四川省成都市第七中学2025-2026学年度上学期高2028届10月阶段性检测数学试卷（含答案）

这是一份四川省成都市第七中学2025-2026学年度上学期高2028届10月阶段性检测数学试卷（含答案），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知集合U { = 1, 2, 3, 4,5 }, A { = 1, 3}, B { = 1, 2, 4 }，则CUB U A = ( )
A ． {1, 3, 5} B ． {1, 3} C ． {1, 2, 4} D ． {1, 2, 4,5} 【答案】A
2 ．命题“x ∈ R都有x2 + x + 1 > 0 ”的否定是( )
A ．不存在x ∈ R , x 2 + x + 1> 0 B ．存在x0 ∈ R, x02 + x0 +1 ≤ 0
C ．存在x0 ∈ R, x02 + x0 +1> 0 D ．对任意的x ∈ R , x 2 + x + 1≤ 0
【答案】B
3．设U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }，集合 A = {1, 2, 4, 6 } ，集合B = {2, 3, 5} ，则Venn 图中阴影部分表示的集合的真子集个数是( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】C
4 ．已知集合 A ，集合B = {x∣x 2 -1 4}
【答案】A
6 ．已知集合 A = {x-1< x < 4} ， B = {xa -1 ≤ x ≤ a + 2} ，若集合 A ∩ B 中恰好只有两个整数，则实数a 的取值范围是( )
A ． [-1, 0) (2,3] B ． (-1, 0) U (2,3) C ． (-2, -1] [3, 4) D ． (-2, -1) (3, 4) 【答案】A
7 ．已知2 < x < 4 ， -3 < y < -1 ，则 的取值范围是( )
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9 ．已知关于 x 的不等式ax2 + bx + c > 0的解集为(-∞, -2) (3, +∞ ) ，则下列选项中正确的是( )
A ． a < 0 B ．不等式bx+ c > 0 的解集是{x | x < -6}
C ． a + b + c < 0 D ． cx2 -bx + a < 0 的解集为(-∞, - ) ( , +∞)
【答案】BCD
10 ．若a > 0 ，b > 0 ， a + b = 2 ，则下列不等式恒成立的是( )
A ． ab ≥ 1 B ． a2 + b2 ≥ 2 C ． + ≤ D 【答案】BD
11 ．已知集合 A = {x | x = 3m ,m ∈ N*} ，B = {x | x = 3m + 1,m ∈ N*} ， C = {x | x = 3m +2, m ∈N*} ，若a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C ，则下列结论中不可能成立的是( )
A ． 2025 = a + b + c B ． 2025 = abc
C ． 2025 = a + bc D ． 2025 = a (b+ c)
【答案】BC
【解】 : 集合 A = {x | x = 3m, m ∈ N*} ， B = {x | x = 3m + 1, m ∈ N*}，
*
EQ \* jc3 \* hps22 \\al(\s\up 8(C =),设a)
选项 A： :a + b + c = 3m1 + 3m2 +1+ 3m3 + 2 = 3(m1 + m2 + m3 +1) ，结果是 3 的倍数，
: 当m1 + m2 + m3 +1 = 675 时，如当m1 = 1, m2 = 2, m3 = 671 时， 2025 = a + b + c ，故 A 可能成立；
选项 B： : abc = 3m1 (3m2 +1)(3m3 + 2) ，结果是 3 的倍数，
又: 2025 = 34 × 52 ， :在2025 的因数中，只有25 ∈ B ， 5 ∈ C ，
显然因数25 和5 不能同时取得， :不存在2025 = abc ，故 B 不可能成立；选项 C： :a + bc = 3m1 + (3m2 +1)(3m3 + 2) = 3(m1 + 3m2m3 + 2m2 + m3 ) + 2 ， :a + bc 除以 3 余 2，而2025 = 3 × 675 是 3 的倍数，
:a + bc 不可能等于 2025， 故 C 不可能成立；
选项 D： :a (b+ c) = 3m1 (3m2 + 3m3 + 3) = 9m1 (m2 + m3 +1) ，结果为 9 的倍数，又:2025 = 9 × 225 ，为 9 的倍数，
: 当m1 (m2 + m3 +1) = 225 时，如当m1 = 1, m2 = 1, m3 = 223 时， 2025 = a (b+ c) ，故 D 可能成立．
三、填空题:本大题共3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12 ．若 ，则b— a = ． 【答案】 2
13.已知关于x 的方程x2 — 2x + m = 0 的两个实数根分别为x1, x2.若xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),1) . xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) + xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),1) + xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) = 7 ，则实数m 的值为 ．
【答案】 —1
14 ．已知x > 0 ， y > 0 满足2x2 y + xy 2 — y — 8x = 0 ，则y + 2x 的最小值为 .
