江西省萍乡市2025届高三下学期二模数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（ ）
A. 114B. 115C. 120.5D. 121
【答案】D
【解析】
【分析】根据百分位数公式，即可求解.
【详解】共10个数据，按顺序排列为：114，116，117，117，119，120，120，121，122，123，
，
则第75%分位数是第8个数据121，
故选：D.
2. 过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（ ）
A. 16B. 4C. 21D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆的圆心和半径，再利用切线长定理求解.
【详解】圆的圆心，半径，
则，
所以.
故选：B
3. 已知等差数列满足：，则的公差为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将、代入，求出、值，再由等差数的性质求解即可.
【详解】解：设等差数列的公差为，
由，
可知当时，则有，
当时，则有，
解得，
所以，
解得.
故选：D.
4. 在直三棱柱中，，则直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建系，求得直线方向向量，代入夹角公式求解即可.
【详解】
由条件可如图建系，设，
则,
则,
设直线与所成角为，
所以，
所以，
故选：C
5. 已知点及抛物线上一点，若线段的垂直平分线经过的焦点，则的横坐标为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】设,通过两直线垂直，斜率乘积等于，列出等式求解即可.
【详解】抛物线焦点坐标为，
设，则中点坐标为：，
由线段的垂直平分线经过的焦点，
可得：，
解得：，
所以的横坐标为4，
故选：B
6. 将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有（ ）
A. 720种B. 120种C. 32种D. 30种
【答案】D
【解析】
【分析】根据的取值，进行分级，逐项判断即可.
【详解】六个连续的整数随机排成先递增再递减的单峰序列，封顶必须是最大整数.封顶位置可在第2、3、4、5位，
对于每个，左边需选个数并按升序排列，右边选个数并按降序排列.
当时，左边选1个数，方式有种；
当时，左边选2个数，方式有种；
当时，左边选3个数，方式有种；
当时，左边选4个数，方式有种；
所以.
故选：D.
7. 在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用三角函数的基本关系化简得，再结合余弦定理以及基本不等式知识得，则三角形面积的最大值可求.
【详解】对进行化简，
通分可得，
即，又，解得；
已知，由余弦定理，可得，
根据基本不等式（当且仅当时取等号），
则，可得，
三角形面积，当且仅当时等号成立,
故选：A.
8. 已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，得到，通过换元，，求的最大值即可.
【详解】令，原不等式可化为：
，代入，
化简可得：，
令，得到，
再令，可得：，
由对勾函数的单调性，可知在上单调递减，
所以当时，取得最小值，
所以的最大值为，也即的最大值为，
所以的最大值为，
故选：A
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（ ）
A. B.
C. 集合可能是D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由摩根定律，以及交并补混合运算知识即可求解.
【详解】由题意知
所以，
对于 A，因为，且，所以，A 选项错误；
对于B，由于，所以，B 选项正确；
对于C，已知，这意味着既属于A又属于B，
若，当时，
此时满足所有已知条件，故C选项正确；
对于D，因为，又，所以，D选项正确；
故选：BCD.
10. 已知定义在上的函数满足：，且当时，，则下列说法正确的为（ ）
A. 的最小正周期为2B. 在上单调递增
C. 在上单调递增D. 对，都有
【答案】ACD
【解析】
【分析】中，用代替，再和相减，结合周期函数的概念即可判断A选项；利用导数求函数的单调区间，结合周期性即可判断BC选项；利用函数的周期性得,,再将代入即可判断D.
【详解】已知①，用代替可得②,
由②−①得：，即，
所以函数的最小正周期是2，A 选项正确；
当时，对求导，可得，
为增函数，因为，则，
所以，
所以时恒成立，即函数单调递减，
因为函数的周期是2，与上的函数单调性一致，
所以在上不是单调递增的，B 选项错误；
相当于，根据得，
上的函数单调性与上的函数单调性相反，
所以在上单调递增，C 选项正确；
因为函数的周期,,,
由，令，得，即，
所以，D 选项正确;
故选：ACD.
11. 若数列的前项中，最大项为，最小项为，则称数列为的“极差数列”．下列关于极差数列的说法正确的为（ ）
A. 若数列是等差数列，则它的极差数列也是等差数列
B. 若数列的极差数列是等差数列，则也是等差数列
C. 数列的极差数列可能为等比数列
D. 数列的极差数列的极差数列仍是
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项可利用等差数列的定义进行验证；B选项可以举反例排除；当时，，则可判断C；推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是，则可判断D.
【详解】对于A，设等差数列公差为d，
当时，，，则，此时是等差数列，
当时，，，，
当时，，，
结合等差数列概念可知A正确；
对于B，形如，
从开始奇数项依次减去1，偶数项依次加上1，
则数列是一个以首项为0，公差为1的等差数列，
但是数列不是等差数列，故B选项错误；
对于C，当时，，则不可能为等比数列，故C错误；
对于D，∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的“极差数列”仍是，故D正确；
故选：AD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数满足：，其中为虚数单位，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：
13. 若随机事件满足：，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由条件概率乘法公式、全概率公式即可求解.
