灯塔市2025年高三冲刺模拟数学试卷含解析

这是一份灯塔市2025年高三冲刺模拟数学试卷含解析，共18页。试卷主要包含了已知集合，则为，函数在的图像大致为，阿基米德等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
2．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
6．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．已知集合，则为（ ）
A．[0，2)B．(2，3]C．[2，3]D．(0，2]
9．函数在的图像大致为
A．B．C．D．
10．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）
A．B．C．D．
11．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之________．
14．已知，则_____。
15．锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______.
16．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在三棱锥中，为棱的中点，
(I)证明：；
(II)求直线与平面所成角的正弦值.
18．（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:
已知变量且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲； 乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取个，求“理想数据”的个数的分布列和数学期望.
19．（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计，两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：
市场：
市场：
把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产吨该产品，在、两市场同时销售，以（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.
（1）求的概率；
（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量吨还是吨?并说明理由.
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，且过的直线与椭圆交于两点，设且 .
（1）求点的坐标；
（2）求的取值范围.
21．（12分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．
（1）求实数的值；
（2）用表示中的最小值，设函数，若函数
为增函数，求实数的取值范围．
22．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O.
（1）求证：OE∥平面PBC；
（2）求三棱锥E﹣PBD的体积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.
【详解】
根据题意，故只需把函数的图象
上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.
本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.
2．C
【解析】
由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.
【详解】
由，可得，
可得，
通分得，
整理得，所以，
因为为三角形的最大角，所以，
又由余弦定理
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
又由，所以的取值范围是.
故选：C.
本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.
3．B
【解析】
分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以 ，化简整理得
详解： ，故选B
点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题.
4．D
【解析】
可求出集合，，然后进行并集的运算即可．
【详解】
解：，；
．
故选．
考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．
5．D
【解析】
可以是共4个，选D.
6．C
【解析】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.
【详解】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，
在中，，故，即.
故选：.
本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.
7．D
【解析】
推导出，且，，，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．
【详解】
解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，，且，由为等腰直角三角形可知，
，设中点为，则平面，∴，
∴，解得.
故选：D
本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.
8．B
【解析】
先求出，得到，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合，
所以，则，
所以.
故选：B.
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
9．B
【解析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
10．C
【解析】
设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.
【详解】
设球的半径为R，
根据题意圆柱的表面积为，
解得，
所以该球的体积为 .
故选：C
本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.
11．B
【解析】
画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，，故，且.
故.
故选：.
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.
12．D
【解析】
由可得，所以，由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知在上单调递增，注意到，再利用函数单调性即可解决.
【详解】
因为在上是奇函数.所以，解得，所以当时，
，且时，单调递增，所以
在上单调递增，因为，
故有，解得.
故选：D.
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．91
【解析】
设共有选票张，且票对应张数为，由此可构造不等式组化简得到，由投票有效率越高越小，可知，由此计算可得投票有效率.
【详解】
不妨设共有选票张，投票的有，票的有，票的有，则由题意可得：
，化简得：，即，
投票有效率越高，越小，则，，
故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为．
故答案为：.
本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.
14．
【解析】
由已知求，再利用和角正切公式，求得，
【详解】
因为所以cs
因此.
本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。
15．
【解析】
由余弦定理，正弦定理得出，从而得出，推出的范围，由余弦函数的性质得出的范围，再利用二倍角公式化简，即可得出答案.
【详解】
由题意得
由正弦定理得
化简得
又为锐角三角形，
则，，
.
故答案为
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.
16．
【解析】
由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．
【详解】
解：如图，
直线过定点，，
而抛物线的焦点为，，
弦的中点到准线的距离为，
则弦的中点到直线的距离等于．
故答案为：．
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (I)证明见解析；(II)
【解析】
(I) 过作于，连接，根据勾股定理得到，得到平面，得到证明.
(II) 过点作于，证明平面，故为直线与平面所成角，计算夹角得到答案.
【详解】
(I)过作于，连接，根据角度的垂直关系易知：
，，，故，
，.
根据余弦定理：，解得，故，
故，，，故平面，平面，
故.
(II)过点作于，
平面，平面，故，，，
故平面，故为直线与平面所成角，
，根据余弦定理：，
故.
本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
18．（1）乙同学正确
（2）分布列见解析，
【解析】
（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点代入验证，即可得出结论；
（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.
【详解】
（1）已知变量具有线性负相关关系，故甲不正确，
，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数的取值为:.
，
，
于是“理想数据”的个数的分布列
本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
19．（1）；（2）吨，理由见解析
【解析】
（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，由题可得，，，，，，代入，计算可得答案；
（2）可取180，190，200，210，220，求出吨和吨时的期望，比较大小即可.
【详解】
（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，则
，，，
，，，
；
（2）可取180，190，200，210，220，
当时，
当时，
.
，
时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量吨.
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）设出的坐标，代入，结合在抛物线上，求得两点的横坐标，进而求得点的坐标.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】
（1）可知，
设
则，
又，
所以
解得
所以.
（2）据题意，直线的斜率必不为
所以设将直线方程代入椭圆的方程中，
整理得，
设
则①
②
因为
所以且
将①式平方除以②式得
所以
又解得
又，
所以
令，
则
所以
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.
21．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.
试题解析：
（1）对求导得．
设直线与曲线切于点，则
，解得，
所以的值为1．
（2）记函数，下面考察函数的符号，
对函数求导得．
当时，恒成立．
当时，，
从而．
∴在上恒成立，故在上单调递减．
，∴，
又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．
∴；，，
∴，
从而，
∴，
由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．
①当时，在上恒成立，即在上恒成立，
记，则，
当变化时，变化情况列表如下：
∴，
故“在上恒成立”只需，即．
②当时，，当时，在上恒成立，
综合①②知，当时，函数为增函数．
故实数的取值范围是
考点：函数导数与不等式.
【方法点晴】
函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接OE，利用三角形中位线定理得到OE∥PC，即可证出OE∥平面PBC；
（2）由E是PA的中点，，求出S△ABD，即可求解.
【详解】
（1）证明：如图所示：
∵点O，E分别是AC，PA的中点，
∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PC，
又∵OE平面PBC，PC平面PBC，
∴OE∥平面PBC；
（2）解：∵PA＝AB＝4，∴AE＝2，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴S△ABD，
∴三棱锥E﹣PBD的体积
.
本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.
“我身边的榜样”评选选票
候选人
符号
注：
1．同意画“○”，不同意画“×”．
2．每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票．
甲
乙
丙
试销价格(元)
产品销量 (件)
需求量（吨）
90
100
110
频数
20
50
30
需求量（吨）
90
100
110
频数
10
60
30
3
0
极小值