五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)20：新定义（教师版）

这是一份五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)20：新定义（教师版），共48页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，的半径为1，在平面直角坐标系中，的半径为等内容，欢迎下载使用。
考情概览
考点1 新定义
考点1 新定义
1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
(1)如图，的半径为．
①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为；
②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______；
(2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，；②
(2)或或
【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键；
（1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解．
②根据定义可得为外一点，由，的半径为，得出，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解；
（3）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分四种情况讨论，求得的临界值，即可求解．
【详解】（1）解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大；
如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于，
∵，的半径为，
∴，且是的切线，
∴，
∴
∴，即与的关联角度为
故答案为：，．
②根据定义可得为外一点，
∵，的半径为，
∴，当时，
如图，取点，则，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
（2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，
∵，
∴当时，由，如图，
∴四边形是矩形，
由∵
∴四边形是正方形，
∴
当时，
∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则，
∴上距离最近的点在的圆环内，
①和的圆相切，如图，
∴
解得：
②和半径为的圆相切时，如图，
∴（不包含临界值）
∴
③当在半径为的圆，如图
解得：（不包含临界值）
∴时，都在内部，此时
④当在半径为的圆，如图
设的半径为，则，
∵，
解得：，
∴时，此时，
综上所述，或或．
2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．
(1)如图，点，．
①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________；
②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，45；②
(2)或
【分析】（1）由相对运动理解，作出关于的对称圆，若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，则点C应在的圆内或圆上，先求得，根据点与圆的位置关系的判断方法分别判断即可得出在上，故符合题意，根据圆周角定理即可求解；
②取中点为H，连接，可确定点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点D横坐标最大，可求，故点的横坐标的最大值为；
（2）反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，故点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆，连接，则点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），可求，随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，由，故当最大，时，此时为等边三角形，此时，故当，的最大值为2，设，则，解得：，可求直线与交于点，，故t的取值范围是或．
【详解】（1）解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，
∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
∴点C应在的圆内或圆上，
∵点，，
∴，
而，
∴,
由对称得：，
∴为等腰直角三角形，
∴,
设半径为，
则,故在外，不符合题意；
，故在上，符合题意；
，故在外，不符合题意，
∴点是弦的“可及点”，
可知三点共线，
∵，
∴，
故答案为：，45；
②取中点为H，连接，

∵，
∴，
∴点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），
∴当点轴时，点D横坐标最大，
∵，，
∴，
∴，
∵点，，
∴，
∴此时，
∴点的横坐标的最大值为，
故答案为：；
（2）解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，
∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
∴点C应在的圆内或圆上，
故点P需要在的圆内或圆上，
作出的外接圆，连接，
∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），
∴，
∴，
由对称得点在的垂直平分线上，
∵的外接圆为，
∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q，
∴，
∴，
随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，
连接，
∵，
∴当最大,时，此时为等边三角形，
由上述过程知
∴，
∴当，的最大值为2，
设，则，
解得：，
而记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴，
当，当时，，
解得，
∴与x轴交于点，
∴，而
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴t的取值范围是或．
【点睛】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键．
3．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：
若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．

(1)如图，点，，
①在点，，中，弦的“关联点”是______．
②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长；
(2)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)或．
【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；
（2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，运用相似三角形计算即可．
【详解】（1）解：①由关联点的定义可知，若直线中一经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”，
∵点，，，，，
∴直线经过点O，且与相切，
∴是弦的“关联点”，
又∵和横坐标相等，与都位于直线上，
∴与相切，经过点O，
∴是弦的“关联点”．
②∵，，
设，如下图所示，共有两种情况，
a、若与相切，经过点O，
则、所在直线为： ，
解得：，
∴，
b、若与相切，经过点O，
则、所在直线为：，
解得：，
∴，
综上，．
（2）解：∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，
又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，，
∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，如图所示，

①当S位于点时，为的切线，作，
∵，的半径为1，且为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴根据勾股定理得，，
根据勾股定理，，同理，，
∴当S位于点时，的临界值为和．
②当S位于经过点O的的垂线上即点K时，
∵点，，
∴，
∴，
又∵的半径为1，∴，
∴三角形为等边三角形，
∴在此情况下，，，
∴当S位于经过点O的的垂线上即点K时，的临界值为和，
∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在，
综上所述，t的取值范围为或，
【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键．
4．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②连接交线段于点求证：
(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON即可求出；
（2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则．
【详解】（1）解：①点Q如下图所示．
∵点，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；
②证明：如图延长ON至点，连接AQ，
∵ ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵ ，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，
连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，
∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，
∴，
又∵，
∴，
∴NM为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