【答案】 3
【解】由2x2 y + xy 2 — y — 8x = 0 知： xy(2x + y) = y + 8x ，而x > 0 ， y > 0
∴ y + 2x 经验证可取等号，
∴ y + 2x ≥ 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13 分）
已知集合A = xI ≤ x < 2} ，B = {x 2a - 1 ≤ x ≤ a + 1}．
（1）若a = ，求A⋂CRB；
（2）若“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
2 2
【解】（1）当a = 1 时，B = x 0 ≤ x ≤ 3 ， 2 分
2
CR B = x x < 0，或x > 3 4 分
则A⋂CRB = x < x < 2} ……………..6 分
（2）因为“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的必要不充分条件，则BA ， 8 分
当B = ⑦ 时，则a + 1 < 2a - 1，即a > 2 ； 9 分
当B ≠ ⑦ 时， ，解得， ≤ a < 1 …………… 分
综上所述，a 的取值范围为[ ，1) (2，+ ∞) …………… 分
16. （15 分）
2025 年成都世界运动会注重环保与可持续发展理念，运动馆决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，运动馆拟安装污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x （单位：平方米）成正比，比例系数为 0.2.预计安装后该企业需缴纳的水费 C （单位：万元）与设备占地面积x 之间的函数关系为
C x > 0) .将该企业的净水设备购置费与需缴水费之和合计为y （单位：万元）.
（1）要使y 不超过 7.2 万元，求设备占地面积x 的取值范围；
（2）设备占地面积x为多少时， y 的值最小.
【解】（1） 由题意得y = 0. 2x ……………..3 分
要满足题意,则y ≤ 7. 2，即0. 2x ，解得： 11 ≤ x ≤ 20 . ……………..7 分
即设备占地面积x 的取值范围为[11 ，20].
y = 0. 2x ………… 13 分
当且仅当x = 15时等号成立.
所以，当设备占地面积为15m2 时， y 的值最小 15 分
17. （15 分）
设命题p ：关于x 的方程x2 + mx + 1 = 0有两个不相等的实数根，命题q ：关于x 的方程4x2 + (4m — 2)x + 1 = 0无实数根．
（1）若q 为真，求实数m 的取值范围；
（2）若p 、 q 有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．
【解】（1）对于命题q ，因关于x 的方程4x2 + (4m — 2 )x +1 = 0 无实数根，所以 Δ = (4m — 2)2 —16 < 0 ，即
因q 为真，故实数 m 的取值范围为( — ， ). ………………6 分
（2）若命题p 为真，因关于 x 的方程x2 +mx +1 = 0有两个不相等的实数根，
所以 Δ , = m2 — 4 > 0 ，即 m < —2 或 m > 2 . 9 分
p 、 q 有且仅有一个为真命题，所以p 、 q 一真一假，
当p 真q 假时， ，即m < — 2或m > 2 ； ………………11 分
当p 假q 真时， ，即 ……………… 13 分
综上所述：实数 m 的取值范围为( — ∞ , — 2)⋃( — ， )⋃(2 ， + ∞). ……………… 15 分
18. （17 分）
已知f (x)= a2 x2 + ax + b(a ≠ 0)
（1）若不等式f(x) ≥ 0的解集为 求实数 a ，b 的值；
（2）在（1）的条件下，解关于 x 的不等式mx2 — (m + a)x + a > 0；
（3）对任意 x > 0,不等式 (x2 —1)f(x)≥ 0 恒成立，求a — 2b的取值范围. 【解】（1）若不等式 a2 x2 + ax + b ≥ 0 的解集为
则方程 a2 x2 + ax + b = 0 的两根为x
所以a = — 3 ，b = — 2 4 分
（2） mx2 — (m — 3)x — 3 > 0 即(x —1)(mx + 3) > 0
①若m = 0 ，则x > 1 ;
②若m > 0 ，则x > 1 或x
③若m < 0 ，
当 — > 1 即 —3 < m < 0 时， 当 — = 1 即m = —3 时，无解;
当 即m < —3 时 x < 1 ; ……………… 10 分
( 3 )
综上所述： m < —3 时，不等式的解集为|( — m ,1, ； m = —3 时，不等式的解集为 ⑦;
—3 < m < 0 时，不等式的解集为 m = 0 时，不等式的解集为(1, + ∞) ；
m > 0 时，不等式的解集为 (1, +∞) . ………………11 分
(3)因为x > 0 ，①当x = 1 时， (x2 —1)(a2x2 + ax + b ) ≥ 0 恒成立；
②当0 < x < 1时， x2 — 1 < 0 ，则需a2x2 + ax + b ≤ 0 ；
③当x > 1 时， x2 —1 > 0 ，则需a2x2 + ax + b ≥ 0 .
