2025学年第二学期杭州市高三年级高考二模教学质量检测数学试卷

这是一份2025学年第二学期杭州市高三年级高考二模教学质量检测数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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2025 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试卷参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分.
9. BC10. ACD11. ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
3
12．213．+ 114. 82
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）当 n≥2 时， ＝+1 − 2，两式相减得 a＝2a ，
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
B
A
C
B
D
B
−1＝ − 2，
n＋1n
所以公比 q＝2．5 分
由于{an}为等比数列，所以 a2＝2a1，又 S1＝a1＝a2－2，所以 a1＝2．9 分
（2）由（1）知，an＝2n．
＋
所以 Sn＝an 1－2＝2n＋1－2．13 分
16．（1）因为 P－ABCD 的所有棱长相等，点 M 是棱 PC 的中点，所以 PC⊥DM，PC⊥BM，
又因为 DM∩BM＝M，DM，BM⊂平面 BDM，
所以 PC⊥平面 BDM．5 分
（2）建系如图，则 D(0，0，0)，C(0，2，0)，P(1，1， 2)，设 Q(2，t，0)（0≤t≤2），由（1）知 PC⊥平面 BDM，
则̅̅?̅→＝(1， − 1， 2)为平面 BDM 的法向量．则̅̅̅̅→＝(2，，0)，̅̅?̅̅→＝(1，1， 2)，
设平面??的法向量为 n＝(，，)，则
2
2
̅̅̅̅→ ∙ ＝2＋＝0，
̅̅?̅̅→ ∙ ＝＋＋ 2＝0
，可取 n＝(， − 2，
−
2
)，
32−2＋6
2
→
记平面 PDQ 与平面 BDM 所成角为，则，csθ＝ |∙̅̅?̅→| ＝2．
|||̅̅?̅|
当 t＝2时，csθ取到最大值 3．15 分
32
1
17．（1）平均时间
̅＝ 1
50
2.5 × 20 + 7.5 × 14 + 12.5 × 10 + 17.5 × 6＝7.7；………5 分
−
（2）（i）证明：由题意知，? > ＝1 − ? ≤ ＝
10，
?
? >
分别记已经等待分钟和已经等待 + 分钟为事件 A 和事件 B，则? > + | > ＝? |＝ ?() ＝ ?(>+且>s)
−+
? >
＝ ?(>+) ＝
10 ＝−10＝? > ．10 分
−
10
（ii）由（i）知，
? > 10＝? > 5 + 10 > 5＝? > 10＝1 − ? ≤ 10＝−1，
?0 ≤ ≤ 10＝1 − ? > 10＝1 − −1，
所以费用的期望是 2 × 1 − −1 + 20 × −1＝2 + 18（元）． ………15 分
18. （1）将点 A 代入 y2＝2px 得 p＝2，即Γ：y2＝4x．4 分
（2）（i）过 M 点斜率为 2 的直线 − 2＝2 − 2，
LOA 直线方程＝，
可得 22 − 2，22 − 2 ，
由̅̅̅̅̅→＝̅̅?̅̅→得 ?32 − 4，42 − 6 ．9 分
（ii）所以直线 OP 方程为＝4−6 ，
3−4
＝
4−6
解方程组3−4 ，得 (3−4)2 ，2(3−4)
，11 分
2＝4
(2−3)2
2−3
2
直线 MN： − 2 ＝ 2−3 ( − 2)，
−2
整理得2 − 3＋22 − ＋3 − 2 ＝0，
因此直线 MN 过定点 E(2，3)．15 分
所以点到直线 MN 的最大距离为 10．17 分
2
19．（1）一方面，记 ＝ − sin， ∈ 0， π ．
2
则'()＝1 − cs > 0，故()在 ∈ 0， π
上单调递增，即 > 0＝0．
2
另一方面，记 ＝tan − ， ∈ 0， π ．
2
所以'()＝ 1
cs
− 1 > 0，故()在 ∈ 0， π
2
上单调递增，即 > 0＝0．
综上，sin < < tan， ∈ 0， π
2
成立．………4 分
（2）当 ∈ 0， π
2
时，由（1）知 > sin，故 < tan−
−sin恒成立．
2
πtanπ−π

一方面，取＝
，，则 < π 4 4 ≈ 2.7；
4−sinπ
44
cs2
另一方面，当＝2 时，记ℎ ＝tan + 2sin − 3，则ℎ'＝ 1
+ 2cs − 3.
2
由 csx＞0 知 1＋ 1
cs
+ 2cs ≥ 2
cs
+ 2cs ≥ 4，
所以ℎ' ≥ 0，故ℎ 单调递增. 进而ℎ > ℎ0＝0．
综上，正整数的最大值为 2．………10 分
（3）当 ∈ 0， π
2
时，由（2）tan − > 2 − sin > − sin，
sin2 x
cs x
sin2 x
cs x
即 tan + sin > 2.
则( tan x 
sin x )2  tan x  sin x  2
2x  2， ①
sin2 x
cs x
下证
x ，
sin2 x
f (x)  x 2
cs x
 1 cs2 x 
cs x
2  1  cs x  x 2 ，
x
cs x
则 f '(x) 
sin x  sin x  2x  2 cs2 x
sin x sin x  2x  2 tan x  2x  0 ，
cs2 x
sin2 x
cs x
sin x
x
故' 单调递增. 进而' > 0＝0，故 单调递增. 进而 > 0＝0,即
x ．
tan π
4k
所以结合①可得(
tan x 
sin x )2  4x ，即
tan x  2，
n
所以 (
k 1

n
sin π
4k
)  2
k 1
π 
n

4kk 1
2  ＝ 2 2k
(1  1 ) ． ………17 分
2n