结合题意，，，
∴，
即长的最大值与最小值的差为．
【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键．
5．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．
（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；
（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；
（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时．
【分析】（1）以点A为圆心，分别以为半径画圆，进而观察是否与有交点即可；
（2）由旋转的性质可得是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；
（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，然后由题意可根据图象来进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：
通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到；
故答案为；
（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
设与y轴的交点为D，连接，易得轴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
同理可得此时的，
∴；
（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：
由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，
∴，
∴，
∴；
由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：
连接，过点作于点P，
∴，
设，则有，
∴由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
∴；
综上所述：当时，此时；当时，此时．
【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．
1．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”．
(1)已知点的坐标为．
①如图1，在点中，的“赋能点”是_____；
②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围；
(2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，通过计算判断是否在或上，即可得出结论；②根据“赋能点”的定义可得直线与或有交点，再根据直线与、的位置关系讨论即可求解；
（2）将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，根据“赋能点”的定义可得线段与或有交点，再根据线段与、的位置关系讨论即可求解．
【详解】（1）解：①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，
，，
点在上，点在上，
点是的“赋能点”，
，，
点不在上，也不在上，
点不是的“赋能点”，
综上所述，的“赋能点”是．
故答案为：．
②直线与轴交于点，与轴交于点，
，
，
直线上存在点，使点为的“赋能点”，
直线与或有交点，
当直线与相切于点，与直线交于点，如图，
连接、，则有，
，
又，
，
，
，
，
点在直线上，
，
；
当直线与相切于点，与直线交于点，如图，
同理可得，，
点在直线上，
，
；
的取值范围为．
（2）解：将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，
线段上存在点，使点为的“赋能点”，
线段与或有交点，
当线段与只有点一个交点，此时，
，
解得：，；
当线段与只有点一个交点，此时，
，
解得：，；
结合图象得，的取值范围为．
【点睛】本题考查了新定义、旋转的性质、解直角三角形、直线与圆的位置关系、一次函数的性质，理解“赋能点”的定义是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生．
2．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，对于点P、点M、点Q，给出如下定义：点P绕点M逆时针旋转得到点，点N为线段的中点（点N不与点重合），则称线段的长为点P关于点M及点Q的“垂中距”，记为．
(1)已知点．
①若点，则为______________；
②若点C为y轴上一动点，则的最小值为______________．
(2)若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①1．②
(2)
【分析】（1）①过点作轴交y轴于点D，证明得，，从而，由中点坐标公式求出的中点N的坐标为，进而可求出；
②设，同理可证，，得出，，从而，求出的中点N的坐标为，由勾股定理得，然后利用二次函数的性质即可求解；
（2）由题意可知，点A在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动，点C在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动，将点O绕点C逆时针旋转至点，由新定义可知，点在以以点为圆心，以2为半径的圆上运动，在1为半径的圆O上取点C，在2 为半径的圆O上取点A，点A绕点C旋转90度至点，由旋转的性质得，， ，证明得，，由勾股定理求出，然后在中，利用三角形三边的关系即可求解．
【详解】（1）①过点作轴交y轴于点D，则，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴的中点N的坐标为，
∴．
故答案为：1；
②设，如图，
同理可证，，
∴，，
∴，
∵，，
∴的中点N的坐标为，
∴，
∴当时，取得最小值，
∴的最小值是，即的最小值为．
故答案为：；
（2）∵，
∴点A在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动，点C在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动，
将点O绕点C逆时针旋转至点，由新定义可知，点在以以点为圆心，以2为半径的圆上运动，
在1为半径的圆O上取点C，在2 为半径的圆O上取点A，点A绕点C旋转90度至点，
∵由旋转的性质得，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
取的中点N，连接，则，
∴，
在中，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，圆的性质，勾股定理，二次函数的性质，难度较大，属中考压轴题，数形结合是解答本题的关键．
3．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，已知半径为1的和线段，给出如下定义：若存在点使得线段关于点中心对称的线段恰为的一条弦，则称线段是的关于点的关联线段．
(1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段中，的以点为中心的关联线段是___________；
(2)若，线段是的关于点的关联线段，则点的坐标为___________；
(3)已知点是一点，线段在直线上，线段是的关于点的关联线段，则线段长度的最大值为___________；此时点坐标为___________．
【答案】(1)
(2)或
(3)2；或
【分析】本题考查了新定义，涉及勾股定理，圆的对称性，中心对称的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，难度较大，解题的关键在于理解新定义，利用反向思考的方式解决问题．
（1）首先根据可知比的直径还大，根据题意不符合，然后作图可知均符合题意；
（2）由于线段是的关于点的关联线段，那么反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称，由，半径为1，则为等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求出点坐标，再根据中点坐标公式求解点坐标；
（3）反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称，而，那么当时，为直径，而线段在直线上，故点在直线上，设，点在上，且点与点关于点C对称，则，再建立方程求出点坐标再根据中点坐标公式求解点坐标．
【详解】（1）解：∵，而的半径为1，则直径为2，
∴线段不可能是的关于点的关联线段；
如图所示，结合定义可知和是的以点为中心的关联线段，
故答案为：；
（2）解：如图：
∵线段是的关于点的关联线段，
∴反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称，
∵，半径为1，
∴为等边三角形，
∴根据等边的对称性可知点在轴上，记与轴交于点H，
∴，
∴，
∴或，
∵与关于点C对称，
∴或；
（3）解：∵线段是的关于点的关联线段，
∴反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称，
∵，
∴当时，为直径，
而线段在直线上，
∴点在直线上，如图：
设，
∵点在上，且点与点关于点C对称，
∴，
∴，
解得：，
∴或，
∴或，
故答案为：2；或．
4．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为．对于的弦和点C（C可以与A，B重合）给出如下定义：若直线经过弦的一个端点，另一端点与点C之间的距离恰好等于，则称点C是弦的“关联点”．
(1)如图，点．
①点，在点，，中，弦AB的“关联点”是________；
②点，若点C是弦的“关联点”，直接写出点D的坐标________；
(2)已知点，．线段上存在弦的“关联点”，记的长为t，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)①，；②，；
(2)，．
【分析】（1）①如图所示，通过题中关联点的定义，分别分析点、、即可判断；②根据题意分析可得，以点为圆心，半径为作圆，交圆于点、点，过点作轴于点，连接、，设点的坐标为，则，即，解得，进而求出点的纵坐标，考虑轴对称的性质，可得点与点关于轴对称，即可求出点、的坐标；
