河南郑州市第四高级中学等校2026届高三下学期高考适应性考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南郑州市第四高级中学等校2026届高三下学期高考适应性考试数学试题（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了 设 ， ， ，则， 已知复数 为纯虚数，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在试卷､答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 样本数据 的中位数为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，既满足 ，又满足 的为（ ）
A. B.
C D.
5. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知球 的半径为1，圆柱 的上､下底面圆周都在球 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（
）
A. B. C. D.
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7. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在 上，且满足
，则 的离心率为（ ）
A B. C. D.
8. 在 中， ，则 的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知复数 为纯虚数，则（ ）
A. B.
C. D.
10 已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为 2
C. 在区间 上单调递增
D. 当 时，
11. 正方体 棱长为 ，下列说法中正确的有（ ）
A. 若点 在底面 （含边界）内，且 ，则 的轨迹的长度为
B. 空间中，点 满足 ，则 的轨迹与正方体表面的交线长度为
C. 平面 截正方体所得截面多边形是直角梯形
D. 平面 将正方体分成两个几何体的体积分别为 ，且 ，则
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
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12. 曲线 在点 处的切线方程为__________.
13. 已知 为坐标原点，过点 的直线与抛物线 交于 两点，若 ，则
__________．
14. 已知数列 共有 项， .若 ，且 ，
则这样的数列 的个数为__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图， 是 的直径， 垂直于 所在的平面， 为圆周上不同于 的点，
.
（1）若 为 的中点，证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
16. 已知双曲线 左焦点为 ，右顶点为 ，渐近线方程为 ，点
在直线 上.
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线与 相切于点 （异于点 ），证明： .
17. 已知数列 首项 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）证明： （ 为自然对数的底数）.
18. 某学校围棋社团举行选拔赛，甲､乙､丙､丁四人角逐冠军，有以下 2 种方案：
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方案 1 甲､乙､丙､丁四人由抽签决定两两对阵，失败者被淘汰，获胜者进入决赛，决出冠军.
方案 2 甲､乙､丙､丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军.
第一轮：抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组；
第二轮：胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰；
第三轮：胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰；
第四轮：第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军.
设甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为 ，任意两人对阵无平局，且不同对阵的结果相互独立.
（1）如果采用方案 1，当 时，求甲获得冠军的概率；
（2）如果采用方案 2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.当 时，求甲参与对阵的比赛场数的
数学期望；
（3）采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明.
19. 已知 为坐标原点，点 的坐标为 ，以 为圆心的单位圆的上半部分（含端点）记为曲线 是
上异于 的任意一点.设 ，弦 的长与 的长的比值记为 .
（1）求 的最小值；
（2）令 ，讨论 的零点个数；
（3）若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.