2025_2026学年32.锐角三角函数——初中数学中考一轮分层训练中考一轮复习 [含解析]

这是一份2025_2026学年32.锐角三角函数——初中数学中考一轮分层训练中考一轮复习 [含解析]，共4页。试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
1．下列选项正确的是（ ）
A．a5+a5=a10B．4=±2C．2−2=−4D．2sin30°＝1
2．已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4，则sinA的值为（ ）
A．34B．35C．45D．43
3． 在Rt△ABC中，∠B=90°，已知AB=3，BC=4，则tanA的值为（ ）
A．45B．35C．43D．34
4．如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则sin∠ABC的大小是（ ）
A．5B．2C．12D．55
5． Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2BC，下列结论：①sinA=12;②csB=55;③tanA=12;④tanB=255，其中结论正确的是( )
A．②③B．②④C．①③D．①④
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为 .
7．计算：(13)−1−2cs30°+|−3|−(4−π)0= ．
8．深圳某科技园区试点无人机外卖配送。无人机从外卖柜正上方A 点，垂直上升至距地面30米的P 点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点。若地面引导员在 C 点测得无人机悬停点 P 的仰角为 37∘（参考数据：sin37°≈0.60， cs37°≈0.80， tan37°≈0.75) ， 则无人机从 P 点水平飞抵 B 点距离PB约为 米.
9．计算： −12026+27+∣2−3∣−2tan60∘.
10．计算：2sin60°−9+−12−2+1−π0．
11．如图，A点、B点分别表示小岛和海岸码头的位置，离B 点正东方向的 7km 处有海岸瞭望塔C，现测得A 点分别在B点的北偏东53°、在C点的东北方向处，求小岛A到海岸线BC的距离.(参考数据： sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75)
12．某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE=6m，求雕像AB的高度．（结果保留根号）
二、能力题
13．如图，把一个长方形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=37°，则BC的长为（参考数据：tan37°≈34）（ ）
A．154B．4C．5D．203
14． 老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．CH的长，∠EDH的度数B．AB的长，∠ECH的度数
C．CH的长，∠ECH,∠EDH的度数D．AB的长，∠ECH,∠EDH的度数
15．如图，从点C观测点D的仰角是（ ）
A．∠DABB．∠DCEC．∠DCAD．∠ADC
16．为了方便学生在校午休，某学校购入了一批可调节椅背且配备可折叠脚踏板的桌椅．若午休时椅背与椅座间的倾斜角∠A'BD达到150°，脚踏板DF拉起后与椅座BD在一条直线上，测量得到AB=60cm，BD=40cm，DF=40cm，则使用该椅子午休时BD方向的占地长度为 cm．
17．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为 ．
18．如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么∠APB的度数为 °.
19． 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2．在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM=AN．分别以M，N为圆心、以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F．作射线AF交BC于点D，则点D到AC的距离为 ．
20．如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ ．
21．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i=1:3，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求D到BC的距离．
（2）求古塔AB的高度（结果保留根）．
22． 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cs2A＝1；
（2）若sinA=13，求csA的值．
三、拓展题
23．“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
（参考数据：sin32°≈1732,cs32°≈1720,tan32°≈58,sin42°≈2740,cs42°≈34,tan42°≈910）
24．天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25'37.43''≈100.00，10089°22'38.09''≈92.00，sin89°25'37.43''≈040.99995，sin89°22'38.09''≈0.99994，cs89°25'37.43''≈0.00999，cs89°22'38.09''≈0.01087）
25．某校数学活动小组在老师指导下，进行了一次项目式学习：
答案解析部分
1．【正确答案】D
解：A．a5+a5=2a5，故不正确；
B．4=2，故不正确；
C．2−2=14，故不正确；
D．2sin30°=2×12=1，正确；
故选D．
【分析】根据合并同类项，算术平方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值逐项进行判断即可求出答案.
2．【正确答案】C
解：由勾股定理，得 ：AB=AC2+BC2=32+42=5，
∴sinA=BCAB=45.
故C。
【分析】首先根据勾股定理求得AB=AC2+BC2=32+42=5，再根据正弦的定义即可得出sinA=BCAB=45.