（2）通过分析可得线段与圆相切，设线段与圆相切于点，连接，设线段上的“关联点”为点，当点在点时，取最小值，最小值为，当点在点时，取最大值，最大值为，，第一种情况，连接交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑），过点作于点，连接、、，设，根据勾股定理，得，第二种情况，连接，延长交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑），过点作于点，连接、、，设，根据勾股定理，得，即可确定t的取值范围．
【详解】（1）解：①由点可得，所在直线的解析式为，
直线经过点，
点与点之间的距离为，，
，
点是弦的“关联点”；
由题中图像可得，直线经过点，
点与点之间的距离为，，
，
点是弦的“关联点”；
由题中图像可得，直线经过点，
点与点之间的距离为，，
，
点不是弦的“关联点”；
故答案为：，；
②点是弦的“关联点”，直线经过点，
，
，
，
如图所示，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点，过点作轴于点，连接、，
设点的坐标为，则，
即，
解得，
，
点的坐标为，
点与点关于轴对称，
点的坐标为，
故答案为：，；
（2）如图所示，在直角坐标系中作出点，，连接，
根据题意得，，
，
，
即等于圆的半径，
，即，
线段与圆相切，
设线段与圆相切于点，连接，
线段上存在弦的“关联点”，设此“关联点”为点，点为线段上的动点，
当点在点时，取最小值，最小值为，当点在点时，取最大值，最大值为，
设，
，
第一种情况，如图所示，连接交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑），
过点作于点，连接、、，设，
根据勾股定理，得，
即，
，
，
记的长为，
；
第二种情况，如图所示，连接，延长交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑），
过点作于点，连接、、，设，
根据勾股定理，得，
即，
，
记的长为，
；
综上所述，，．
【点睛】本题是新定义综合题，考查了最值问题、圆的定义、切线的性质、直角坐标系中两点坐标、勾股定理、锐角三角函数的应用等知识点，解题的关键是通过题干，熟练掌握新定义“关联点”的内涵，同时运用“分类讨论”、“数形结合”的思想画图，根据动点的轨迹确定的取值范围，通过勾股定理找到与之间的关系，进而确定的取值范围．
5．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下规定：如果将点沿直线翻折后得到点，再将点沿直线翻折后得到点，点就是点的“相称点”．
(1)如图1，如果点，，
① 在点，，中，点的“相称点”的是________；
② 点的“相称点”与点的距离最小值是_______．
(2)如图2，的半径和等边的边长均为，点，点和点都在上，如果在图中的边上存在点的“相称点”，求的取值范围．
【答案】(1)① ，； ②
(2)或
【分析】（1）①根据翻折，中点坐标的计算得到，可得在上，进而可得，，符合题意，即可求解；
②根据两点之间距离公式得到，当时，，由此即可求解；
（2）在上任取点与点，其中点，点关于对称，再关于对称，得到的点，实质上就是将绕点旋转得到点，进而可得的轨迹为以为圆心，半径为与的圆环，进而根据等边的边长均为，点，找到临界点，结合图形，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，将点沿直线翻折后得到点，则，将点沿直线翻折后得到点，则，
∵
∴在上，
∵，在上，
∴点的“相称点”的是，；
故答案为：，；．
②点，
∴，
∴，
∴当时，，
故答案为：；
（2）解：如图
在上任取点与点，其中点，点关于对称，再关于对称，得到的点，实质上就是将绕点旋转得到点，
先将固定，在上运动，随之运动，连接并延长至使得，连接，则，即在为圆心，半径为的上运动，
当点在上运动，则在以为圆心，半径为与的圆环内运动，如图，
∵边上存在点的“相称点”，
∴的边与圆环有交点，
如图，当与3为半径的外切时，设切点为，则切点坐标为，
∵等边的边长均为，，
∴，
∴，
当在为半径的上时，，
当在为半径的上时，，则，此时，
当在为半径的上时，，
随着点的移动，可得，或．
【点睛】本题考查了新定义“相称点”，点的坐标变换，等边三角形的性质，解直角三角形，切线的性质，解题的关键是理解新定义，掌握对称的性质．
6．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于两点A和B，其中点A在上．给出如下定义：若线段的垂直平分线与相交，且两交点之间的距离为d，则称点B是点A的“d关联点”．
(1)如图1，点．
①在点，，中，点______是点A的“d关联点”，其中d=______；
②若点C是点A的“1关联点”，则点C的横坐标的最大值为______；
(2)直线与x轴，y轴分别交于点M，N．对于线段MN上任意一点P，都存在上的点Q，使得点P是点Q的“t关联点”，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)①，；②；
(2)
【分析】(1) ①依次作出对应的垂直平分线，可知的垂直平分线与相交，且其垂直平分线的解析式为，对应的；
②作等边，轴于点，以点为圆心，长为半径作圆，若点为点的“1关联点”，则的垂直平分线与半径为的圆相切，点与点关于中心对称，由，，可得，此即点横坐标的最大值；
(2)根据“关联点”的定义和垂径定理，再运用勾股定理即可分别求得PQ的极值即可得出t的取值范.
【详解】（1）解∶ ①依次作出对应的垂直平分线， 的垂直平分线与相交，
点．，
线段中点坐标为，
，
，
，
，
，
，
设直线为，
得，
解得，
其垂直平分线的解析式为，
对应的；
②如图，作等边，轴于点，以点为圆心，长为半径作圆，
若点为点的“1关联点”，则的垂直平分线与半径为的圆相切，点与点关于中心对称，
，
，
，
，
，
可得，
此即点横坐标的最大值为；
故答案为∶①，； ②；
（2）解： 如图，点是点的“关联点”，的垂直平分线与相交，截得的线段是，
则，则，，
则，
即点的“关联点”距离点的最远距离为，
当点在上运动时，点随之运动，则点的“关联点”最远的位置，在以点为圆心，为半径的圆上，
对于固定的点而言，距离点最近的“关联点”不需要分析，事实上，如图所示，
弦长，点关于点的对称点，即为距离点最近的“关联点”，
点是上的点，点是点的“关联点”，则点最远处依然是在一个圆上，圆的半径为，结合已知，点与点的距离最远，因此，需要使得点在以为半径的圆内即可，
又，
得，
解得（舍负），
据此可得的最大值为，
直线且，直线与坐标轴的交点，，可知，上任意一点，在上都可以找到一点，使得线段的垂直平分线与相交，且被所截得线段长恰好为，由已知，，且的弦长最大为直径，所以可得，
如图，当线段与相切时，
设点即为切点，此时，圆上任意一点为，线段的垂直平分线经过圆心，被截得的弦长即为直径，长度为2，矛盾；线段与没有交点，则；
综上所述，可得，
【点睛】本题是圆的综合题，考查了最值问题，垂径定理，轴对称的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握新概念“关联点”是解题的关键．
7．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦．给出如下定义：若存在点C，使得直线与有且仅有一个公共点．并且，则称点C为弦的“α伴随点”．
(1)已知点A的坐标为，B的坐标为，在点，，中，点______是弦的“伴随点”；
(2)若弦的长度为，且存在唯一的点D为弦的“α伴随点”，直接写出α的取值范围；
(3)已知直线与x轴交于点N，与y轴交于点M，若上存在弦，使得线段上总存在弦的“伴随点”，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由坐标知，点在过点A且平行于x轴的直线上，，，，由正切函数知，，则可得是弦的“伴随点”；点则不是弦的“伴随点”；
（2）连接，过点O作于点F，过点B作于点E，由题意易得，则可得；在中，，根据的取值范围可求得的取值范围；
（3）当分别在y轴正半轴，x轴负正半轴上，连接，则可得，得伴随点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆；设此圆分别交x轴，y轴正半轴于G，D，连接，直线与直线平行且与此圆相切，显然当线段位于直线与直线间时满足题意，从而求得m的取值范围；由对称性，求得分别在y轴负半轴，x轴负半轴上时m的取值范围，从而得到结果．
【详解】（1）解：∵点，，
∴由坐标知，点在过点A且平行于x轴的直线上，且，，
∵点A的坐标为，B的坐标为，
∴，
在中，，则；
同理得，，
∵，且是圆的切线，
∴是弦的“伴随点”，而点则不是弦的“伴随点”；
故答案为：；
（2）解：如图，连接，过点O作于点F，过点B作于点E，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵点D为弦的“α伴随点”，
∴，，
∴，
当点在的右边，根据三角形外角的性质可得，，当点在的左边，根据三角形内角和定理可得，，
∵存在唯一的点D为弦的“α伴随点”，
∴
（3）解：如图，当分别在y轴正半轴，x轴负正半轴上时，连接，
∵，，
∴，；
∵点C为弦的“伴随点”，
∴，
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得，
在中，由勾股定理得：，
则伴随点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆；
设此圆分别交x轴，y轴正半轴于G，D，连接，直线与直线平行且与此圆相切，则，，
当与重合时，把点D坐标代入，即；
∵直线，且与圆相切，，
∴点O到切线的距离为，，
∴，
∴，即；
当线段与直线重合时，把点H的坐标代入，即；
当线段位于直线与直线间时满足题意，此时；
由对称性，当分别在y轴负半轴，x轴负半轴上时m的取值范围为；
综上，m的取值范围为：或．
【点睛】本题是圆的综合，考查了直线与圆相切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数，三角函数等知识，理解新概念，构造适当辅助线是解题的关键．
8．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和平面内的点，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点旋转后得到的对应点在上，则称点是弦的“伴随点”．
(1)如图，点．
①在点中，弦的“伴随点”是___________；
②若点是弦的“伴随点”，则点的横坐标的最小值为___________；
(2)已知直线与坐标轴交于点和点，点是线段上任意一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．直接写出的取值范围．
【答案】(1)①、；②
(2)或.
