营口市2025-2026学年中考四模数学试题（含答案解析）

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1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．在一组数据：1，2，4，5中加入一个新数3之后，新数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ）
A．中位数不变，方差不变B．中位数变大，方差不变
C．中位数变小，方差变小D．中位数不变，方差变小
2．如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（ ）
A．﹣1 B．2 C．0 D．﹣3
4．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，-1），C（2，2），抛物线y=ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A． 或
B． 或
C． 或
D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． +＝B．﹣＝C．×＝6D．＝4
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③3a+c=0；④若（x1，y1）（x2、y2）在函数图象上，当0＜x1＜x2时，y1＜y2，其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③C．①②③D．①③④
7．下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8．不等式组的解集为．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．若代数式2x2+3x﹣1的值为1，则代数式4x2+6x﹣1的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．分解因式：2x2﹣8=_____________
12．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE＝______．
13．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为__________．
14．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是__________．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD=5，则EF的长为________．
16．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .

17．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，依次得到点P1（0，1）；P2（1，1）；P3（1，0）；P4（1，﹣1）；P5（2，﹣1）；P6（2，0）……，则点P2019的坐标是_____．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A（2，﹣1），B（，n）两点，直线y=2与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积.
19．（5分）清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？
译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DB⊥AB，点E是BC边的中点，过点E作EF⊥CD，垂足为F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：四边形BDFG是矩形；
（2）若AE平分∠BAD，求tan∠BAE的值．
21．（10分）某花卉基地种植了郁金香和玫瑰两种花卉共 30 亩，有关数据如表：
（1）设种植郁金香 x 亩，两种花卉总收益为 y 万元，求 y 关于 x 的函数关系式．（收益=销售额﹣成本）
（2） 若计划投入的成本的总额不超过 70 万元，要使获得的收益最大，基地应种植郁金香和玫瑰个多少亩？
22．（10分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
求证：△ECG≌△GHD；
23．（12分）某生姜种植基地计划种植A,B两种生姜30亩.已知A,B两种生姜的年产量分别为2000千克/亩、2500千克/亩,收购单价分别是8元/千克、7元/千克.
(1)若该基地收获两种生姜的年总产量为68000千克,求A,B两种生姜各种多少亩?
(2)若要求种植A种生姜的亩数不少于B种的一半,那么种植A,B两种生姜各多少亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多?最多是多少元?
24．（14分）有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后， 能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”．
（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解析】
根据中位数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的中位数和方差，从而做出判断．
【详解】
∵原数据的中位数是=3，平均数为=3，
∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=；
∵新数据的中位数为3，平均数为=3，
∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2；
所以新数据与原数据相比中位数不变，方差变小，
故选：D．
本题考查了中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义．
2、A
【解析】
分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
详解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，
故选：A．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3、D
【解析】
解：∵－1＜－1＜0＜2，∴最小的是－1．故选D．
4、B
【解析】
试题解析：如图所示：
分两种情况进行讨论：
当时，抛物线经过点时，抛物线的开口最小，取得最大值抛物线经过△ABC区域（包括边界），的取值范围是：
当时，抛物线经过点时，抛物线的开口最小，取得最小值抛物线经过△ABC区域（包括边界），的取值范围是：
故选B.
点睛：二次函数 二次项系数决定了抛物线开口的方向和开口的大小，
开口向上，开口向下.
的绝对值越大，开口越小.
5、B
【解析】
根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把 化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断．
【详解】
解：A、与不能合并，所以A选项不正确；
B、-=2−=，所以B选项正确；
C、×=，所以C选项不正确；
D、=÷=2÷=2，所以D选项不正确．
故选B．
此题考查二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．
6、B
【解析】
∵函数图象的对称轴为：x=-==1，∴b=﹣2a，即2a+b=0，①正确；
由图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，②错误；
由图象可知，当x=1时，y=0，∴a﹣b+c=0，
∵b=﹣2a，∴3a+c=0，③正确；
∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，
∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2；
故④错误；
故选B．
点睛：本题主要考查二次函数的相关知识，解题的关键是：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理．
7、C
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．
故选C．
掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
8、B
【解析】
求出不等式组的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】
解：解不等式组，得．
∵不等式组的解集为x＜2，
∴k＋1≥2，
解得k≥1．
故选：B．
本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式组的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．
9、B
【解析】
分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
10、D
【解析】
由2x2+1x﹣1＝1知2x2+1x＝2，代入原式2（2x2+1x）﹣1计算可得．
【详解】
解：∵2x2+1x﹣1＝1，
∴2x2+1x＝2，
则4x2+6x﹣1＝2（2x2+1x）﹣1
＝2×2﹣1
＝4﹣1
＝1．
故本题答案为：D.
本题主要考查代数式的求值，运用整体代入的思想是解题的关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、2（x+2）（x﹣2）
【解析】
先提公因式，再运用平方差公式.
【详解】
2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.
12、2
【解析】
试题解析：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E.
在直角△OCE中,
则AE=OA−OE=5−3=2.
故答案为2.
13、．
【解析】
连接CD，根据题意可得△DCE≌△BDF，阴影部分的面积等于扇形的面积减去△BCD的面积．
【详解】
解：连接CD，
作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=．
则扇形FDE的面积是：．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
则在△DMG和△DNH中， ，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=．
则阴影部分的面积是：．
故答案为：．
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．
14、
【解析】
根据概率的公式进行计算即可.
【详解】
从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是.
故答案为：.
考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
15、5
【解析】
已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．
【详解】
∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD= AB，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB=2CD=2×5=10，
∴EF=×10=5.