3．【正确答案】C
解：∵AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴tanA=BCAB=43，
故C
【分析】根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
4．【正确答案】D
解：由题意可得：
AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=42+32=25
∴AC2+AB2=BC2
∴∠BAC=90°
∴sin∠ABC=ACBC=55
故D
【分析】根据勾股定理可得AC，BC，AB，再根据勾股定理逆定理可得∠BAC=90°，再根据正弦定义即可求出答案.
5．【正确答案】A
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，
设BC=x，则AC=2x，
∴AB=AC2+BC2=5x，
∴sinA=BCAB=x5x=55，故结论①错误；
csB=BCAB=x5x=55，故结论②正确；
tanA=BCAC=x2x=12，故结论③正确；
tanB=ACBC=2xx=2，故结论④错误．
综上所述：正确的结论是②③．
故选：A．
【分析】设BC=x，则AC=2x，根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义解答．
6．【正确答案】（32，32）
解：如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到OA1，过A1作A1B⊥x轴于点B，则∠A1BO=90°，
∵点A的坐标为(6，0).
∴OA =6，
由题意得，OA=OA1=6，∠AOA1 =45°，
∴ OB =OA cs45°=32，A1B =OA1 sin45° =32，
∴点A对应点的坐标为（32，32） .
故（32，32）.
【分析】先画出旋转后的图形，根据旋转的性质可得OA=OA1=6，∠AOA1 =45°，即可解45°的直角三角形得到 OB，A1B的值，解答即可.
7．【正确答案】2
解：(13)−1−2cs30°+|−3|−(4−π)0
=3−3+3−1
=2
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
8．【正确答案】42
解：由题意可得：
PB∥AC，BC=30，BC⊥PB
∴∠P=∠ACP=37°
∴tan37°=BCPB=0.7
∴PB=42
故42
【分析】由题意可得PB∥AC，BC=30，BC⊥PB，根据直线平行性质可得∠P=∠ACP=37°，解直角三角形即可求出答案.
9．【正确答案】解：原式= =1+33+2−3−2×3
=3
【分析】根据有理数的乘方，二次根式，绝对值性质，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
10．【正确答案】解：原式=2sin60°−9+−12−2+1−π0
=2×32−3+4+1
=3−3+4+1
=3+2．
【分析】首先计算特殊角的三角函数值、算术平方根、负整数指数幂和零指数幂，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
11．【正确答案】解：过点A作AD⊥BC， 垂足为D，AD 即点A到 BC 的距离，
设AD=x，
∵∠ACD=45∘
∴∠CAD=90∘−∠ACD=45∘
∴CD=AD=x.
由 ADBD=tan∠ABD=tan37∘得
x7+x≈0.75
x≈21
∴小岛与BC的距离大约为21千米
【分析】构造直角三角形，利用公共边AD表示出BD，CD的长度，建立方程求解。
12．【正确答案】解：根据题意可知，DE=6m，∠ACD=60°，∠AED=30°，∠BCD=45°，
在Rt△ADE中，AD=DE·∠AED=DE·tan30°=6×33=23，
在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠ACD=30°，∴CD=AD·tan∠DAC=AD·tan30°=23×33=2，
在Rt△BDC中，tan∠BCD=tan45°=BDCD=1，
∴BD=CD=2，
∴AB=AD+BD=23+2.
【分析】利用特殊角的三角函数值，分别求出AD、CD、BD，进而即可得出答案.
