广东汕头市潮阳区2025-2026学年高一上册期末质检数学试卷（含答案）

这是一份广东汕头市潮阳区2025-2026学年高一上册期末质检数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了 函数的定义域为， 设，，，则， 设函数，则下列结论正确的是， 已知关于的不等式的解集为，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应答题区域内；写在本试卷上无效.
第I卷选择题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用集合的交集定义求解即得.
【详解】由题意，.
故选：B.
2. 已知幂函数的图象过点，则的值为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用幂函数的定义运算即可得解.
【详解】解：由题意设，是常数，
∵函数图象过点，即，
∴解得，则.
∴.
故选：A.
3. 已知角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则的值为（）
A. B. 1C. D.
【正确答案】C
【分析】根据根据三角函数定义计算即可．
【详解】因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，
所以.
故选：C.
4. 已知扇形的半径为4cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度数为（）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【正确答案】A
【分析】直接根据扇形的面积公式为，然后代入数据解得即可
【详解】扇形的面积公式为：（为扇形圆心角的弧度数）
则有：
解得：
故答案选：
5. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据根式，分式以及对数的性质即可列不等式求解.
【详解】的定义域满足，解得且，
故定义域为，
故选：D
6. 设，，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】
找中间量0和1进行比较可得结果.
【详解】，，，
所以.
故选：A.
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.
7. 命题“，使”是假命题必要不充分条件是（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先根据命题为假命题求出的范围，再根据选项和必要不充分条件的判断确定答案.
【详解】∵“，使”是假命题，
即“，”是真命题，
∴，∴.
即命题“，使”是假命题等价于，
设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：，
则命题，而不能，
∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求.
∴选项B正确.
8. 已知函数的定义域为，都有，函数，且为奇函数，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据函数为奇函数，得到，然后结合题意，根据函数的单调性求解；
【详解】解析：因为为奇函数，
所以，即，
所以，所以，
所以等价于
又因为，都有
所以函数在上单调递减，
所以，
解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设函数，则下列结论正确的是（）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为D. 的最大值为2
【正确答案】ABD
【详解】对于选项A：函数最小正周期为，故A正确；
对于选项BD：因为为最大值，
可知的图象关于直线对称，故B正确，D正确；
对于选项C：因，
所以不为的零点，故C错误.
10. 已知关于的不等式的解集为，则（）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
【正确答案】BD
【分析】一元二次不等式的解的端点即为对应的一元二次方程的解，再根据开口确定的正负.
【详解】因为的解集为，
所以，解得，所以A错误；
对于B：将代入可得，解得，B正确；
对于C：不等式的解集为，
所以时，C错误；
对于D：将代入可得，即，
解得，D正确，
故选：BD
11. 已知函数，，则下列结论正确的是（）
A. 函数的零点为
B. 若有四个零点，则的取值范围为
C. 不等式的解集为
D. 若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是.
【正确答案】BCD
【分析】根据零点定义计算判断A，根据分段函数图象数形结合判断B，分，两种情况计算不等式判断C，分类讨论函数零点判断D.
【详解】A．因为，所以，所以函数的零点为，所以A错误；
B．函数，，
若有四个零点，则与有四个交点，由的图象知，B正确；
C.，当，所以，
当，，即得，所以，所以C正确；
D．令，的对称轴为，
则实根的个数即为函数与函数图象交点个数，
当时，函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1，
即，函数与函数有2个交点，且2个交点关于对称，
则方程有两根，且两根和为2，不符合题意；
当时，函数与函数图象有2个交点，，
时，可得或，
时，，可得，，，
即函数与函数的图象有5个交点，
则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意；
当时，函数与函数的图象有2个交点，
即函数与函数的图象有2个交点，分别为，
即，或，，
当时，函数与函数无交点，不符合题意；
当时，函数与函数有4个交点，且关于对称，所以4个交点横坐标之和为4，
则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意，
综上，实数的取值范围是，D正确 .
第II卷非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是奇函数，且当时，，则＝________
【正确答案】
【详解】因为是奇函数，且当时，，
所以.
13. 已知正数x、y满足，则的最小值是___________
【正确答案】18
【详解】试题分析：
考点：均值不等式求最值
14. 已知函数，若对于任意的实数，均存在以为三边边长的三角形，则的取值范围是____________.