【分析】（1）①如图，以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作两圆的切线，，结合弦上存在点，使得点绕点旋转后得到的对应点在上，可得在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界） 再进一步分析即可
②由点是弦的“伴随点”，可得：在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界），结合图形可得点的横坐标的最小值为：；
（2）如图，，把分别绕旋转得到与，连接，，，此时在上，在上，且， 作的切线，，外切于，连接，交切线于，可得，，此时，结合（1）的结论可得：弦的“伴随点”在以为圆心，为半径，为半径的圆环内（包括边界）；再进一步求解即可.
【详解】（1）解：①如图，以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作两圆的切线，，
∵弦上存在点，使得点绕点旋转后得到的对应点在上，
∴在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）
∴是弦的“伴随点”，不是弦的“伴随点”；
如图，，
∴在直线上，而直线垂直，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在上，
∴是弦的“伴随点”，
②∵点是弦的“伴随点”，
∴由①可得：在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界），
结合图形可得点的横坐标的最小值为：；
（2）解：如图，，
把分别绕旋转得到与，连接，，，
此时在上，在上，且，
作的切线，，外切于，连接，交切线于，
∴，，
此时，
结合（1）的结论可得：
弦的“伴随点”在以为圆心，为半径，为半径的圆环内（包括边界）；
如图，
∵直线与坐标轴交于点和点，点是线段上任意一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．
∴一定在以为圆心，为半径，为半径的圆环内（包括边界）；
∴，或，
当直线切小圆于点时，,
，都为等腰直角三角形，
∴，
当时，同理可得：，
综上：此时的范围为：或.
【点睛】本题考查的是新定义的含义，一次函数的图象与性质，圆的基本性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，理解新定义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.
9．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于点、和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形．若点在图形上，则称点为图形关于点的“位移点”．
如图，点、．
(1)若半径为1，
①在、、中，关于点的“位移点”是______；
②若在线段上存在一点，使得点为关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围；
(2)已知点，半径为1，点在上，点为线段关于点的“位移点”．点，半径为，点在上．若存在点D，P，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①、；②
(2)或
【分析】（1）①将沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知关于点的“位移点”在上，再逐个分析即可判断；②沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知点在上，再利用线段的性质得到的最小值为，的最大值为，再对的长分情况讨论即可求解；
（2）分①点在的右侧；②点在的左侧2种情况讨论，连接，以为斜边作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，利用相似三角形的性质求出，利用全等三角形的性质求出点的坐标，得出点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，记为；将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，根据新定义可知在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为，再讨论与的位置关系即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：①，半径为1，
沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，
，，，
、在上，
关于点的“位移点”是、，
故答案为：、；
②由题意得，沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，
点为关于点的“位移点”，
点在上，
，
，
，
的最小值为，的最大值为，
点在线段上，
当时，最小；当点与点重合时，最大，
当时，
，，
是等腰直角三角形，，
又，
，此时的最小值为；
当点与点重合时，
则，此时的最大值为，
综上所述，的长的取值范围为．
（2）解：①当点在的右侧，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，如图所示，
和是等腰直角三角形，
，，
，即，
，
，
，
，
，
又，
，
又，，
，
，，
设，，
由点可得，解得，
，
点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为；
将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，，
半径为1，点在上，
，
又点为线段关于点的“位移点”，
在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为，
当点与点重合，且与相切（在右侧）时，此时，有最大值，如图所示，
此时，
，
当，且与相切（在左侧）时，此时，有最小值，如图所示，连接，
由（1）得，是等腰直角三角形，则有，
由平移的性质得，，
，，
轴，
，
是等腰直角三角形，，
，
；
的取值范围为；
②当点在的左侧，连接，以为斜边在左侧作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，如图所示，
同理①的方法可得，，，
点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为；
将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，，
半径为1，点在上，
，
又点为线段关于点的“位移点”，
在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为，
当点与点重合，且与相切（在下方）时，此时，如图所示，
，
，
解得：，
当时，满足题意；
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了新定义、平移的性质、圆的轨迹问题、点、直线、圆的位置关系、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定等知识点，理解“位移点”的定义画出对应的示意图是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的知识理解运用和数形结合能力，适合有能力解决难题的学生．
10．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，过上一点P作切线l，在圆的外部过点P分别作射线，，当时，则称，为点P关于该圆的“关联等角射线”．如图1．
(1)如图2，的半径为1，已知，，，，在射线，，中，的“关联等角射线”是__________；
(2)如图3，的半径为1，点P在第三象限，，为点P关于“关联等角射线”，与x轴平行，与y轴平行，则此时的度数为__________°；
(3)如图4，点M的坐标为，的半径为1．点P在第一象限，，为点P关于“关联等角射线”，若过点O，与坐标轴无公共点，设切点P的纵坐标为，则的取值范围是__________．
【答案】(1)
(2)45
(3)
【分析】（1）根据“关联等角射线”的定义可得，只有符合题意，即可解答；
（2）点P在第三象限，根据与轴平行，与轴平行，画出图象，再根据“关联等角射线”的定义求解即可．
（3）根据题意先确定最大值，要使得经过原点，先看左图可知此时不可能经过原点，要使得经过原点，先得找到临界位置（即过点的切线过点），此时，；那么将往下移动，一定能有过点，此时要确保与坐标轴无交点，即与轴没有交点，找到临界状态即轴时即可．画出图形，设，延长交轴于点，直线与轴交于点，则，过点作，得出，设，证明，列出方程求出．过点作轴于点，列出等式，求解即可．
【详解】（1）解：由定义可知，，则的“关联等角射线”是；
故答案为：．
（2）解：∵点P在第三象限，与轴平行，与轴平行，如图，
∴，
∵，为点P关于“关联等角射线”，
．
故答案为：45．
（3）解：点M的坐标为，的半径为1，
先确定最大值，要使得经过原点，先看左图可知此时不可能经过原点，要使得经过原点，先得找到临界位置（即过点的切线过点），
此时，
∴,
∴，
∴，
过点作，
∴，
∴，
∴，
∴此时；
那么将往下移动，一定能有过点，此时要确保与坐标轴无交点，即与轴没有交点，找到临界状态即轴时，如图．