【详解】由，
可得：，
可得：，
由，
可得，
所以，
故答案为：
14. 已知三棱锥外接球的球心为棱的中点，若，则该三棱锥体积的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分析可知，可得，设点到平面距离为，结合体积公式可得，即可得最值.
【详解】因为球心为棱的中点，则，，
且，则点到直线的距离，
可得的面积，
设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，
则，
可得三棱锥的体积
，
当且仅当，即平面时，等号成立，
所以该三棱锥体积的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. DeepSeck App于2025年1月11日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享，形成了强大的口碑效应．DeepSeek公司最近开发了一款新的推荐算法，为了测试该算法在不同年龄段用户群体中的效果，公司进行了一项调查，调查样本的统计结果如下表所示（单位：人）．
（1）求出的值，并在显著性水平为的情况下，判断推荐算法的效果是否与用户年龄段有关；
（2）以频率估计概率，在所有推荐算法有效的人群中抽取3人，求恰有2人为31-50岁用户年龄段的概率．
附：．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由独立性检验的知识求解即可得；
（2）首先得到推荐算法有效的群体中抽到为31-50岁用户年龄段的概率为，再结合独立重复试验的概率公式即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得：，计算，
所以在显著性水平为0.005的情况下，认为推荐算法的效果与用户年段有关；
【小问2详解】
样本的推荐算法有效的群体中抽到为31-50岁用户年龄段的率为，
以频率估计概率，即推荐算法有效的群体中抽到为31-50岁用户年龄段的概率为，
则3人中恰有2人为31-50岁用户年龄段的概率为：.
16. 如图，在几何体中，四边形与均菱形，，且．
（1）求证：平面平面；
（2）设点满足，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，由线面垂直的判定定理证明平面BDEF，再得到平面平面即可；
（2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
设与相交于点，连接，
∵四边形为菱形，，且为中点，又，，
∵，平面BDEF，∴平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
连接，∵四边形为菱形，且，
为等边三角形，
∵为中点，∴，又，，平面，
平面．故OA，OB，OF两两互相垂直，
∴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，∵四边形为菱形，，，．
为等边三角形，∴．
，,
则，因为，即，
所以，
所以，，
设平面的法向量为，则
取，
设与平面所成角为，则，
解得或，又，所以.
17. 已知函数．
（1）证明：函数有且只有一个极值点；
（2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求导得，利用函数单调性和零点存在性定理即可证明；
（2）求导得，设，再对分和讨论即可.
【小问1详解】
因为，所以，
显然在上单调递增．且．
故根据零点存在性定理知在上有且仅有一个零点，且在上，，在上，，
则在上单调递减，在上单调递增，即在上有且只有一个极值点.
【小问2详解】
设，则，记，
当时，恒成立，则函数在上单调递增，
此时在上至多存在一个零点，不合题意，
当时，函数的对称轴为，则函数在上单调递减，
（i）当时，恒成立，即恒成立，
则函数在上单调递增，此时函数在上至多存在一个零点，不合题意；
（ii）当时，恒成立，即恒成立，则函数在上单调递减，
此时函数在上至多存在一个零点，不合题意；
（iii）当时，，，故存在，使得，即，
则函数在上单调递增，在上单调递减，又由于，
则，若要满足题设，只需，解得,
又因为，所以取值范围是.
综上所述，实数的取值范围为.
18. 已知椭圆的焦距为，离心率为，点在上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在椭圆上，点在圆上，直线为和的公切线，求线段的长度；
（3）直线交椭圆于两点，交轴于点．为直线上一点，满足，其中为坐标原点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3），定值
【解析】
【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可；
（2）设，，不妨设直线，联立直线与椭圆方程由得到，，同理得到，，即可求出，，从而得解；
（3）分析可得，设，，依题意可得为线段的中点，联立直线方程与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可求出点坐标，从而求出方程，再求出方程，两方程相乘，即可求出点轨迹方程，从而得解.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
设，，根据对称性，不妨设直线，
则，整理得，
所以，则，此时，
同理由点在圆和直线上且与圆相切可得，，
所以，，则，所以，
所以，
所以线段的长度为；
【小问3详解】
显然，设，，由，
可得为线段的中点，
由，整理得，
所以，而，，
所以，则直线，
在直线中，令得，所以，
因为，所以直线，
所以，即，即，
所以存在点，使得的长度为定值.

19. 已知，为正整数，对于函数，若对任意的，都有，则称为次切比雪夫函数．例如：因为，所以为二次切比雪夫函数．
（1）求；
（2）证明：对任意正整数，都有；
（3）若函数有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换即可得，则得到；
（2）利用两角和差的余弦公式即可得，即证明等式；
（3）化简得，则，再分、和时分类讨论即可.
【小问1详解】
因为
，
所以.
【小问2详解】
因为，
两式相加得，
即.
【小问3详解】
因为，所以，
即，，
，当时，，
因为有一个绝对值不大于1的零点，则，解得，
令，即，则，
①当时，即时，，则在上单调递增，在上单调递增，
即时，，即恒成立，即在上无零点，
②当时，，，则在上单调递增，则在上单调递减，
即时，，即恒成立，即在上无零点；
综合①②可知，所有零点的绝对值都不大于1.
效果
18-30岁用户人数
31-50岁用户人数
有效
120
无效
70
总计
150
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828