.
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
6．A
【解析】
分析：通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知，进而可知，利用裂项相消法求和即可．
详解：∵，∴，
又∵=5，
∴，即，
∴，
∴数列前项的和为，
故选A．
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
7．C
【解析】
联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.
【详解】
依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8．B
【解析】
先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可．
【详解】
由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，
∵是直线上任意一点，
则直线与直线的距离，
∵圆与双曲线的右支没有公共点，则，
∴，即，又
故的取值范围为，
故选：B．
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9．D
【解析】
可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解
【详解】
当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：
令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D
本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题
10．C
【解析】
根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；
由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.
故选：C.
本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
11．C
【解析】
由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.
【详解】
由三视图还原原几何体如图，
其中，，为直角三角形.
∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.
故选：C.
本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.
12．C
【解析】
先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.
【详解】
因为为等比数列，所以，故即，
由可得或，因为为递增数列，故符合.
此时，所以或（舍，因为为递增数列）.
故，.
故选C.
一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）公比时，则有，其中为常数且；
（3） 为等比数列（ ）且公比为.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．0.35
【解析】
根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．
【详解】
解：由题意知本题是一个对立事件的概率，
抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
，
抽到不是一等品的概率是，
故答案为：．
本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．
14．
【解析】
求的最小值可以转化为求以AB为直径的圆到点O的最小距离，由此即可得到本题答案.
【详解】
如图所示，设，
由题，得，
又，所以，则点C在以AB为直径的圆上，
取AB的中点为M，则，
设以AB为直径的圆与线段OM的交点为E，则的最小值是，
因为，
又，
所以的最小值是.
故答案为：
本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想.
15．
【解析】
写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项.
【详解】
的展开式通项公式为： ，
令，所以，所以常数项为.
故答案为：.
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.
16．
【解析】
由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得的最小值.
【详解】
解：将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，可得
的图象.
根据图象与的图象关于轴对称，可得，
，，即时，的最小值为.
故答案为：.
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）,
（2）证明见解析
【解析】
（1）利用首项和公差构成方程组，从而求解出的通项公式；由的通项公式求解出的表达式，根据以及，求解出的通项公式；
（2）利用错位相减法求解出的前项和，根据不等关系证明即可.
【详解】
（1）设首项为，公差为.
由题意，得，解得，
∴，
∴，∴
当时，
∴，.当时，满足上式.
∴
（2），令数列的前项和为.
两式相减得
∴恒成立，得证.
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.（1）当用求解的通项公式时，一定要注意验证是否成立；（2）当一个数列符合等差乘以等比的形式，优先考虑采用错位相减法进行求和，同时注意对于错位的理解.
18．（1）的增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
（1）求出函数的导数，由于参数的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究函数的单调区间；
（2）由（1）的结论，求出的表达式，由于恒成立，故求出的最大值，即得实数的取值范围的左端点．
【详解】
解：（1）解：，
当时，，解得的增区间为，
解得的减区间为.
（2）解：若，由得，由得，
所以函数的减区间为，增区间为；
，
因为，所以，，
令，则恒成立，
由于，
当时，，故函数在上是减函数，
所以成立；
当时，若则，故函数在上是增函数，
即对时，，与题意不符；
综上，为所求．
本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的单调区间，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细．
19．（1）（为参数）；（2）.
【解析】
（1）根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程；
（2）将曲线的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点的极坐标为，点的极坐标为，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程，得出和关于的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出面积的最大值．
【详解】
（1）由于曲线的参数方程为（为参数），
将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，
则曲线的参数方程为（为参数）；
（2）将曲线的参数方程化为普通方程得，
化为极坐标方程得，即，
设点的极坐标为，点的极坐标为，
将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，，
的面积为，
当时，的面积取到最大值.
本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了伸缩变换，同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．（1）；（2）
【解析】
（1）分析可得必在椭圆上，不在椭圆上，代入即得解；
（2）设直线PA，PB的倾斜角分别为，斜率为，可得.则，，利用均值不等式，即得解.
【详解】
（1）因为关于轴对称，
所以必在椭圆上，
∴不在椭圆上
∴，，
即.
（2）设椭圆上的点（），
设直线PA，PB的倾斜角分别为，斜率为
又
∴.
，
，（不妨设）.
故

当且仅当，即时等号成立
本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
21．见解析
【解析】
（1）当时，函数，其定义域为，
则，设，，
易知函数在上单调递增，且，
所以当时，，即；当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，为，无极大值．
（2）由题可得函数的定义域为，，
设，，显然函数在上单调递增，
当时，，，
所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；
当时，，，
所以函数有且仅有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；
当时，，，因为，所以，，
又，所以函数在内有一个零点，
所以函数有且仅有一个零点．
综上，函数有且仅有一个零点．
22．（1）.（2）见解析
【解析】
（1）由绝对值三解不等式可得，所以当时，，即可求出参数的值；
（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得证；
【详解】
解：
（1）∵
，
∴当时，，解得.
（2）∵，∴，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立.
∴.
本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．