设，延长交轴于点，直线与轴交于点，
则，
∵直线与相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
此时，
∴，，
过点作，
，
设，
，
，
∴
，
即，
解得：（负值已舍去）．
过点作轴于点，
∵轴
，
，
∴．
【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是理解题中新定义，找到临界点．
11．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点P，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点P是弦的“关联点”
(1)已知点．
①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是 ；
②如图2，若点，点P是的弦的“关联点”，直接写出线段，线段的长；
(2)已知点，线段是以点C为圆心，以1为半径的的直径，对于线段上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)①和；②，
(2)
【分析】（1）①已知线段长，求出的长度，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出，，，再看与是否相等即可作出判断；
②由，的坐标求出，再求出到的距离，进而求出；
（2）首先确定线段与长度间的关系，线段长度越长，线段长度越长；然后举例线段，确定线段最大值和最小值取值情况；改变线段的位置，确定线段最大值和最小值的变换情况；当线段是水平线段时，取最大值；当线段是竖直线段时，取最小值，由此可解决问题．
【详解】（1）解：先探究长度确定时，的长度，如图，
，是的切线，切点分别为，，
由切线长定理，得，，，
，
，即，
，
①，，
，
，
，
，
，
弦的“关联点”是，，
故答案为：和；
②，．
理由：由，，
可知，
，
；
（2）．
理由如下：，，
，
，
越大，越大；越小，越小；
即点是弦的“关联点”时，越大，越大；越小，越小；
以线段为例，如图：
当最大时，，
当最小时，，
改变线段的位置到，如图：
当由变为，
，
，
当由变为，
，
，
，，
，
当为水平线段时，如图：
，，
，
，
，
改变线段的位置到，如图：
过点作于点，
当由变为，
，
，
当由变为时，
，
，
，，
，
当为竖直线段时，如图：
，或，
，
，
，
综上，．
【点睛】本题是一道圆的综合题，考查对新定义的理解，切线长定理，相似三角形，勾股定理，准确理解“关联点”，能灵活运用线段与的等量关系是解题的关键．
12．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离，若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为．例如：如图，点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即．特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为．
(1)图形为线段，
①若图形为线段，则___________，___________；
②点，点，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的取值范围；
(2)已知的半径为1，直线，图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，，若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的最小值和对应的的取值范围．
【答案】(1)①5，5；②2，
(2)4，，
【分析】（1）①根据题意，在线段上任意取一点，作，则的长度即为点到线段的距离，当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，然后根据点坐标即可求得答案；在线段上任意取一点，连接，则的长度即为点到线段的距离，根据点、、坐标可知当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，然后求得的长度即可得到答案；②分别讨论当，，，，时，利用数形结合的思想求得的值，即可得出结论；
（2）设任意一点，过点作，垂足为，过作，延长交于点，根据题意可知任意一点到直线的最大距离为，以点为圆心，以5为半径画圆，交直线于，，连接交于，连接交于，得到，由图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），分情况讨论点、和点、、之间不同位置关系下的和，从而得到的最小值，然后利用已知两点坐标求距离的公式得到此时的值和的取值范围．
【详解】（1）解：①根据题意，在线段上任意取一点，作，如图所示，
则的长度即为点到线段的距离，
当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，
，，
，
；
在线段上任意取一点，连接，如图所示，
则的长度即为点到线段的距离，
，，，
当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，
，
；
故答案为：5，5；
②当时，连接，，作轴于点，如图所示：
点到轴距离为2，即，
，
；
当时，和重合，
此时，
当时，作于点，交于点，如图所示：
由图可知，，
，
，，
，解得；
当时，如图所示：
则；
当时，如图所示：
则，
综上所述，的最小值为2，此时；
（2）解： 设任意一点，过点作，垂足为，过作，延长交于点，如图所示，
则任意一点到的距离为，
当与重合时，取得最大值，最大值为的长度；
设与轴相交于点，与轴相交于点
当时，；时，，
，，
，
，
，，
，
，
，
以点为圆心，以5为半径画圆，交直线于，，连接交于，连接交于，如图所示：
，，
，
同理，；
图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），
当点与点重叠，而在（含端点）上运动时，或者当点与点重叠，而点在（含端点）上运动时，
此时，或，
当点在点的左侧，且点在点左侧时，或者当点在点的右侧，且点在点右侧时，或者当点在点的左侧，且点在点右侧时，
此时，，
为最小值，
设，，，
，，，
，，，
，，，（不合题意的值已舍去）
点，的横坐标分别为，，且最小时，点与重叠，
最小为：，
此时，在（含端点）上运动，
综上所述，的最小值为4，当取得最小值时，的最小值为，对应的的取值范围为．
【点睛】本题考查了“距离”的定义，一次函数与坐标轴的交点，已知两点坐标求两点距离，解直角三角形，读懂题中“距离”的定义，利用数形结合的思维是解题的关键．
13．（2025·北京西城·一模）对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角为的等腰三角形，则称点为点关于的“—关联点”．
在平面直角坐标系中．
(1)已知点，的半径为2．
①在点，，，中，是点关于的“—关联点”的是______；
②若直线上存在点关于的“—关联点”，则的取值范围是______；
(2)已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，若点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，；②；
(2)．
【分析】（1）根据题意，分别连接、、、，然后利用网格把它们分别绕、、、旋转，得到对应的点，观察其是否在上或内即可得到答案；
（2）设与轴的交点为，过点作，过点作轴，由题意可知，，，，可证为等边三角形，先求得点坐标，表示出，利用勾股定理，可表示出，接着证明以及，得到，由 为上或内存在一点，的半径为2，那么最大值为2，从而求得的最大值；
（3）已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，故以点为圆心，4为半径画圆，可知在上运动，再以点为圆心，2为半径画圆，有点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，可知和为等边三角形，从而得出四边形是菱形，推出，，，设与相交于点，由和为上或内存在一点，那么，故当、、三点共线时，最大，此时在圆上，，通过勾股定理可求得，此时，， 在上，符合题意，综上所述，可知，最大时，在上，在上，且，最后由，得出的范围．
【详解】（1）解：①根据题意，分别连接、、、，然后绕、、、旋转，如图所示，
由图可知点、在内，
点、是点关于的“—关联点”，
故答案为：、；
②设与轴的交点为，过点作，过点作轴，如图所示，
由题意可知，，，，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
时，；当时，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
为上或内存在一点，的半径为2，
最大值为，
此时，，解得，如下图所示：
，
；
（2）解：已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，
以点为圆心，4为半径画圆，在上运动，
以点为圆心，2为半径画圆，如图所示：
点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，
，，，，
，，
和为等边三角形，
，，
四边形是菱形，
，，，
设与相交于点，
和为上或内存在一点，
，即，
当、、三点共线时，最大，
此时在圆上，，如图所示：
，
，
，
中，，，
，
不妨设，那么，
，
，
，，
，