13．【正确答案】C
解：如图：分别过B,D作BE⊥l,DF⊥l垂线垂直于l，
∵α+∠DAF=180°−∠BAD=180°−90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=α=37°．
根据题意，得DF=4
在Rt△ADF中，tan∠ADF=AFFD=tanα=34，
∴AF4=34，解得：AF=4，
∴AD=AF2+FD2=5，
∵长方形卡片ABCD，
∴BC=AD=5．
故C．
【分析】分别过B,D作BE⊥l,DF⊥l垂线垂直于l，首先可根据余角的性质得出∠ADF=α=37°，再根据正切定义得出AF的长，进而根据勾股定理可得出AD的长，再根据矩形的性质得出BC=AD即可。
14．【正确答案】D
解：由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5
在Rt△ECH中，∠AHC=90°，tan∠ECH=EHCH
∴CH=EHtan∠ECH
在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tan∠EDH=EHCH
∴DH=EHtan∠EDH
∵CD=DH-CH
∴EHtan∠EDH−EHtan∠ECH=AB
∴EH=AB·tan∠ECH·tan∠EDHtan∠ECH−tan∠EDH
∴EF=EH+FH=AB·tan∠ECH·tan∠EDHtan∠ECH−tan∠EDH×3.5
故D
【分析】由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5，根据正切定义可得CH=EHtan∠ECH，DH=EHtan∠EDH，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．【正确答案】B
解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，
∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，
故B．
【分析】根据仰角的定义，可得从点C观测点D的仰角是∠DCE，即可解答.
16．【正确答案】80+303
解：如图，过点A'作A'H⊥BD，交DB的延长线于H，
∵∠A'BD=150°，
∴∠A'BH=30°，
在Rt△A'BH中，
∠A'BH=30°，A'B=60cm，
则BH=AB⋅cs∠A'BH=60×32=303cm，
∴BD=303+40+40=80+303cm，
故80+303．
【分析】
过点A'作A'H⊥BD，交DB的延长线于H，根据余弦的定义求出BH，根据题意计算得到答案．
17．【正确答案】43
解：过点B作BD⊥AC于点D
由图可得：AD=3，BD=4
∴tan∠BAC=BDAD=43
故43
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由图可得：AD=3，BD=4，再根据正切定义即可求出答案.
18．【正确答案】60
解：由题意得∠B=30°，
∴∠APB=90°-30°=60°，
故60
【分析】根据俯角结合平行线的性质即可得到∠B的度数，进而根据三角形内角和定理即可求解。
19．【正确答案】233​​​​​​​
解：作DG⊥AC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，
由题意可知：AD平分∠BAC，
∵∠ABC=90°
∴DG=DB，
Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠BAD=12∠BAC=30°
∵AB=2
∴DB=AB·tan∠BAD=233
∴DG=DB=233
故233.
【分析】作DG⊥AC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，由题意可知AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到DG=DB，再利用30° 角的正切计算即可解答.
20．【正确答案】49
解：
如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得： AD=BC=CD=9cm,∠D=90∘， AD‖BC,AN‖FG,
设 DN=xcm,则
CN=CD−DN=9−xcm,
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 9−xcm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为 xcm的长方体的体积的一半之和，
∴9×99−x+12×9×9x=9×9×7,
解得 x=4,
即 DN=4cm,
∵AN‖FG,
∴∠AEF=∠F=α,
∵AD‖BC,
∴∠DAN=∠AEF=α,
∴tanα=tan∠DAN=DNAD=49,
故49.
【分析】延长AN，交直线BC于点E， 设. DN=xcm,则 CN=CD−DN=9−xcm,先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得 ∠DAN=∠AEF=α,然后根据正切的定义计算即可得.
21．【正确答案】（1）解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∵斜坡CE的斜面坡度i=1:3，
tan∠DCF=DFFC=13=33
∴∠DCF=30°
DF=12CD=12×20=10
答：D到BC的距离是10m
（2）解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H．
由题意得，AB⊥BM，
AB⊥DH，
∴DH∥MB
由（1）知：
∠DCF=30°
∠HDC=30°
∠MDC=180°-2×30°=120°
∴∠DMC=180°-120°-30°=30°
∴△DCM是等腰三角形
FC2=DC2−DF2=300
FC=103
MC=2FC=203
MB=MC+BC=30+203
AB=BM×tan∠AMB=(30+203)×33
∴AB=103+20
答：古塔AB的高度103+20m．
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
（1）过点D作DF⊥BC，DF就是D到BC的距离。根据斜坡CE的斜面坡度i=DFCF=1:3，求出∠DCF=30°，解Rt△DFC，求出DF，也就是D到BC的距离.
