2026年郑州市高考数学五模试卷（含答案解析）

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1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．4C．2D．
2．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量与向量平行，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A．8B．7C．6D．4
8．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
9．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A．2B．3C．4D．1
10．如果直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（ ）
A．点M在圆C上B．点M在圆C外
C．点M在圆C内D．上述三种情况都有可能
11．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则______，______.
14．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是______.
15．函数在的零点个数为________．
16． “直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，已知直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线、相交于异于极点的点，若的极径分别为，求的值.
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccsC+ac2csA．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC外接圆的半径为，求△ABC面积的最大值.
19．（12分）已知，函数.
（Ⅰ）若在区间上单调递增，求的值；
（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（参考数据：）
20．（12分）已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值.
21．（12分）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.
22．（10分）如图，在平行四边形中，，，现沿对角线将折起，使点A到达点P，点M，N分别在直线，上，且A，B，M，N四点共面.
（1）求证：；
（2）若平面平面，二面角平面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
由已知得，，由已知比值得，再利用双曲线的定义可用表示出，，用勾股定理得出的等式，从而得离心率．
【详解】
.又，可令，则.设，得，即，解得，∴,,
由得，，，该双曲线的离心率.
故选：A.
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来，从而再由勾股定理建立的关系．
2．D
【解析】
利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.
【详解】
取的中点，则由得，
即；
在中，为的中位线，
所以，
所以；
由双曲线定义知，且，所以，
解得，
故选：D
本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.
3．B
【解析】
设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.
【详解】
设，且，，
由得，即，①，由，②，
所以，解得，因此，.
故选：B.
本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
4．B
【解析】
根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项.
【详解】
.设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是.
故选：B
本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.
5．A
【解析】
利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．
【详解】
几何体的三视图的直观图如图所示，
则该几何体的体积为：．
故选：．
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
6．B
【解析】
化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.
【详解】
对应的点的坐标为在第二象限
故选：B.
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
7．A
【解析】
则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.
【详解】
最底层正方体的棱长为8，
则从下往上第二层正方体的棱长为：，
从下往上第三层正方体的棱长为：，
从下往上第四层正方体的棱长为：，
从下往上第五层正方体的棱长为：，
从下往上第六层正方体的棱长为：，
从下往上第七层正方体的棱长为：，
从下往上第八层正方体的棱长为：，
∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.
故选：A.
本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.
8．B
【解析】
利用等差数列性质，若，则 求出，再利用等差数列前项和公式得
【详解】
解：因为 ，由等差数列性质，若，则得，
．
为数列的前项和，则．
故选：．
本题考查等差数列性质与等差数列前项和.
(1)如果为等差数列，若，则 ．
(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.
9．B
【解析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.
【详解】
根据实际问题可以转化为等比数列问题，
在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．
因为，解得，，解得．故选B．
本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.
10．B
【解析】
根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件，利用与圆心的距离判断即可.
【详解】
直线与圆相交，
圆心到直线的距离，
即．
也就是点到圆的圆心的距离大于半径．
即点与圆的位置关系是点在圆外．
故选：
本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．
11．D
【解析】
根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k的值，设出双曲线方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用双曲线的离心率公式求得e．
【详解】
直线F2A的直线方程为：y＝kx，F1（0，），F2（0，），
代入抛物线C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，
∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，
∴A（p，），设双曲线方程为：1，
丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，
2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（ 1）p，
2c＝p，
∴离心率e1，
故选：D．
本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．
12．B
【解析】
根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值.
【详解】
由于，函数最高点与最低点的高度差为，
所以函数的半个周期，所以，
又，，则有，可得，
所以，
将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数，
所以的最小值为1，
故选：B.
该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用两角和的正切公式结合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值，进而利用两角差的余弦公式求出的值.
【详解】
，
，
，
.
故答案为：；.
本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，难度不大．
14．
【解析】
根据流程图，运行程序即得.
【详解】
第一次运行，；
第二次运行，；
第三次运行，；
第四次运行；所以输出的S的值是.
故答案为：
本题考查算法流程图，是基础题.
15．
【解析】
求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数．
【详解】
详解：
由题可知，或
解得,或
故有3个零点．
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．
16．必要不充分
【解析】
先求解直线l1与直线l2平行的等价条件，然后进行判断.
【详解】
“直线l1：与直线l2：平行”等价于a＝±2，
故“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分.