，
，
此时在上，符合题意；
综上所述，可知，最大时，在上，在上，且，
设点的纵坐标为，
，
．
【点睛】本题考查了 “—关联点”，线段的旋转，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，一次函数与坐标轴的交点，解直角三角形，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，数形结合，画出合适的辅助线是解题的关键．
14．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，已知图形，点是上任意两点，我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”，记作．
(1)边长为1的正方形的宽距为______；
(2)已知点，连接所形成的图形为．
①若，直接写出的取值范围；
②已知点，以为圆心，1为半径作圆．若点为上任意一点时，都有，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ②或
【分析】本题考查了几何新定义，圆的综合问题，解直角三角形，理解新定义求得符合题意的临界值是解题的关键；
（1）根据新定义可得，长为1的正方形的宽距为对角线的长度，即可求解；
（2）①根据新定义，画出图形，在以为圆心，为半径的圆内公共部分，则当最大时，是等边三角形，解直角三角形，即可求解；
②根据题意可得当时，点或到上的点距离最大为，最小值为，当时，以为圆心和为半径作，当与为半径的圆内切时取得最大值，当和为半径的圆外切时，取得最小值，设与为半径的圆内切于点，与为半径的圆内切于点，根据圆与圆的位置关系以及勾股定理求得的坐标，结合图形即可得出的范围，根据对称性求得的坐标的相反数，即可得出另一个范围，即可求解．
【详解】（1）解：根据新定义可得，长为1的正方形的宽距为对角线的长度，即，
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴
如图，在以为圆心，为半径的圆内公共部分，
∴当最大时，是等边三角形，
∴
∴
②∵，点，以为圆心，1为半径作圆．若点为上任意一点时，都有，
∴当时，点或到上的点距离最大为，最小值为
当时，如图，
以为圆心和为半径作，
当与为半径的圆内切时取得最大值，当和为半径的圆外切时，取得最小值，
设与为半径的圆内切于点，与为半径的圆内切于点，
∴
∴，则此时
同理可得，，则
∴此时,
∴
当时，根据对称性，同理可得
综上所述，或
15．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点，给出如下定义：若的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，则称点是的“-旋称点”，此时的是关于点的一条“-旋称弦”．
(1)如图1，的半径为2．
①在点，，，中，的“-旋称点”可以是___________；
②弦的长为2，轴．若是关于点的“-旋称弦”，直接写出点的坐标；
(2)如图2，，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，直接写出点的坐标，和的半径的取值范围．
【答案】(1)①，；②或
(2)，
【分析】（1）①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，当为的切线时，可求得，可知时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，然后分别算出，，，判断即可；②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，那么可知道是等腰直角三角形，可算出点的坐标，由题意可知，当点落在点时符合题意，延长，使得，同理可算得，满足条件；
（2）由题意可知，在内部，、、三点都在外部，将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和，当圆心在点时，根据定义舍去，当圆心在点时， ，先求得点的坐标，分别以为圆心，以、为半径画圆，那么当，满足题意．
【详解】（1）解：①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示：
当为的切线时，，，，
，
，
那么当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦；
在点，，，中，
，，，，
，
在点，，，中，的“-旋称点”可以是，；
故答案为：，；
②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，如图所示：
弦的长为2，轴，
，
，
，
；
若是关于点的“-旋称弦”，那么点与点点重合时，满足条件；
延长，使得，同理可算得，满足条件；
综上，点坐标为：或；
（2）解：对于半径为的外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示，
同（1）①，可求得当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦；
，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，
在内部，、、三点都在外部；
将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和，
由题意可知，当圆心在点时， ，点的横坐标在大于0，小于2，
，
在的垂直平分线上，
过点作于，
，，
，，，
，，
，
，
；
不妨设，那么，，
，
，
，
或，
点的横坐标大于0且小于2，
，
，
；
分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示：
，
边上不存在关于点，，的“-旋称弦”，
故不符合题意；
当圆心在点时， ，
，
点在的垂直平分线上，
，，
的纵坐标为，
过点作于，
，
，，
，
，
，，
，，
，，
分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示：
那么当，即，满足题意；
此时，满足；
综上，，．
【点睛】本题考查了“-旋称点”，“-旋称弦”，勾股定理，解直角三角形，垂径定理，等腰三角形的性质，读懂“-旋称点”，“-旋称弦”的定义，作出合适的辅助线利用数形结合的思想是解题的关键．问题也可转化为轴对称进行求解．
16．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于点和直线，给出如下定义：若点，其中，且，直线的解析式为，则称直线为点，的关联直线，关联直线上的所有点称为点的关联点．例如，对于点，的关联直线为，关联直线上所有点是点的关联点．
(1)已知点
①点的关联直线为___________；
②半径为1的的圆心为，半径为2的的圆心为，都与点的关联直线相切，且，则线段的长为___________；
(2)半径为的圆心为为上不同两点，若直线是点的关联直线，且上存在点，使得点是点的关联点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据题意代入计算即可得；
②由①知，点的关联直线，进一步求得直线的解析式为，点和，结合解直角三角形证明点的关联直线与直线垂直，根据题意假设与位置，则，可求得和，结合即可；
（2）由（1）②可知，点的关联直线与直线垂直，根据题意可知当圆与直线相交或相切时，结合垂径定理即可满足条件，首先找到满足条件与相切的直线，再求得其k值即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
②由①知，点的关联直线，
设直线的解析式为，
则，解得，
即直线的解析式为，如图
令，解得；令；
设直线与x轴和y轴分别交于点U和点V，则点，，
直线与交于点C，则，直线与直线交于点W，
∴，，则，，
那么，，，
即点的关联直线与直线垂直；
假设与如图所示，则，
根据题意得，，
∴，，
∴；
（2）解：由（1）②可知，点的关联直线与直线垂直，
当直线与相切时，如图中直线，过点S作，轴交直线于点M，交x轴与点R，过点M作，如图，
∵半径为的圆心为，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，，解得，，
则，解得，
那么，，，
∴点，
此时，，解得；
当直线与相切时，如图中直线，过点S作，轴交直线于点F，交x轴与点E，过点F作，如图，
同理可得，，，，，，，
设，则，，
则，解得，
那么，，，
∴点，
此时，，解得；
综上所述，当直线的满足要求．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式、直线与坐标轴的交点、解直角三角形、切线的性质、垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟悉解直角三角和新定义的理解，以及对垂径定理的应用，此题难度较大．
17．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形”
(1)如图1，的半径为1
①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”；
②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______；
