2025年西藏自治区中考真题数学试卷（含解析）

这是一份2025年西藏自治区中考真题数学试卷（含解析），共4页。
1．全卷共8页，三大题，满分120分，考试时间 120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，不选、错选或多选均不得分．
1. 18的绝对值是（ ）
A. 18B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】该题考查了绝对值，根据一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，求解即可．
【详解】解：18的绝对值是18，
故选：A．
2. 下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A. 田B. 忌C. 赛D. 马
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形）依次对各选项逐一判断，据此解答即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
3. 截至2024年，西藏自治区图书馆的藏书量已超过500000册．数据500000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．作此题时，要表示为的形式，其中，n为整数，在确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数．
根据，即可得到答案．
【详解】解：．
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法，熟练掌握幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法的运算法则是解题的关键．
分别运用幂的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法计算，即可判断．
【详解】解：A、，错误，该选项不符合题意；
B、，错误，该选项不符合题意；
C、，错误，该选项不符合题意；
D、，正确，该选项符合题意；
故选：D．
5. 如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形的外角性质，得：，
∴．
故选：C．
6. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
，
，
故选：D．
7. 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵直径，
∴，
∴的长为．
故选：C．
8. 一个三角形花坛面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可．
【详解】解：由题意得，
∴a与h的函数关系式为，
∴此函数是一个以为自变量的反比例函数，
边上的高为，
∴，
故选：B．
9. 观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案．
【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是，
小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9，
∴第n个数小数部分是，
∴第n个数是，
故选：A．
10. 如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
由折叠的性质易知，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
∵E为边的中点，
∴．
设，则，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 分解因式：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋50双，各种尺码的销售量如表所示：
根据上述信息，在鞋的尺码组成的数据中，众数是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查众数的意义，熟练掌握众数的求法是解题关键．根据众数的意义解答即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【详解】解：观察数据可得：23.5出现的次数最多，出现了次，
∴众数是23.5．
故答案为：23.5．
13. 如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴,
即．
故答案为：2．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标．
方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错．
首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标．
【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G，
根据题意得平分，，
∴，
∵，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F的坐标为．
故答案为：．
解法二：解：∵，，设直线的解析式为：,
∴，
解得：，
直线的解析式为：,
是的角平分线，，
所在直线的解析式为．
联立方程组：
将代入中，得到：
，
解得．
，
．
所以，直线与的交点F的坐标为．
故答案为：．
15. 如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将绕点A顺时针方向旋转的点，此时证明和全等后找到对应的线段，的最小值即为点B，，P，D四点共线时，线段的长度即为所求．
【详解】如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，，
由题意知，在菱形中，，，
∴和为等边三角形，
∵，
∴，
和中，
，
∴，
∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小，
此时最小值的长度为．
故答案为：．
三、解答题：本大题共10小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零次幂，平方根等，解题的关键是熟练掌握各运算法则．利用特殊角的三角函数值，零次幂，平方根的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
17. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】解：
两边同乘以，得，
去括号，得，
移项并合并同类项，得，
解得，
检验：当时，，
故原分式方程的解是．
18. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，在数轴上表示见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解为．
在数轴上表示为：
19. 如图，，．求证：．
【答案】证明见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等．
【详解】证明：在和中，
，
∴．
20. 某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：
A：；B：；C：；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？
（3）已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）60，频数分布直方图见详解
（2）1200人 （3）
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图．
（1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出组的人数，将频数分布直方图补充完整即可；
（2）由该校学生总人数乘以每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生所占的百分比即可．
（3）画树状图，共有 6 种等可能结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，再由概率公式求解即可；
【小问1详解】
解：本次调查的样本容量是：，
则组的人数，
将频数分布直方图补充完整如下：
【小问2详解】
解：（人），
该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人．
【小问3详解】
解：画树状图如图：
共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为，
故答案为：．
21. 用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用，，的特殊直角三角形拼接图形计算面积及勾股定理，需熟练掌握相关的知识点是解此题的关键．通过理解，，的特殊直角三角形的性质，并根据已知条件通过勾股定理求出对应的边长后再分别将两个三角形的面积求出之后即可得出四边形的面积．
【详解】解：由题意知，是底角为的等腰直角三角形，是带角的直角三角形，
∴，，，
∵，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴
，
即四边形的面积为．
22. 如图，是的直径，点C在上，，过点C的切线交的延长线于点D．求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、“等角对等边”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接，则，因为，所以是等边三角形，则，所以，由切线的性质得，则，所以，即可证明．
【详解】证明：连接，则，
，
∴是等边三角形，
，
，
∵与相切于点，交的延长线于点，
，
，
，
，
．
23. 如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）已知，，求线段的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由等腰三角形的判定求得，进而由菱形的判定定理得结论；
（2）根据（1）可得，，证明，再根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形；
【小问2详解】
解：∵，
根据（1）可得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
该题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
24. 2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）列方程（组）解应用题
若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？
（2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？
【答案】（1）生产甲、乙两款服装分别为件，件；
（2）生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润．
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可；
（2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可．
【小问1详解】
解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件，
根据题意得，
解得：，
答：生产甲、乙两款服装分别为件，件；
【小问2详解】
解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，
根据题意得，
解得，
设获得的总利润为元，
∴，
∵，且为正整数，
∴当时，最大利润为（元），
则（件），
答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润．
25. 已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点．
（1）当时，求抛物线的解析式；
（2）如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式；
（3）要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）；
（4）如图2，，当为何值时，长度等于1？
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定；
（1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案；
（2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解．
（3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解；
（4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，二次函数的图象与轴交于，
∴设二次函数的交点式为，
，，
∴，
解得，
∴函数解析式为；
【小问2详解】
解：对于二次函数，
令，可得，则点的坐标为，则
∵，
∴，
∵
∴，
如图，作的角平分线交轴于点，则，
∴，
设到的距离为，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，则，
∴．
∴．
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式．
【小问3详解】
解：当时，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，则重合，重合，
又∵是第四象限的点，
∴当时，则，．
∴要使得成立， 的取值范围为；
【小问4详解】
解：∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
在中，．
如图所示，取．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
尺码
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
2
4
7
19
10
6
2
款式
成本（元/件）
售价（元/件）
甲
700
1000
乙
800
1200