甘肃省2026届高三下学期第二次模拟考试数学试卷含答案（word版）

这是一份甘肃省2026届高三下学期第二次模拟考试数学试卷含答案（word版），文件包含试卷定稿pdf、化学阅卷细则1pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
7. 解析:
如图, 将正四面体 ABCD 放于正方体中,使 AB,CD 分别为相对两面的对角线,则当 M,N 分别为 AB,CD 的中点时, MN 的长度最小,且等于正方体的棱长,由于正方体的棱长为 2 ,故选 B.
8. 解析:∵fx=lgx+2xx+1, ∴f1x=lg1x+2x1x+1=−lgx+21+x ,
∴fx+f1x=2, ∴fa+f1a=2, ∵fa+fb=2 ,
∴f1a=fb ,又 ∵fx=lgx+2xx+1=lgx+2−2x+1 在 0,+∞ 单调递增,
∴b=1a ,即 ab=1 ,
∴a+b2=a2+2ab+b2=a2+b2+2≥2ab+2=4 ,当且仅当 a=b=1 时,“ = ” 成立, 故选C.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
11. 解析: 可知曲线 E 的图象由双曲线 x2−y2=4 A,C 为其焦点) 在第二象限及 x 轴负半轴上的点 −2,0 ,圆 x2+y2=4 在第三象限内的点,双曲线 y2−x2=4 (B, D 为其焦点) 在第四象限及 y 轴负半轴上的点 0,−2 共同构成,其图象分布在双曲线的渐
近线 y=−x 的左下区域,而直线 AB 与 y=−x 平行,且在其右上区域,所以曲线 E 与直线 AB 没有交点，因此，选项 C 错误；
易知曲线 E 关于直线 y=x 对称,
根据双曲线定义， MA−MC=4 ，根据对称性， DN=MC ，而 CD=4 ，
所以 MA=4+MC=CD+DN ,故选项 A 正确;
设曲线在第二象限上任意一点 Qx,y ,根据双曲线方程及范围,
OQ=x2+y2=2x2−4>8−4=2 ,
曲线在第三象限上任意一点及 −2,0 和 0,−2 到原点的距离为 2,根据对称性,曲线在第四象限上任意一点到原点的距离也都大于 2,因此选项 B 正确;
要满足 AP⊥BP ,点 P 必须在以 AB 为直径的圆上,而此圆除过原点外,其余点均在直线 y=−x 的右上方区域,与曲线 E 无交点,故选项 D 错误.
故选 AB.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 23 13. 0,1e∪e,+∞ 14. π6
14. 解析: 如图,设 C 为 AB 中点,连接 PC ,作 OD⊥ 平面 PAB ,则垂足 D 必在 PC 上, 由题意可知 PO=3,OD=33 ,则 sin∠CPO=13,cs∠CPO=223 ,

∴PC=POcs∠CPO=364 ,
由于 ΔPAB 为等腰三角形,
所以重心 G 在底边的中线 PC 靠近点 C 的三等分点处,
∴PG=364×23=62 ,
作 GM⊥PO ,垂足为 M ,则 GM=PG×sin∠CPO=62×13=66 ,
可知点 G 的轨迹是以 M 为圆心,半径为 66 的圆,其面积为 π6 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
解: (1) ∵acsAsinB=2c−asinAcsB ,
∴acsAsinB+sinAcsB=2csinAcsB ,
∴asinC=2csinAcsB ,
根据正弦定理可得: ac=2accsB ，所以 csB=12 ，由于 B∈0,π ，故 B=π3 . 5 分
(2)由于 D 为 AC 中点，所以 2BD=BC+BA ，
∴7=a2+2a+4, ∴a=1 或 a=−3 (舍),
∴b2=a2+c2−2accsB=1−2+4=3, ∴b=3 , 9 分
∴a2+b2=c2, ∴∠C=π2, ∴sin∠CDB=CBBD=172=277 ,
∴sin∠ADB=sinπ−∠CDB=sin∠CDB=277 . 13 分
16. (15 分)
(1)解: 由条件可知: x=4,y=5 ,
列出下表
将以上数据代入公式，可得 b=0.86 ， a=1.56 ，
所以 y=0.86x+1.56 , 5 分
当 x=10 时, y=10.16 (万元),
故可估计月产量达 1 万件时的月检测成本为10.16 万元.7 分
(2)证明:设 x 表示 3 件产品中不合格产品的件数，则 x∼B3,a ，9 分
故 Pa=C32a21−a+C33a3 ,
P1−a=C321−a21−1−a+C331−a3=C31a1−a2+C301−a3,
∴Pa+P1−a=C301−a3+C31a1−a2+C32a21−a+C33a3=a+1−a3=1 ,13 分
又 ∵ 函数的定义域为 0,1, ∴ 函数 Pa 的图象关于点 12,12 对称. 15 分
17. (15 分)
改编自湘教版高中数学选择性必修二 106 页第 11 题(长方体截角)
(1)证明:连接 AC