(2)如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】（1）①根据“平衡图形”的定义分别求出各个线段上任意点到的距离的取值范围即可确定答案；②设直线与轴交于点；进而可求得，，分以下几种情况：当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，此时；当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意，当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足，当与相切时．此时，；当线段全部在外时，作于，点到的距离满足，点到的距离满足，进而，确定时符合题意，即可求解；
（2）设直线为，求得； ，分
①当在内时，②当在时，同法求得上任意点到距离的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：①设线段上点到的距离为，
，
设线段上点到的距离为，
，
，
，
线段上任意一点到的距离满足，
线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”；
设线段上点到的距离为，
，
设线段上点到的距离为，
，
，
，
线段上任意一点到的距离满足，
线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”；
设线段上点到的距离为，
，
设线段上点到的距离为，
，
，这两个距离范围没有公共部分，
线段上不存在任意两个不同点，，
使得，则线段不是的“平衡图形”；
综上所述，线段、是的“平衡图形”；
故答案为：、；
②解：设直线与轴交于点；
当时 ，，
当 时，，
，，
，
，
，
当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，即只要这个图形都在内这个图形上所有的点都符合题意，此时；
当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意，
当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足，
当与相切时．如上图所示∶此时，
；
当线段全部在外时，如图所示：
作于，
，
点到的距离满足，
点到的距离满足，
时符合题意，即，
综上所述，，
故答案为：；
（2）解：设直线为，
将，代入，
得，
解得，
；
点，
，
①当在内时，
由题意可知，若是的“平衡图形”，则上任意一点到的距离满足，
作于，由上题可知：，
上点到的距离满足，
上任意一点到的距离满足，
时符合题意，即．
②当在时，
同①可得：，
，即此时可以无限大；
综上所述，若是的“平衡图形”，的半径的取值范围是．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系， “平衡图形”，的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会结合图形利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．
18．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”．
(1)如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围；
(3)已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
(3)的最大值为，
【分析】本题考查了点的平移，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，理解新定义是解题的关键；
（1）根据新定义，结合坐标系，平移即可求解；
（2）根据新定义，弦，先得出在的圆环内，进而得点是弦的“伴随点”则以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，进而分别求得其横坐标，结合图形，即可求解；
（3）根据新定义先得对应的弦的长度的最小值时，经过的的切点，进而求得经过时，取得的最大值，进而得出的范围，即可求解．
【详解】（1）解：根据新定义，将先弦向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
则平移后经过点，则是弦的“伴随点”
故答案为：；
（2）解：的弦，的半径为．
∴是等边三角形，
设
则
∴在的圆环内
如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，
则点是弦的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合），
由于与轴的夹角为
∴的横坐标为，的横坐标为，
同理可得的横坐标为，的横坐标为
∴或
（3）解：如图，将向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆，设为的对应弦，
线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，则为的圆环内的弦，
当经过的的切点时，取得最小值，
当为半径为的切点时，即的中点时，取得最大值，
∵点在上，
∴的最大值为
∴,
∴的最大值为
∴，
∵，,
即是线段上的点，当重合时取得最小值，当重合时取得最大值，而不包括端点，则不能取等于号，
∴
19．（2025·北京西城·二模）给定线段和位于直线同一侧的两点，，若在线段上（不含端点，）存在点，使得且，则称点与关于线段等角等距．在平面直角坐标系中，已知点．
(1)点的坐标为，
①在点，，，中，与点关于线段等角等距的点是______；
②点是直线上一点，若在以点为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点关于线段等角等距，则点的横坐标的取值范围是______；
(2)已知点，在以为圆心，1为半径的圆上存在点，使得点与关于线段等角等距，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，；
②；
(2)或
【分析】本题考查垂直平分线，平行线的判定与性质，圆与直线的关系，勾股定理，相似三角形的运用，正确分类是解题的关键．
（1）①判断出点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，即可解答；
②根据点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，再分类讨论，即可解答．
（2）根据点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，即可画图，易得时，满足题意；当时，求出继而求出，证明，可求出，再根据，可列出关于m的不等式，即可解答．
【详解】（1）解：作的平分线交于点F，如图，
∴，
∵，
∴，
即为的垂直平分线，
∵， ，
∴，即，
∴，，
∴，
即点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且．
①由结论及图，可得与点关于线段等角等距的点是点B，C．
②如图，当时，圆上不存在一点满足题意；
当时，由图可知，满足题意；
当时，过点F作轴于点N，有
，，
∴，
∴，
由题意，可知关于线段等角等距，即的垂直平分线与线段（不包括端点）有交点，有
由成立，
∴
即，
，
∴，
即或（无解）
∴，
综上所述，．
（2）当时，的垂直平分线为直线；
当时，的垂直平分线为第一，三象限的角平分线；
如图，可知，当时，总有点与关于线段等角等距．
当时，过点O作垂直于的垂直平分线于点A，延长与圆的交点即为H，如图，有，，，
即，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
，
∴，
由，得，
由得
，
，
∴，解得，
由得．
综上所述，或
20．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，对于图形，点给出如下定义：图形向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到图形，若图形与图形有且只有一个公共点，称点为图形的“限定点”．
已知点，，
(1)在点，，中，的“限定点”是____．
(2)点在直线上，且点为的“限定点”，则点的坐标为____．
(3)的圆心在轴上，半径为，若上存在点，使得点为的“限定点”，则点的横坐标的取值范围为____．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）可证明平移后点O的对应点即为点P，由于是以O为直角顶点的等腰直角三角形，那么由平移的性质可得平移后的对应图形是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，根据和有且只有一个交点，得到的某一个顶点在的边上或的某一个顶点在的边上，可得点P在六边形的边上，据此求解即可；
（2）根据（1）所求可得点P即为直线与六边形的交点，据此求解即可；
（3）根据（1）所求只需要找到与六边形有交点时m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：当是的“限定点”时，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
综上所述，平移后点O的对应点即为点P，
∵，，
∴，
∴是以O为直角顶点的等腰直角三角形，
∴由平移的性质可得平移后的对应图形是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∵和有且只有一个交点，
