2025-2026学年大庆市高考数学四模试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年大庆市高考数学四模试卷（含答案解析），文件包含93大气压强原卷版docx、93大气压强解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
4．设，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为（ ）
A．B．C．D．
6．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件
7．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是( )
A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；
B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；
C．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；
D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
8．中，点在边上，平分，若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）
A．λ＜﹣16B．λ＝﹣16C．﹣12＜λ＜0D．λ＝﹣12
10．已知定义在上函数的图象关于原点对称，且，若，则（ ）
A．0B．1C．673D．674
11．已知平面和直线a，b，则下列命题正确的是（ ）
A．若∥，b∥，则∥B．若，，则∥
C．若∥，，则D．若，b∥，则
12．已知集合,，则
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量与时间的函数关系为（如图所示），实验表明，当药物释放量对人体无害. （1）______；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过______分钟人方可进入房间.
14．如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，，若，则的取值范围是_______．
15．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．
16．如图，在棱长为2的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值.
18．（12分）已知在等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项的和.
19．（12分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，，若，，成等比数列．
（1）求及；
（2）设，设数列的前项和，证明：．
20．（12分）已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且.
（1）讨论的单调性
（2）求实数和a的值
（3）证明
21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.
22．（10分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为AB，BC的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
由题意和交集的运算直接求出.
【详解】
∵ 集合，
∴.
故选:C.
本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.
2．C
【解析】
由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解
【详解】
先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时，
故选：C
本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题
3．A
【解析】
易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.
【详解】
由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，
又所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.
4．D
【解析】
作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值．
【详解】
作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线：在可行域内平移当过点时，取得最大值.
由得：，
故选：D
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.
5．B
【解析】
函数（为辅助角）
∴函数的最大值为，最小正周期为
故选B
6．D
【解析】
结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.
【详解】
若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：D
本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.
7．D
【解析】
根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.
【详解】
对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.
本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.
8．B
【解析】
由平分，根据三角形内角平分线定理可得，再根据平面向量的加减法运算即得答案.
【详解】
平分，根据三角形内角平分线定理可得，
又，，，，
.
.
故选：.
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.
9．D
【解析】
分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.
【详解】
设，
联立
则，
因为直线经过C的焦点，
所以.
同理可得，
所以
故选：D.
本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
10．B
【解析】
由题知为奇函数，且可得函数的周期为3，分别求出知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.
【详解】
因为为奇函数，故；
因为，故，
可知函数的周期为3；
在中，令，故，
故函数在一个周期内的函数值和为0，
故.
故选：B.
本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
11．C
【解析】
根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.
【详解】
A：当时，也可以满足∥，b∥，故本命题不正确；
B：当时，也可以满足，，故本命题不正确；
C：根据平行线的性质可知：当∥，，时，能得到，故本命题是正确的；
D：当时，也可以满足，b∥，故本命题不正确.
故选：C
本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.
12．D
【解析】
因为,,所以,,故选D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2 40
【解析】
（1）由时，，即可得出的值；
（2）解不等式组，即可得出答案.
【详解】
（1）由图可知，当时，，即
（2）由题意可得，解得
则为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.
故答案为：（1）2；（2）40
本题主要考查了分段函数的应用，属于中档题.
14．
【解析】
由于点在椭圆上运动时，与轴的正方向的夹角在变，所以先设，又由，可知，从而可得，而点在椭圆上，所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果．
【详解】
设，，，则，
由，得，代入椭圆方程，
得，化简得恒成立，
由此得，即，故．
故答案为：
此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率，综合性强，属于难题 ．
15．
【解析】
根据题意可知的两根为,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解即可.
【详解】
解：因为函数,
关于的不等式的解集是
的两根为：和；
所以有：且；
且；
；
故答案为：
本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.
16．
【解析】
取中点，连结，，推导出平面平面，从而点在线段上运动，作于，由，能求出线段长度的取值范围．
【详解】
取中点，连结，，
在棱长为2的正方体中，点、分别是棱、的中点，
，，
，，
平面平面，
是侧面正方形内一点（含边界），平面，
点在线段上运动，
在等腰△中，，，
作于，由等面积法解得：
，
，
线段长度的取值范围是，．
故答案为：，．
本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【解析】
（Ⅰ）先画出图形，结合垂直平分线和平行四边形性质可得为一定值，，故可确定点轨迹为椭圆（），进而求解；
（Ⅱ）设直线方程为，点坐标分别为，联立直线与椭圆方程得，，分别由点斜式求得直线KA的方程为，令得，同理得，由结合韦达定理即可求解，而，当重合交于点时，可求最值；
【详解】
（Ⅰ），
所以点的轨迹是一个椭圆，且长轴长，半焦距，
所以，轨迹的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率为0时，与曲线无交点.
当直线的斜率不为0时，设过点的直线方程为，点坐标分别为.
直线与椭圆方程联立得消去，得.
则，.
直线KA的方程为.
令得.
同理可得.
所以
.
所以的中点为.
不妨设点在点的上方，
则.
本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程，椭圆中的定点定值问题，属于中档题
18．（1）（2）
【解析】
（1）由基本量法，求出公比后可得通项公式；
（2）求出，用裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为
又因为，所以
解得（舍）或
所以，即
（2）据（1）求解知，，
所以
所以
本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握．
19．（1），；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据题中条件求出等差数列的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列的通项和前项和；
（2）根据裂项求和求出，根据的表达式即可证明.
【详解】
（1）设的公差为，
由题意有，
且，
所以，
；
（2）因为，
所以，
.
本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.
20．（1）在区间单调递增；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
（1）求出，在定义域内，再次求导，可得在区间上恒成立，从而可得结论；（2）由，可得，由可得，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知在区间单调递增，可证明，取，可得，而，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.
【详解】
（1）由已知可得函数的定义域为，且，
令，则有，由，可得，
可知当x变化时，的变化情况如下表：
，即，可得在区间单调递增；
（2）由已知可得函数的定义域为，且，
由已知得，即，①
由可得，，②
联立①②，消去a，可得，③
令，则，
由（1）知，，故，在区间单调递增，
注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，
；
（3）证明：由（1）知在区间单调递增，
故当时，，，
可得在区间单调递增，
因此，当时，，即，亦即，
这时，故可得，取，
可得，而，
故
.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
21．（1）曲线，曲线.（2）.
【解析】
（1）用和消去参数即得的极坐标方程；将两边同时乘以，然后由解得直角坐标方程.
（2）过极点的直线的参数方程为，代入到和：中，表示出即可求解.
【详解】
解：由和，得
，化简得
故：
将两边同时乘以，得
因为，所以
得的直角坐标方程.
（2）设直线的极坐标方程
由，得，
由，得
故
当时，取得最大值
此时直线的极坐标方程为：，
其直角坐标方程为：.
考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）通过证明面，即可由线面垂直推证面面垂直；
（2）根据面，将问题转化为求到面的距离，利用等体积法求点面距离即可.
【详解】
（1）因为棱柱是直三棱柱，所以
又，
所以面
又，分别为AB，BC的中点
所以//
即面
又面，所以平面平面
（2）由（1）可知////
所以//平面
即点到平面的距离等于点到平面的距离
设点到面的距离为
由（1）可知，面
且在中，，
易知
由等体积公式可知
即
由得
所以到平面的距离等于
本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.
1
-
0
+
极小值