2026年春初三年级第一次诊断性测试数学试题-（Word版附解析）

这是一份2026年春初三年级第一次诊断性测试数学试题-（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，四象限，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
4.奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 6
6.如图，四边形内接于，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7.关于x的反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 其图象经过点（1，-2）
B. 其图象位于第二、四象限
C. 若其图象经过（a,a-1），则a=-1
D. 其图象所在的每一个象限内，y随着x的增大而减小
8.如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
9.已知、均为锐角，且满足，则等于（ ）
A. 75°B. 60°C. 45°D. 105°
10.下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，……，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（）
A. 81B. 77C. 75D. 70
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知，则的值是 ．
12.有6张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6.从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是 .
13.如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷.在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m,AB=2m,CD=4m,则点B到CD的距离为 m.
14.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为 ．
15.如图,在ABC中,tanC=,D是边BC上一点,将ACD沿AD翻折得到AED,使线段AE、BC相交于点F,若CF=5,EF=2,则AC= .
16.如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，连接，．给出下面四个结论：；；；．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
17.计算：．
18.解下列方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标．
20.(本小题10分)
我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
(1) 本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
(2) 若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
(3) 学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
21.(本小题10分)
如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上．
(1) 求证：；
(2) 连接，若，，求的长．
22.(本小题10分)
如图，为的直径，C、D为上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于点F．
(1) 求证：为的切线；
(2) 求证：．
23.(本小题10分)
实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图．已知试管，，试管倾斜角为，实验时，导管紧贴水面，延长交于点，且（点，，，在同一直线上），经测得，，，求的长．（结果保留整数）（参考数据：，，）
24.(本小题10分)
材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元．
材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件．
材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售．
(1) 任务一：建立函数模型设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围；
(2) 任务二：设计销售方案
若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？
(3) 销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？
25.(本小题11分)
综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E分别作的垂线，分别交直线于点F，G．
(1) 数学思考：线段和的数量关系 ．
(2) 问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，求的值；
(3) 问题拓展：在（2）的条件下，当点E为的中点时，请直接写出的面积．
26.(本小题11分)
如图1，抛物线过点，点，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点M作直线轴，交x轴于点E，设M 的横坐标为．
(1) 求抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2) 如图2，连接，连接交y轴于点N，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值．
(3) 设函数y在内最大值为p，最小值为q，若，直接写出m的值 ．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】4
12.【答案】
13.【答案】1.8
14.【答案】15
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：
．

18.【答案】【小题1】
解：，
∴，
∴或，
∴，；
【小题2】
解：，
∵，
∴，
∴，．

19.【答案】【小题1】
解：把点代入得，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，
点的坐标为，
把和点代入得，解得
一次函数的解析式为．
综上所述：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
【小题2】
解：设点的坐标为，
，
当点在第四象限时，如图所示：
∵
∴，
解得：（不合题意舍去），
当点在第二象限时，如图所示：
∵
∴，
解得：（不合题意舍去），
综上所述，点的坐标为或．

20.【答案】【小题1】
解：抽取总人数为（名），
等级D的人数为（名），
补全条形统计图如图所示：
【小题2】
解：（名）
答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；
【小题3】
解：树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，
∴P（甲乙两人同时被选中）．

21.【答案】【小题1】
证明：由旋转得，，，且点恰好落在线段上，
∴，
∴，
∴．
【小题2】
解：由旋转的性质可知，
∵，，
∴在中，．

22.【答案】【小题1】
证明：连接，如图所示：
，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
又为的半径，
为的切线；
【小题2】
解：由（1）知，
，
，
，
，
，即，
；

23.【答案】如图，延长、交于，
，，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，，，
则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．

24.【答案】【小题1】
解：由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件，
日销量，
由材料一可得，销售单价不低于元，
由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数．
的取值范围为，且为正整数．
日销售利润，
关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）；
【小题2】
由题意得，当时，即，
整理得，即，
解得，，
，
销售单价应定为元或元，
答：销售单价应定为元或元；
【小题3】
，
且为正整数，
当或时，最大，
当时，（元），
当时，（元），
最大利润为元，
答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元．

25.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
解：∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
∴，
在中，，
，
∴，
∴；
【小题3】
解：过点E作于M，于点N，
∵E为的中点，
，
，，
，
∴，
，
同理：，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，解得：，
．

26.【答案】【小题1】
解：设抛物线的表达式为，
则，
则，解得，
故抛物线的表达式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
【小题2】
解：设点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
则点的坐标为，
设四边形的面积为，
则；
则，
则，
，故有最大值．
当时，的最大值为．
【小题3】
解：∵，，
又∵，
∴当时，y有最大值4，
∵函数y在内最大值为p，最小值为q，
∴，
当时，当时，y值最小，最小值为，
∴，
∵，
∴，
化简整理得：，
解得：，（舍去），
当时，当时，y值最小，最小值为，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去），
综上，m的值为．