本题主要考查充分必要条件的判定，把已知条件进行等价转化是求解这类问题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），.（2）
【解析】
（1）先将曲线的参数方程化为直角坐标方程，即可代入公式化为极坐标；根据直线的直角坐标方程，求得倾斜角，即可得极坐标方程.
（2）将直线的极坐标方程代入曲线、可得，进而代入可得的值.
【详解】
（1）曲线的参数方程为（为参数），
消去得，
把，代入得，
从而得的极坐标方程为，
∵直线的直角坐标方程为，其倾斜角为，
∴直线的极坐标方程为.
（2）将代入曲线的极坐标方程分别得到
，
则.
本题考查了参数方程化为普通方程的方法，直角坐标方程化为极坐标方程的方法，极坐标的几何意义，属于中档题.
18．（1）B（2）
【解析】
（1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求csB，进而可求B；
（2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）因为b（a2+c2﹣b2）＝ca2csC+ac2csA，
∴，即2bcsB＝acsC+ccsA
由正弦定理可得，2sinBcsB＝sinAcsC+sinCcsA＝sin（A+C）＝sinB，
因为，所以，
所以B；
（2）由正弦定理可得，b＝2RsinB2，
由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2accsB，
即a2+c2﹣ac＝4，因为a2+c2≥2ac，
所以4＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，即ac的最大值4，
所以△ABC面积S即面积的最大值.
本题综合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）3.
【解析】
（Ⅰ）先求导，得，已知导函数单调递增，又在区间上单调递增，故，令，求得，讨论得，而，故，进而得解；
（Ⅱ）可通过必要性探路，当时，由知，又由于，则，当，，结合零点存在定理可判断必存在使得，得，，化简得，再由二次函数性质即可求证；
【详解】
（Ⅰ）的定义域为.
易知单调递增，由题意有.
令，则.
令得.
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，而又有，因此，所以.
（Ⅱ）由知，又由于，则.
下面证明符合条件.
若.所以.
易知单调递增，而，，
因此必存在使得，即.
且当时，单调递减；
当时，，单调递增；
则
.
综上，的最大值为3.
本题考查导数的计算，利用导数研究函数的增减性和最值，属于中档题
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【解析】
（Ⅰ）先画出图形，结合垂直平分线和平行四边形性质可得为一定值，，故可确定点轨迹为椭圆（），进而求解；
（Ⅱ）设直线方程为，点坐标分别为，联立直线与椭圆方程得，，分别由点斜式求得直线KA的方程为，令得，同理得，由结合韦达定理即可求解，而，当重合交于点时，可求最值；
【详解】
（Ⅰ），
所以点的轨迹是一个椭圆，且长轴长，半焦距，
所以，轨迹的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率为0时，与曲线无交点.
当直线的斜率不为0时，设过点的直线方程为，点坐标分别为.
直线与椭圆方程联立得消去，得.
则，.
直线KA的方程为.
令得.
同理可得.
所以
.
所以的中点为.
不妨设点在点的上方，
则.
本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程，椭圆中的定点定值问题，属于中档题
21．（1）不在，证明见详解；（2）
【解析】
（1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果.
（2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果.
【详解】
（1）设直线方程，
根据题意可知直线斜率一定存在，
则
则
由
所以
将代入上式
化简可得，所以
则直线方程为，
所以直线过定点，
所以可知点不在直线上.
（2）设
线段的中点为
线段的中点为
则直线的斜率为，
直线的斜率为
可知线段的中垂线的方程为
由，所以上式化简为
即线段的中垂线的方程为
同理可得：
线段的中垂线的方程为
则
由（1）可知：
所以
即，所以点轨迹方程为
焦点为，
所以
当三点共线时，有最大
所以
本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处，第（2）问中关键在于得到点的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.
22．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用线面平行的性质定理，//，最后可得结果.
（2）根据二面角平面角大小为，可知N为的中点，然后利用建系，计算以及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
（1）不妨设，则，
在中,
，
则，
因为，
所以，因为//，
且A、B、M、N四点共面，所以//平面.
又平面平面，所以//.
而，.
（2）因为平面平面，且，
所以平面，，
因为，所以平面，，
因为，平面与平面夹角为，
所以，在中，易知N为的中点，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则由，
令，得.
设与平面所成角为，
则.
本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.