∵ABCD 是矩形， ∴M 是 AC 的中点，
∵EA⊥ 平面 ABCD , FC⊥ 平面 ABCD ,
∴EA//FC, ∵N 是 EF 的中点, ∴MN//FC
∵MN⊄ 平面 DCFG,FC⊂ 平面 DCFG ,
∴MN// 平面 DCFG . 7 分
(2)解:如图建立空间直角坐标系 D−xyz ，则 A2,0,0 ， B2,3,0,C0,3,0,E2,0,2,F0,3,3 ,N1,32,52 ,
连接 GB ,
∵EA//FC , FC⊂ 平面 DCFG,EA⊄ 平面 DCFG ,
∴EA// 平面 DCFG ,
又 ∵AB//CD,CD⊂ 平面 DCFG ,
AB⊄ 平面 DCFG ,
∴AB// 平面 DCFG ,
又 ∵EA⊂ 平面 EAB,AB⊂ 平面 EAB ,
且 EA∩AB=A ,
∴ 平面 EAB// 平面 DCFG ,
∵G,E,B,F 共面,平面 GEBF⋂ 平面 EAB=EB ,
平面 GEBF∩ 平面 DCFG=GF ,
∴GF//EB, 同理 GE//BF ,
∴GEBF 为平行四边形, ∴BG∩EF=N ,且 N 为 GB 中点,
可得 G0,0,5 ,则 GE=2,0,−3,GC=0,3,−5 , 11 分
设平面 EGC 的法向量为 m=x0,y0,z0 ,
则 m⋅GE=2x0−3z0=0, m⋅GC=3y0−5z0=0, 取 x0=9,y0=10,z0=6,
则平面 EGC 的一个法向量为 m=9,10,6 ,
又平面 DCFG 的一个法向量为 n=1,0,0 ,
∴cs⟨m,n⟩=m⋅nm∣ln=9217=9217217 ,
所以平面 EGC 和平面 DCFG 所成角的余弦值为 9217217 . 15 分
18. (17 分)
解: (1) 由于 x2=2pyp>0 过点 T2,1 ,则 p=2 ,
所以抛物线 C 的方程为 x2=4y ； .5 分
(2)由 x2=4y 得 y=14x2, y′=x2 ，
所以过 T2,1 的切线1的方程为 y−1=x−2 ,即 y=x−1 , .8 分
设 Ax1,x124,Bx2,x224,Px0,y0 ,可知 x1≠x2 ,
∵AB//OT,kOT=12,kAB=x124−x224x1−x2=x1+x24, ∴x1+x2=2 , 10 分
∵P 在切线1上, ∴y0=x0−1 ,
∵P 在直线 AB 上， ∴AP//BP ，
又 ∵AP=x0−x1,y0−x124,BP=x0−x2,y0−x224 ,
∴x0−x2y0−x124=x0−x1y0−x224, ∴y0=x04x1+x2−x1x24=x02−x1x24 ,
由 y0=x0−1,y0=x02−x1x24, 得 x0=2−x1x22,y0=1−x1x22, 12 分
∴PT2=x0−22+y0−12=2x0−22=X12X222 ,
PA=x0−x12+y0−y12=2−x1x22−x12+1−X1X22−X1242
=x2−x1x222+2−x12+x14−x1x222=x22−x122+x22+x14−x1x222
=x244+x22−x142=x244+x2416=5x2416=54x22 ,
同理IPBI =54x12, ∴PA⋅PB=516x12x22, ∴PT2=85PA⋅PB ,16 分
所以 λ 是定值 85 . 17 分
19. (19 分)
解:(1)当 a=1 时， fx=x−1ex ，则 f′x=xex ，
当 x0 ， fx 为增函数，
所以当 x=0 时， fx 有极小值，也是最小值，因此， ymin=f0=−1 . 5 分
(2)可知 f′x=x−a+1ex+a−1 ，
令 gx=x−a+1ex+a−1 ,则 g′x=x−a+2ex ,
当 x0 ， gx 为增函数，
∴gx=f′x≥f′a−2=−ea−2+a−1 , 7 分
令 ℎa=−ea−2+a−1 ，则 ℎ′a=−ea−2+1 ，
当 a0 ， ha 为增函数，当 a>2 时， h′af0=0−2e0+0=−2 ,
即当 x>0 时， x−2ex+x>−2 ，
所以当 x>1 时， lnx−2x+lnx>−2 ，可得 lnx>2x−1x+1 ； 13 分
(ii) 令 x=n+2nn∈N+ ,则
lnn+2n>2n+2n−1n+2n+1=2n+2−nn+2+n=n+2−n2=2n+1−2nn+2
∴lnn+2−lnn>2n+1−2nn+2 ,
∴lnn+1−lnn−1>2n−2n−1n+1 ,
ln3−ln1>2×2−21×3 ,
以上 n 个式子相加得:
lnn+2+lnn+1−ln2>2×n+1+2n2−21×3+2×4+⋯+nn+2
∴1×3+2×4+⋯+nn+2>n2+3n2+14ln2n2+3n+2 17 分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
C
B
A
B
C
题号
9
10
11
答案
ACD
CD
AB
X−X
-2
-1
0
1
2
y−y
-1.8
-0.8
0.1
0.8
1.7
x−xy−y
3.6
0.8
0
0.8
3.4
x−x2
4
1
0
1
4