2026年四川南充市高三数学二诊试题含答案

这是一份2026年四川南充市高三数学二诊试题含答案，共11页。试卷主要包含了 的展开式中的系数为， 已知角，满足，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，用0.5毫升黑色字迹笔书写.
一、单项选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】∵，
∴.
∴.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题可知，解得，则集合，
因为，则，则集合，
所以.
3. 已知一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的定义可得结果.
【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为，
设圆心为，因为点在抛物线上，
由抛物线的定义可知点到直线的距离等于，
由于圆与直线相切，故圆经过定点.
4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数定义域、值域及对称性判断.
【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误；
CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误；
A选项，函数，定义域为，
，函数为奇函数，图象关于原点对称，
当或时，；当或时，.
A选项正确.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 1B. 6C. 15D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】先化简得到，再利用二项展开式的通项计算的系数
【详解】化简得到，
的展开式通项为。
令 ，即，得到，
故的系数为.
6. 在中，，，若，，，相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以与为基底表示，再结合向量的数量积运算求解
【详解】因为
又与共线，可设，则，
同理与共线，设，又
所以
又
所以，解得
故
所以
又
故
7. 已知角，满足，，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等变换，将已知条件转化为关于的关系式，再结合，求出，最后用正切和角公式计算.
【详解】因为，
所以，
所以，
即，
化简可得：，
又因，所以，
所以，
所以.
8. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支交于点，.设与的内切圆圆心分别是，，直线，的斜率分别是，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据双曲线的标准方程求出焦点、的坐标，再利用三角形内切圆的性质以及双曲线的性质，推导出、的横坐标，设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到、两点横坐标的关系，结合内切圆圆心的位置特点，求出、的纵坐标与、两点坐标的关系式，进而得到、的表达式，再计算.
【详解】由双曲线，得：，，，
所以焦点，，
过的直线与右支交于，，且，
设内切圆与边的切点为，根据切线长性质，有
，
又，解得，，
以为起点向右移动4个单位得，
因此内切圆圆心在直线上，
设，，，不妨点在第一象限，同理，
由三角形面积公式：，
又的周长的一半，
内切圆半径，且，得，
由焦半径公式，代入得，故，
同理，于是
当直线的斜率不存在时，
可得，代入到双曲线方程中，
得，，此时；
当直线的斜率存在时，
设直线的斜率为，则，
代入双曲线方程得，
由韦达定理，
计算，
；
；
于是.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B.
C. 关于点对称
D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称
【答案】AC
【解析】
【详解】由图可得：，，
由，
由，.
因为，所以，.
所以.
故A正确，B错误；
对C：因为，所以关于点对称，故C正确；
对D：将的图象向左平移个单位长度，可得函数，
当时，，所以函数的图象不关于原点对称.故D错误.
10. 如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当时，二面角的正切值为
C. 四面体的外接球体积为
D. 若，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】建系借助空间向量判断A选项；根据二面角的定义判断B选项；设出外接球球心，根据球心到各点距离相等得到球心坐标和半径进而判断C选项；根据E点坐标结合三角函数换元，利用三角函数值域即可判断D选项.
【详解】以为原点，为轴，为轴，​为轴，建立如图空间直角坐标系，
，设，
，，
所以
故异面直线与所成角的余弦值为，故A正确；
过作，垂足为，因为平面平面，
且平面平面，平面，
所以平面，又，故，
又，，平面，
所以平面，平面，
故.所以的轨迹是以为直径，中点为圆心的圆在正方形内的部分，
所以在平面上的轨迹方程为，
而DE=1，故此时的轨迹方程为，
联立 ​，得，，
因为平面，平面，
所以，
根据二面角定义可知​是二面角的平面角，
则 ，故 B正确；
而直角三角形外心中点，设外接球心为，
由球心到各点距离相等得，即，
解得​，半径，体积 ，故C错误；
得，故，因为的轨迹方程为，
设，得 ，
而，故，所以，故D正确.
11. 假设在一定的环境下，某种电子元件的寿命（单位：年）是一个取值为正整数的随机变量，且满足如下统计规律：对任意正整数，寿命恰好为的元件在所有寿命不小于的元件中的占比为10%.记事件，事件，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 设，则
D 设，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】设元件总数为，寿命为年的元件数为，根据给定条件可得，进而求出，再结合条件概率公式及错位相减求和法逐项判断.
【详解】设元件总数为，寿命为年的元件数为，依题意，，
整理得，则，
两式相减得，，因此，而，
则数列是首项为，公比为的等比数列，，
对于A，，A正确；
对于B，由，得，则，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，设，
则，
，
两式相减得
，因此，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则_____________.（结果用和表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据换底公式及对数的运算法则可得.
【详解】.
13. 在中，，，分别是边，，边的中点，若，，，则的长度为_____________.