设y = a2x2 + ax + b (x > 0, a ≠ 0) ，则 解得a > 0 或a ≤ —1 ， ………… 15 分所以a — 2b = a + 2a2 + 2a = 2a2 + 3a(a > 0，a ≤ —1) ， a — 2b ∈ [—1，+ ∞). …………17 分
19. （17 分）
已知有序数组x = (X1 ，X2 ， … , Xn) ，Y = (y1 ，y2 ， … , yn )，定义d xi — yi x1 — y1 x2 — yxn — yn
（1）当 n = 3 ，x = (1 ，2 ，3)时，若 {y1,y2,y3 }= {1,2,3}，求d(x ，Y)的所有可能值；
（2）当 n ∈ N* ，x = (1 ，2 ， … , n)时，若 {y1,y2 ,. . .，yn }= {1,2,. . .，n}，试判断d (X, Y) 是奇数还是偶数，并证明你的结论；
（3）设An = {(a1 ，a2 ， … , an)lai ∈ {0 ，1} ，i ∈ N*} ，若x1 ，x2 ， … , x25 ∈ A2025 ，当1 ≤ i < j ≤ 25且 Xi ≠ Xj时，求所有d(xi ，xj) 之和的最大值.
【解】（1）当 Y = (1, 2, 3) 时， d (X, Y) = 1 —1 + 2 — 2 + 3 — 3 = 0 ；当Y = (1, 3, 2) 时， d (X, Y) = 1 —1 + 3 — 2 + 2 — 3 = 2 ；
当Y = (2,1, 3) 时， d (X, Y) = 2 —1 + 1 — 2 + 3 — 3 = 2 ；
当Y = (2, 3,1) 时， d (X, Y) = 2 —1 + 3 — 2 + 1 — 3 = 4 ；
当Y = (3, 2,1) 时， d (X, Y) = 3 —1 + 2 — 2 + 1 — 3 = 4 ；当Y = (3,1, 2) 时， d (X, Y) = 3 —1 + 1 — 2 + 2 — 3 = 4 .综上可知， d (X, Y) 的值为 0 ，2 ，4. 5 分
(2) d (X, Y) 是偶数. ………………7 分
证明： yi, i 均为正整数，定义di = yi — i ，因为 yi i 均为1, 2,3, … , n 的和，则当 yi ≥ i 时， yi — i = yi — i ；当 yi < i 时， yi — i = — (yi — i) ；
故 di 与di 具有相同的奇偶性， d yi — idi
故 di 和 di 除以 2 的余数相同，而 di = 0 ，
故 di 必为偶数， d (X, Y) 是偶数. ………………11 分
（3）设 Am = (am ,1, am ,2, … , am ,2025 )(m = 1, 2,…, 25) ，构造数阵：
a a a a…
1,1 1,2 1,3 1,2025
a a a a…
2,1 2,2 2,3 2,2025
a a a a…
3,1 3,2 3,3 3,2025
…
a a a a…
25,1 25,2 25,3 25,2025
设第k 列共有x 个1, 25 — x 个0(0 ≤ x ≤ 25, x为整数) ，则此列 25 个数两两之差的绝对值之和为
x (25 — x 当且仅当x = 25 — x, x = 12.5, 因为x 为整数,所以x = 12或13 ，即每列有 13 个 1 ，12个 0 或 13 个 0 ，12 个 1 时，取到最值.如构造数组：前 12 个有序数组第 i 个数组只在第 i 位是 1，其余为 0，后 12个数组和前 12 个数组构成相反，最后一组全为 0 可取到最值.故各列 25 个数两两之差的绝对值之和都不大于
13 × 12 = 156 ，所有d(xi ，xj) 之和的最大值为2025× 156 = 315900 . …… 17 分