福建武夷山市第二中学2025-2026学年高一下册3月月考数学卷（含答案）

这是一份福建武夷山市第二中学2025-2026学年高一下册3月月考数学卷（含答案），共29页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上；， 已知向量，，则， 在中，，，则， 已知向量，若与垂直，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2.请将答案正确填写在答题卡上；
一、单选题
1. 已知复数，为虚数单位，则共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】直接写出共轭复数即可.
【详解】因为复数，所以共轭复数.
2. 化简：等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】.
3. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. 3D.
【正确答案】D
【详解】．
4. 3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如图所示，（小明），（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与同侧的湖岸边一点，测出，的距离为100m，，，计算出，两点的距离为（ ）
A. mB. mC. mD. m
【正确答案】A
【分析】利用正弦定理列方程，由此求得正确答案.
【详解】由正弦定理得，
所以.
5. 已知两个单位向量，互相垂直，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 9
【正确答案】A
【详解】因为向量，都为单位向量且互相垂直，
所以，，，
所以.
6. 已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
【正确答案】C
【分析】根据向量垂直列方程，由此求得，进而确定正确答案.
【详解】因为，所以
，
由于，
所以.
7. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由同角三角函数关系式及正弦定理可得.
【详解】因为，且，所以.
又因为中，，由正弦定理得，
所以.
8. 已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解．
【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则
，，
设，则，，
，
令，则，
，可得.
故选：D．
二、多选题
9. 已知向量，若与垂直，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【正确答案】BC
【分析】利用向量垂直的坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，且与垂直，
所以．
故选：BC
10. （多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABC
【分析】根据题意可得四边形均为平行四边形，结合平面向量加法运算和向量相等的定义逐个选项计算并判断.
【详解】，故A正确；
，故B正确；
，故C正确，
由，故D错误．
故选：ABC.
11. （多选）已知，，，，那么（ ）
A. B. 若，则，
C. 若是中点，则，两点重合D. 若，，三点不重合且共线，则
【正确答案】ACD
【分析】利用向量坐标运算分别对每个选项进行计算或推理：A直接作差验证；B根据平行条件列方程，举反例排除；C由中点条件建立方程组求解；D利用三点共线的向量条件列式讨论，排除重合情形后得到结果.
【详解】因，，，所以，，所以，故A正确；
若，则，当，时也符合，故B错误；
因为，是中点，
所以，
所以解得，所以，，两点重合，故C正确；
若，，三点共线，则存在实数，使得，而，，所以，
所以，且，则或，而时，，此时，重合，所以，
故D正确．
故选：ACD.
三、填空题
12. 若向量满足，，，则_____________.
【正确答案】
【分析】根据向量共线的充要条件列方程（组）可求解.
【详解】因，，，
方法一：所以，解得.
方法二：所以存在非零实数k，使得，即，
所以，解得.
13. 已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是______
【正确答案】
【分析】先求出，再利用投影向量公式求解即可.
【详解】由题意，，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为.
14. 在中，，，面积的最大值为______．
【正确答案】
【详解】由余弦定理可得：，
，.
，当且仅当时等号成立，
，
即面积的最大值为.
四、解答题
15. 设，已知复数，分别求下列条件下的的值
（1）为实数
（2）为纯虚数
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据虚部为零可求答案；
（2）根据实部为零，虚部不为零可求答案.
【小问1详解】
因为为实数，所以，即.
【小问2详解】
因为为纯虚数，所以，解得.
16. 在中，角、、对边分别为、、，已知，，.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用余弦定理计算即可；
（2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可.
【小问1详解】
，
，
，；
小问2详解】
，
.
17. 已知，.
（1）若与同向，求；
（2）若，的夹角为，求.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）首先理解同向向量夹角为，再将相应数据代入数量积公式求解即可；
（2）根据数量积的性质展开求解即可.
【小问1详解】
因为与同向，所以，且与的夹角为.
所以.
【小问2详解】
因为
，
所以.
18. 设，已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线.
（1）求的值；
（2）若，，
①求向量与的夹角的余弦值；
②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标.
【正确答案】（1）
（2）①；②
【分析】（1）由向量的线性运算和平面共线的条件计算；
（2）①由向量夹角的坐标运算求解；②由求点的坐标.
【小问1详解】
由已知得，又，
因为三点共线，所以，即.
【小问2详解】
由已知得，
；
②由平行四边形得，又，
所以，解得，即
19. 在中，内角，，的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题中条件结合正弦定理与余弦定理计算得到结果；
（2）根据题中条件结合正弦定理计算出，利用三角形内角和计算得到结果；
【小问1详解】
由题意可得，
根据正弦定理可得，
所以.
因，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
由（1）得，所以，代入得，
化简得，则，即，
因为，所以
.