2026北京朝阳区高三下学期一模试题数学含解析

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2026.3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集，集合满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的实部与虚部的和是（ ）
A. B. C. 0D. 2
3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A 10B. 15C. 20D. 25
4. 已知向量，，.若，，三点共线，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
5. 设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（ ）
A. B. C. 2D.
6. 已知函数（），则的所有零点之和为（ ）
A. B. C. D.
7. 设，，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
9. 某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率.现有两种学习率衰减策略和，初始学习率相同，策略的参数为，，策略的参数为，.已知当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的2倍，当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的8倍，则（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
10. 已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（ ）
A. 50B. 51C. 52D. 53
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在的展开式中，常数项是__________．（用数字作答）
12. 已知抛物线，则准线的方程为______；若圆分别与直线和轴都相切，且圆心在上，则圆的半径为______.
13. 已知点，点（，）为圆：上的动点，若，则的一个取值为______.
14. 已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥.当平面平面时，______；当平面平面时，三棱锥的体积为______.
15. 设无穷数列的前项和为，且对于任意，（且），给出下列四个结论：
①存在，使得是常数列；
②任意，不是递增数列；
③存在，使得是周期数列（即存在，对任意，）；
④任意，既有最大值，又有最小值.
其中正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，.
（1）求；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得满足条件有两个，求这两个三角形的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，点是的中点，平面与交于点.
（1）求证：；
（2）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图：
现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立.
（1）求的值；
（2）从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望；
（3）该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明）
19. 已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点.
20. 已知函数，，其中.
（1）求的最大值；
（2）若区间上有且只有一个零点，证明：在区间上有且只有一个零点，且；
（3）对于（2）中的，证明：.
21. 若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列：
①，，…，是1，2，…，的一个排列；
②，，…，是1，2，…，的一个排列.
（1）判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由；
（2）若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列；
（3）若数列：，，…，（）为数列，求的最小值.