【正确答案】
【分析】
题目条件可转化为，然后分四种情况讨论，分别求出的最值，即可解出的范围
【详解】因为对于任意的实数，均存在以
为三边边长的三角形，
所以对于任意的实数，都有
所以有
当时在上单调递减，在上单调
递增，易得
当且时
当且时
①当且即时
，满足
②当且即时
所以，得
所以
③当且即时
，满足
④当且即时
所以，得
所以
综上：的取值范围是
故
本题考查的是函数的恒成立问题，把题目条件等价转化是解题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算下列式子的值(请务必书写必要的计算步骤)
（1）
（2）
【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）原式=
（2）原式
16. （1）已知为第二象限角且，求，及的值；
（2）若，求的值
【正确答案】（1），，；（2）
【分析】（1）应用同角三角函数关系结合角的象限角判断正负，再应用诱导公式计算求解；
（2）应用同角三角函数关系结合角的范围计算求解.
【详解】（1）∵∴，
∵为第二象限角，∴，
故，
得到；
（2）由题意得，
，，
又，则，
且 ,
则，，
故.
17. 已知定义在上的函数为奇函数．
（1）求a的值；
（2）用定义证明：为增函数
（3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析（3）
【分析】（1）由奇偶性有求参数值，注意验证即可；
（2）根据函数单调性的定义，应用作差法比较大小判断单调性；
（3）利用指对数函数的性质及换元法确定的值域，再将问题化为值域的包含关系求参数范围.
【小问1详解】
是奇函数，
，即，解得
经检验时函数为奇函数，
；
【小问2详解】
，任取，，则，
由，
∴，故是增函数.
【小问3详解】
由（2）得在单调递增，
当时，，当时，，
∴在上的值域为，
又，，
设，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上的值域，
由对任意的，总存在，使得成立，得，
于是，解得，
所以实数的取值范围是.
18. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
（1）当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【正确答案】（1）选择模型，其解析式为
（2）在国道上行驶速度为，在高速路上的行驶速度为，最少为
【分析】（1）根据特值代入验证和函数的单调性，结合表格即可判断；
（2）根据国道路段和高速路段所用时间列式，利用函数单调性分别求出最小值再相加即得.
【小问1详解】
对于,因不合题意，舍去；
对于为递减函数，这与表格中不符，舍去；
故选择.
根据提供的数据，有解得
所以当时，.
【小问2详解】
国道路段长为50km，所用时间为，
所耗电量为，
因为，当时，；
高速路段长为100km，所用时间为，
所耗电量为
下证函数在单调递减.
任取，且，
,
,故,
即,,故在单调递减,
，此时，,
故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，
该车从地到地的总耗电量最少，最少为.
19. 已知函数的定义域均为．定义：①若不存在实数，使得，则称与关于“维交换”；②若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”；
（1）分析函数与关于“维交换”中的值，并说明理由；
（2）设函数与关于“维交换”，求的取值范围；
（3）设，若与关于“3维交换”，求实数的值．
【正确答案】（1），理由见解析
（2）
（3）
【分析】（1）与关于是“0维交换”，由新定义进行验证；
（2）由题意可知，方程有两个互不相同的实数根，随后通过换元构造一元二次方程，将问题转为一元二次方程的根的个数问题.
（3）由题意知，令，即在上有三个零点，显然是的零点，时不符合题意，所以，再就分类讨论后可求的值.
【小问1详解】
函数 与 关于 为 0 维交换,即 ,理由如下:
由题意可得,,.
令 ,即 ,展开整理得 .
其判别式 ,
因此方程 无实数解,即不存在实数 使得 .
根据定义, 与 关于 为 0 维交换,故 .
【小问2详解】
依题意,方程有两个互不相同的实数根.
因为,,所以方程有两个不同的实数根.
令,且函数在实数域上为单调函数,方程可化为.
该关于的一元二次方程需有两个不相等的正实数根.
所以判别式,且两根之和,解得.
因此实数的取值范围是.
【小问3详解】
令，依题意，函数在R上有3个零点，
若，则，此时仅有两个零点、，不合题意，舍；
又，即是函数的零点，
在有两个不同的零点.
当时，
若，则，，即函数在时无零点，
若，则在上单调递增，
，时，，
故函数在上只有1个零点，不符合题意，
因此，此时，
当时，，对称轴，
故当即时，在有一个零点，
此时时，，，，
故在上有一个零点，
而时，，对称轴，，
故此时恒成立，故在上无零点，故符合；
当即，，时，，
故在有两个不同的零点，
而，，在上有一个零点，
故在上已有3个不同的零点，不合题意，舍；
当即时，在无零点，
若，当时，，
因为两根之积，此时在上有且只有一个解，
而时，，
此时对称轴，，而，故上无零点，
故此时在有且只有一个零点，舍；
若，则，
此时在上有且只有一个零点，舍；
若，当时，，
因为且，此时在上为减函数，故，
此时在上无零点；
当时，，，，
故在上有且只有一个零点，
故此时在有且只有一个零点，舍；
综上，即当与关于“3维交换”时.0
10
40
60
0
1325
4400
7200