（2）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，延长AD、BC，相交于M，先证△DCM是等腰三角形，继而求出∠DMC，求出MC，BM，解Rt△AMB，求出AB，也就是古塔的高度。
22．【正确答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，sinA=ac，csA=bc，
∴sin2A+cs2A＝（ac）2+（bc）2=a2c2+b2c2=a2+b2c2=c2c2=1；
（2）解：∵sin2A+cs2A＝1，
∴19+cs2A＝1，
∴cs2A=89，
∴csA=223或csA=−223（舍去），
即csA的值为223．
【分析】（1）由勾股定理可得a2+b2=c2，由锐角三角函数可知：sinA=ac，csA=bc，然后进行计算即可；
（2）根据（1）的结论进行计算即可.
23．【正确答案】解：过点E作EH⊥AG于H，如图所示，
∴四边形CDHE是矩形，
∴DH=CE=1m，EH=CD=1.8m，
在Rt△CDF中，∠CDF=90°，∠CFD=42°，
∴DF=CDtan∠CFD=1.8tan42°≈1.8910=2m，
在Rt△EHG中，∠EHG=90°，∠EGH=32°，
∴HG=EHtan∠EGH=1.8tan32°≈1.858=2.88m，
∴FG=DH+HG−DF=2.88+1−2=1.88m，
答：调整后的滑梯会多占1.88m的一段地面．
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，需要用到矩形的性质与判定、正切值等相关知识。
首先过点E作EH⊥AG于H，则四边形CDHE是矩形，利用矩形的对边相等得出DH=CE=1m，EH=CD=1.8m，此时可以放到Rt△CDF和Rt△EHG，利用正切值计算出DF和HG的长，最后即可计算出FG的长度。
24．【正确答案】解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43''，
∴BH=PHtan∠ABP=xtan89°25'37.43″≈x100，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09''，
∴AH=PHtan∠BAP=xtan89°22'38.09″≈x92，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴x100+x92=0.8，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【分析】分析题意设PH＝x万千米，在Rt△PHB中利用正切的定义表示出BH；在Rt△PHA中利用正切的定义表示出AH；再利用AH+BH＝AB≈0.8建立方程，计算即可解答.
25．【正确答案】解：如图，延长DA交NM于点E，
则DE⊥NM，
∵DE∥MC，EM⊥MC，AB⊥MC，CD⊥MC，
∴四边形ABCD与四边形CDEM都是矩形，
∵BC=6，AB=CD=1.5，
∴AD=BC=6，EM=AB=CD=1.5，
设AE=xm，
在Rt△ANE中，NE=AE⋅tan∠NAF=x⋅tan61°=1.8x，
在Rt△DNE中，NE=AE+AD⋅tan∠NDF=x+6×tan45°=x+6，
∴1.8x=x+6，
解得：x=152，
∴NE=1.8×152≈13.5，
∴NM=NE+EM=13.5+1.5≈15，
∴该观光塔的高度约为15米．
【分析】延长DA交NM于点E，先证明四边形ABCD与四边形CDEM都是矩形，根据矩形的选择得AD=BC=6，EM=AB=CD=1.5，然后设AE=xm，在Rt△ANE和Rt△DNE中，解直角三角形分别求出NE=1.8x，NE=x+6，列出方程并解之，最后求出NM=NE+EM的值即可.方案名称
滑梯安全改造
测量工具
测角仪、皮尺等
方案设计
如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE=1m，并将原来的滑梯CF改为EG，（图中所有点均在同一平面内，点B,C,E在同一直线上，点A,D,F,G在同一直线上）
测量数据
【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD=1.8m；
【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD=42°；
【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD=32°．
解决问题
调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）
问题
月球与地球之间的距离约为多少？
工具
天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明
为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据
AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43''，∠BAP＝89°22'38.09''．
项目主题
测量观光塔的高度
参与人员
数学活动小组成员
测量工具
皮尺、测角仪、计算器
数据记录
测量方案设计图
活动过程
步骤1
从B点测得塔顶N的仰角∠NAF
∠NAF=61°
步骤2
从B点后退到C点（M、B、C共线）
BC=6m
步骤3
从C点测得塔顶N的仰角∠NDF
∠NDF=45°
步骤4
测角仪离水平地面的高度
AB=CD=1.5m
问题解决
求观光塔的高度MN（运用计算器可得：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）