【答案】
【解析】
【详解】
如图所示，由三角形重心性质可知，
因为是的中点，所以，
所以，得，解得，
可知，所以.
14. 已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为、，则的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】设，利用四点共面，可得，再进一步确定，进而得到，再计算得，结合得到的范围．
【详解】解：如图，延长分别交平面、平面于，
平面与棱，分别相交于，
连接交于，又为正四面体，不妨设正四面体的边长为，
为的重心，为的中点，，
，设，
，
共面，，解得，
即，又，，，
，
即，即，
，，
，且，
．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，为数列的前项和，为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据等比数列的有关公式得到和，根据条件可得，再由求.
（2）利用裂项求和法求和即可证明.
【小问1详解】
由题意，，，
所以.
当时，.
当时，.
当时，上式亦成立，所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
因为，所以.
所以.
16. 某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组.调查发现：甲组成员共人，其中男生人.
（1）根据以上数据，填空下述列联表：
（2）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关；
（3）现从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，记赠送书签的人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：，.
参考数据：
【答案】（1）
（2）有关，理由见解析 （3）分布列为
数学期望为
【解析】
【分析】（1）根据题中信息可完善列联表；
（2）零假设学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关，计算的观测值，结合临界值表可得出结论；
（3）分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出的值.
【小问1详解】
根据题中数据可得列联表如下：
【小问2详解】
零假设学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关.
【小问3详解】
从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，
这人中，甲组的人数为人，乙组的人数为人，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以.
17. 已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，.
（1）求的值；
（2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若为上一点，，求.
【答案】（1）3 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用外积分的长度规定结合求的值；
（2）求出平面的法向量，向量法求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设，，由与均垂直，求出的值，得到，再由，求的值.
【小问1详解】
在四棱锥中，底面为矩形，底面，
以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由，，得，
，，
，
，
，
化简得， 即，又，解得.
【小问2详解】
若为线段的中点，有，
，设平面的一个法向量为，
，令，则，即，
又，设直线与平面所成角为，
则.
【小问3详解】
为上一点，设，，
则，设，，
，又，，
则有，解得，
所以，，
又，则.
18. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，是的一个极值点，，是两个不同的零点，记，，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）判断是否可能为等腰三角形，并说明理由.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；(ii)不可能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，求得曲线在点处的切线斜率，即可写出相应的切线方程；
（2）（i）先求出函数的极值点，再根据函数有两个不同零点得到相关等式，通过构造函数并分析其单调性来证明不等式；（ii）假设为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到等式，通过分析等式是否成立来判断是否可能为等腰三角形.
【小问1详解】
函数的定义域为.
，
所以.
所以曲线在点处切线方程为，即.
【小问2详解】
函数的定义域为.
，
令，则，即.
解得.
当时，，所以，所以.
所以当时， ，单调递增；当时，，单调递减.
所以在处取得极大值.所以.
又，所以，.
（ⅰ）证明：
令，则.
因为，所以恒成立，所以恒成立，
所以是减函数.
因为，所以，即，即得证.
要证，只证，
因为当时，单调递减，所以只需证.
由，得，即.
所以.
令，则恒成立，
所以是增函数.
因为，所以.
所以得证.
综上，得证.
（ii）由（i）得，，所以，
又，所以.
，
因为，所以.
所以.
所以若为等腰三角形，则，即是的中点，即，
与矛盾，所以不可能是等腰三角形.
19. 已知椭圆的离心率，.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条斜率存在且不为零的直线，，分别交于，和，，且满足.
（ⅰ）证明：直线，的斜率之和为定值；
（ⅱ）求四边形面积的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）证明过程见解析.
（ii）.
【解析】
【分析】（1）由椭圆中，再结合已知条件可求得椭圆方程.
（2）设过的直线方程，与椭圆联立，（i）中利用韦达定理和弦长公式分别写出与，
由即可证明直线，的斜率之和为定值.
（ii）将四边形面积表示为（为两条直线夹角），结合基本不等式可求出最值.
【小问1详解】
由题意可知解得：
椭圆的方程为.
【小问2详解】
（i）设​斜率为，斜率为​，，，，，
直线过，直线方程为，
代入椭圆方程整理得：
，
由弦长公式可知：
计算得​： ，同理可得：
由题设，
整理得，即.
因（两条不同直线），故. 即​斜率之和为定值.
（ii）设，两条直线夹角为，四边形对角线为，
面积为
计算得：
​​，
，
设两直线倾斜角为，，则，
，
化简可得： ，
令，由基本不等式，当且仅当时等号成立，
进一步化简得： 令，则，这是关于的开口向下二次函数，
对称轴，故在（即​）时取最大值，
​
因此四边形面积的最大值为​.
甲组
乙组
合计
男生
女生
合计
甲组
乙组
合计
男生
女生
合计
甲组
乙组
合计
男生
女生
合计