∴的某一个顶点在的边上或的某一个顶点在的边上，
如图所示，当点在线段上时，则点P在线段上，；
当点在线段上时，则点P在线段上，；
当点在线段上时，则点P在线段上；
当点在线段上时，则点P在线段上；
当点在线段上时，则点P在线段上；
点在线段上时，则点P在线段上；
综上所述，点P在六边形的边上，
∵在点，，中，只有在六边形的边上，
∴在点，，中，的“限定点”是；
（2）解：∵点在直线上，且点为的“限定点”，
∴由（1）可得点P即为直线与六边形的交点，
在中，当时，，当时，，
∴点P的坐标为或．
（3）解：如图所示，当恰好经过点A时，则，
∴；
如图所示，当与恰好相切时，设切点为N，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当与恰好相切时，同理可得，
∴，
∴；
如图所示，当恰好经过点D时，则时，解得；
∵上存在点，使得点为的“限定点”，
∴与六边形有交点，
∵当或时，与六边形有交点，
∴点C的横坐标m的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化平移，切线的性质，求一次函数的函数值，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确推出点P的轨迹是解题的关键．
21．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，点是上一点．对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点．如图，已知点．
(1)点是上的动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_______；
(2)设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过．
在上述条件下，________；
当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围；
当在轴的正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；；．
【分析】（）根据新定义可得在为圆心，为半径的圆上，进而根据点的坐标到)的距离为，即可求解；
（）根据一次函数的性质即可求出的值；
线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移得出，则，由线段经过反射平移后与轴的夹角不变，所以，进而得出，结合图形即可求解；
当与相切时，为临界值，延长交于点，作轴，则，，，求出，根据 ，再解方程．
【详解】（1）解：由点关于的对称点，
∵，
∴在为圆心，为半径的圆上，如图所示，
∵，，， ，
∴根据图形可知，在上，
故答案为：，；
（2）解：∵经过点，
∴当时，，
故答案为：；
∵，
∴，
如图所示，线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移，
当时，，
则，
∴，
∴，
∴，
∵线段经过反射平移后与轴的夹角不变，
∴，
∴当在上且不与点重合时，连接，则即为等边三角形，
∴
∴，，
结合图形，可得线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部时， ；
如图所示，当与相切时，为临界值，延长交于点，作轴，则，，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
解得，
∴线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，的半径的取值范围为．
【点睛】本题考查了圆的综合应用，几何新定义，中心对称与平移变换，一次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，勾股定理，理解题意，熟练掌握以上知识掌握是解题的关键．
22．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，对于的弦（非直径）和圆外一点，给出如下定义：若弦所对的劣弧上存在两点（可与重合），使直线与相切，则称点是关于的“切弧点”．
(1)如图，的半径为1，点，．
①在点中，关于的“切弧点”是___________；
②直线经过点（0，2），且与轴垂直，点在上．若直线上存在关于的“切弧点”，记点的横坐标为，直接写出的取值范围；
(2)已知点．若存在半径为的，使得对于上任意一点，都存在的长为的弦，满足点是关于的“切弧点”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，根据“切弧点”确定“切弧点”所在的区域是解题的关键．
（1）①根据“切弧点”的定义画出“切弧点”所在的区域，然后结合图形即可解答；②先根据“切弧点”确定“切弧点”所在的区域，再通过勾股定理、等面积法求得，设，则，然后根据勾股定理求得，即，再结合“切弧点”的定义即可解答；
（2）如图：过作，通过解直角三角形可得，再根据垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质可得，进而得到，解得：；最后再结合“切弧点”的定义即可解答．
【详解】（1）解：①分别过A、B作圆的切线，由“切弧点”的定义可知：两切线与弦所对的劣弧形成的图形上的点都是“切弧点”．则是“切弧点”．
故答案为：．
②由题意可知：“切弧点”在过A点的切线上 由于在弦上存在两点M、N，与外一点Q相切，使直线与⊙O相切，则等价于C点从A出发缓慢移动，在运动过程中，OC的切线与过A点的切线的交点扫过的区域，即为“切弧点”的所在的区域．
当“切弧点”在这条直线上，画出“切弧点”的所在的区域如图所示：
由题意可知：，
∴，
∵，
∴，解得：．
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，解得：，即
∵切弧点在略弧上，
∴，
∴m的取值范围为．
（2）解：如图：过作，
∵．
∴，
∴，即，
∴，
由（1）可知切弧点所在的区域过弦的端点作的切线与该弦所对劣弧围成的区域．由于随着弦的运动，切弧点所在的区域即为圆环对应的区域(如图示)．
由垂径定理可知： ，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴圆环的宽度为，即，
∵存在，对于上任意一点S，满足点S是关于的“切弧点”，即切弧点所在的区域（圆弧）需完全覆盖，由于位置固定、T位置可变，可通过相对运动转化固定圆环，如图：让可以不同方式“进入”圆环区域，确保圆环区域以最小宽度全部覆盖，即，解得：；
∵圆环的宽度不能为圆的直径，即，
∴的取值范围为．
23．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知点，线段轴于点为平面内一条线段，将点绕点旋转后得到点．若点到点的距离为1，则称线段为点的“隐圆线段”．

(1)若点在轴上时，点的“隐圆线段”长为_____________；
(2)求点的“隐圆线段”长的最大值；
(3)若点的“隐圆线段”所在直线为，直接写出的取值范围．
【答案】(1)和
(2)3
(3)
【分析】（1）由点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，得到或．由中心对称得到点D是线段的中点，因此可得点D的坐标，根据两点间的距离公式即可求解；
（2）连接，取的中点，连接，，则，由三角形中位线的性质得到，因此点D在以点为圆心，半径的圆上运动，根据“一箭穿心”模型即可解答；
（3）由（2）可知点D在上运动，又直线过点B，因此，过点B作的切线，切点分别为点M，N，设直线的解析式为，直线的解析式为，则．根据相似三角形的判定及性质，待定系数法分别求出，即可解答．
【详解】（1）解：∵点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，
∴或．
①当点C为时，
∵点绕点旋转后得到点，
∴点D是线段的中点，
∵，
∵线段轴于点，
∴，
∴．
②当点C为时，
∵点绕点旋转后得到点，
∴点D是线段的中点，
∵，
∵线段轴于点，
∴，
∴．
综上所述，点A的“隐圆线段”长为或．
（2）解：连接，取的中点，连接，
∵，
∴点C在以点O为圆心，半径为1的圆上运动，
∵点D是的中点，点E是的中点，
∴，
∴点D在以点为圆心，半径的圆上运动，
∴，
∴的最大值为，
即点的“隐圆线段”长的最大值为3．
（3）解：由（2）可知点D在上运动，
又点的“隐圆线段”所在直线为，
∴直线过点B，
∴如图，过点B作的切线，切点分别为点M，N，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴．
①连接，过点E作轴，交于点F，过点F作轴于点G，
由（2）有，，
∴在中，，
∵，轴， 轴，
∴，
设，则，
∵轴，
∴，
∵与相切于点M
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，即，
∴把点，代入直线的解析式，得
，解得．
②连接，过点E作轴，交于点H，交于点K，
∴，，，
∵，是的切线，
∴，，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∴把点，代入直线的解析式，得
，解得．
综上，．
【点睛】本题考查中心对称图形的性质，两点间的距离公式，三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点到圆上的点的最短距离，相似三角形的判定及性质，切线的性质，待定系数法等，综合运用相关知识是解题的关键．