2025年临汾市浮山县乡宁县高考数学必刷试卷含解析

这是一份2025年临汾市浮山县乡宁县高考数学必刷试卷含解析，共2页。试卷主要包含了若、满足约束条件，则的最大值为等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是( )
A．1B．2C．D．
2．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件
3．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( )
A．B．
C．D．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A．2B．3C．D．
6．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）
A．且
B．且
C．且
D．且
7．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
8．若、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．B．6C．4D．5
10．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）
A．2B．5C．D．
11．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________.
14．在的展开式中，项的系数是__________（用数字作答）．
15．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．
16．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.
18．（12分）已知函数，的最大值为．
求实数b的值；
当时，讨论函数的单调性；
当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．（12分）已知函数，将的图象向左移个单位，得到函数的图象.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，的一条对称轴是，求在的值域.
20．（12分）已知椭圆，点，点满足（其中为坐标原点），点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为，若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.
21．（12分）在直角坐标系中，曲线的标准方程为.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）若点在曲线上，点在直线上，求的最小值.
22．（10分）已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点；当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时，的周长为，且与椭圆的另一个交点的横坐标为
（1）求椭圆的方程；
（2）点为内一点，为坐标原点，满足，若点恰好在圆上，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.
【详解】
不等式表示的平面区域如图：
直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，，，，所以阴影部分面积.
故选：C.
本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.
2．D
【解析】
结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.
【详解】
若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：D
本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.
3．A
【解析】
设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.
【详解】
设平面向量与的夹角为，，可得，
在等式两边平方得，化简得.
故选：A.
本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
4．B
【解析】
利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】
如图，，设为的中点，为的中点，
由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，
由题易知，的补角，分别为，
设三棱柱的棱长为2，
在中，，
；
在中，，
；
在中，，
，
.
故选：B
本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.
5．B
【解析】
运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.
【详解】
起始阶段有，，
第一次循环后，，
第二次循环后，，
第三次循环后，，
第四次循环后，，
所有后面的循环具有周期性，周期为3，
当时，再次循环输出的,，此时，循环结束，输出，
故选：B
本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.
6．A
【解析】
试题分析：由题意得，，
∴，，
∵，∴，∴，
∴若：，，∴，
若：，，∴，
若：，，∴，
综上可知，同理可知，故选A.
考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.
7．A
【解析】
设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.
【详解】
设点的坐标为，有，得.
双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，
所以，则，即，故，即，所以.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.
8．C
【解析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】
作出满足约束条件的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．
由，得，平移直线，当直线经过点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，
即.
故选：C.
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
9．D
【解析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算．
【详解】
由题意
．
故选：D．
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．
10．D
【解析】
根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥.，，，故最大面的面积为.选D.
本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.
11．B
【解析】
画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
作出中在圆内部的区域，如图所示，
因为直线，的倾斜角分别为，，
所以由图可得取自的概率为.
故选：B
本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.
12．D
【解析】
由得，分别算出和的值，从而得到的值.
【详解】
∵，
∴，
∴，
当时，，∴，
当时，，∴，
∴，
故选：D.
本小题主要考查对数运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
令直线：，与椭圆方程联立消去得，可设，则，．可知，又，故．三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径，其面积最大值为．故本题应填．
点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(１)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(２)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等．
14．
【解析】
的展开式的通项为：.
令，得.
答案为：-40.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
15．
【解析】
代入求解得,再求准线方程即可.
【详解】
解：双曲线经过点,
,
解得,即．
又,故该双曲线的准线方程为： ．
故答案为：．
本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.
16．
【解析】
试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则
一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，
其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种；
所以所求的概率是．
考点：古典概型概率
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）设中点为，连接、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理得出，由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；
（2）先确定三棱锥的外接球球心的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求得结果.
【详解】
（1）设中点为，连接、， 因为，所以.
又，所以，
又由已知，，则，所以，.
又为正三角形，且，所以，
因为，所以，，
，平面，
又平面，平面平面；
（2）由于是底面直角三角形的斜边的中点，所以点是的外心，
由（1）知平面，所以三棱锥的外接球的球心在上.
在中，的垂直平分线与的交点即为球心，
记的中点为点，则.
由与相似可得，
所以.
所以三棱锥外接球的体积为.
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18． (1) ;(2) 时，在单调增；时, 在单调递减，在单调递增；时,同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在.
【解析】
分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当时， 取得极大值，也是最大值，
由，可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.
详解：(1) 由题意得，
令，解得，
当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减.
所以当时， 取得极大值，也是最大值，
所以，解得.
（2）的定义域为.

①即,则，故在单调增
②若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调递减，在单调递增．
③若,即,同理在单调递减，在单调递增
（3）由（1）知，
所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增，
所以恒成立，
所以函数在区间内单调递增.
假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，
则，
问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根， 即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，
令， ，则，
设， ，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增，
故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.
综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是.
点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
19．（1）增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论；
（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论．
【详解】
由题意得
（1）向左平移个单位得到，
增区间：解不等式，解得，
减区间：解不等式，解得.
综上可得，的单调增区间为，
减区间为；
（2）由题易知，，
因为的一条对称轴是，
所以，，解得，.
又因为，所以，即.
因为，所以，则，
所以在的值域是.
本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题．
20．（1）（2）是，
【解析】
（1）设,根据条件可求出的坐标，再利用在椭圆上，代入椭圆方程求出即可;
（2）设运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出，,再利用焦半径公式表示出,进而求出周长为定值．
【详解】
(1)设,因为,
即则,即,
因为均在上,代入得,解得,所以椭圆的方程为;
(2)由(1)得,作出示意图,
设切点为,
则,
同理
即,所以,
又,
则的周长,
所以周长为定值.
标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.
21．（1）（2）
【解析】
（1）直接利用极坐标公式计算得到答案
（2）设，，根据三角函数的有界性得到答案.
【详解】
（1）因为，所以，
因为所以直线的直角坐标方程为.
（2）由题意可设，
则点到直线的距离.
因为，所以，
因为，故的最小值为.
本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
22．（1）；（2）或
【解析】
（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为，从而求出.写出直线的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为，求出和，从而写出椭圆的方程；
（2）设出P、Q两点坐标，由可知点为的重心，根据重心坐标公式可将点用P、Q两点坐标来表示.由点在圆O上，知点M的坐标满足圆O的方程，得式.为直线l与椭圆的两个交点，用韦达定理表示，将其代入方程，再利用求得的范围，最终求出实数的取值范围.
【详解】
解：（1）由题意知.
，
直线的方程为
∵直线与椭圆的另一个交点的横坐标为
解得或(舍去)
，
∴椭圆的方程为
（2）设
.
∴点为的重心，
∵点在圆上，
由得
，
代入方程，得
，
即
由得
解得.
或
本题考查了椭圆的焦点三角形的周长，标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，其中重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力，属于较难的题.