故答案为5.
本题主要考查三角形中位线定理， 直角三角形斜边上的中线,熟悉掌握是关键.
16、2
【解析】
试题分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC的面积为6；再根据反比例函数系数k的几何意义，可知k=6，∴反比例函数的解析式为；设正方形ADEF的边长为a，则点E的坐标为（a+1，a），∵点E在抛物线上，∴，整理得，解得或（舍去），故正方形ADEF的边长是2.
考点：反比例函数系数k的几何意义．
17、（673，0）
【解析】
由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，据此可解．
【详解】
解：由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，
∵2019÷3＝673，
∴P2019 （673，0）
则点P2019的坐标是 （673，0）．
故答案为 （673，0）．
本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．本题难度中等偏上.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）y=2x﹣5，；（2）．
【解析】
试题分析：（1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，再将B坐标代入求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）用矩形面积减去周围三个小三角形的面积，即可求出三角形ABC面积．
试题解析：（1）把A（2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m=﹣2，∴反比例解析式为，把B（，n）代入反比例解析式得：n=﹣4，即B（，﹣4），把A与B坐标代入y=kx+b中得：，解得：k=2，b=﹣5，则一次函数解析式为y=2x﹣5；
（2）
如图，
S△ABC=
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数及其应用；反比例函数及其应用．
19、每亩山田产粮相当于实田0.9亩，每亩场地产粮相当于实田亩．
【解析】
设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩;又山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，列二元一次方程组求解．
【详解】
解：设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩．
可列方程组为
解得
答：每亩山田相当于实田0.9亩，每亩场地相当于实田亩．
20、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据矩形的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：（1）∵BD⊥AB，EF⊥CD，
∴∠ABD＝90°，∠EFD＝90°，
根据题意，在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD＝90°，
∴BD∥GF，
∴四边形BDFG为平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴四边形BDFG为矩形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∵在Rt△BCD中，点E为BC边的中点，
∴BE＝ED＝EC，
∵在▱ABCD中，AB＝CD，
∴△ECD为等边三角形，∠C＝60°，
∴，
∴．
本题考查了矩形的判定、等边三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和等边三角形的性质解答是解题关键．
21、（1）y = 0.1x + 15，（2）郁金香 25 亩，玫瑰 5 亩
【解析】
（1）根据题意和表格中的数据可得到y关于x的函数；
（2）根据题意可列出相应的不等式，再根据（1）中的函数关系式即可求解.
【详解】
（1）由题意得y=（3-2.4）x-（2.5-2）（30-x）=0.1x+15
即y关于x的函数关系式为y=0.1x+15
（2）由题意得2.4x+2（30-x）≤70
解得x≤25，
∵y=0.1x+15
∴当x=25时，y最大=17.5
30-x=5，
∴要使获得的收益最大，基地应种植郁金香25亩和玫瑰5亩.
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意进行列出关系式与不等式进行求解.
22、见解析
【解析】
依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD．
【详解】
证明：∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG 平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FAG，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG．
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∵F 是 AD 的中点，FG∥AE，
∴H 是 ED 的中点
∴FG 是线段 ED 的垂直平分线，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD．（AAS）．
本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
23、（1）种植A种生姜14亩,种植B种生姜16亩；(2) 种植A种生姜10亩,种植B种生姜20亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多,最多为510000元.
【解析】
试题分析：（1）设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜（30-x）亩，根据：A种生姜的产量+B种生姜的产量=总产量，列方程求解；
（2）设A种生姜x亩，根据A种生姜的亩数不少于B种的一半，列不等式求x的取值范围，再根据（1）的等量关系列出函数关系式，在x的取值范围内求总产量的最大值．
试题解析：(1)设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜(30-x)亩，
根据题意，2000x+2500(30-x)=68000，
解得x=14，
∴30-x=16，
答:种植A种生姜14亩，种植B种生姜16亩；
(2)由题意得，x≥(30-x)，解得x≥10，
设全部收购该基地生姜的年总收入为y元，则
y=8×2000x+7×2500(30-x)=-1500x+525000，
∵y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值，
此时，30-x=20，y的最大值为510000元，
答：种植A种生姜10亩，种植B种生姜20亩时，全部收购该基地生姜的年总收入最多，最多为510000元.
【点睛】本题考查了一次函数的应用．关键是根据总产量=A种生姜的产量+B种生姜的产量，列方程或函数关系式．
24、 (1)见解析；(2) 201，207，1
【解析】
试题分析：（1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；
（2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b的可能值，进而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．
试题解析：
（1）设两位自然数的十位数字为x，则个位数字为2x，
∴这个两位自然数是10x+2x=12x，
∴这个两位自然数是12x能被6整除，
∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x
∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x能被7整除，
∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）∵三位自然数是3的一个“轮换数”，且a=2，
∴100a+10b+c能被3整除，
即：10b+c+200能被3整除，
第一次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a能被4整除，
即100b+10c+2能被4整除，
第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b能被5整除，
即100c+b+20能被5整除，
∵100c+b+20能被5整除，
∴b+20的个位数字不是0，便是5，
∴b=0或b=5，
当b=0时，
∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+2能被4整除，
∴c只能是1，3，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为201，203，205，207，209，
而203，205，209不能被3整除，
∴这个三位自然数为201，207，
当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+502能被4整除，
∴c只能是1，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为251，1，257，259，
而251，257，259不能被3整除，
∴这个三位自然数为1，
即这个三位自然数为201，207，1．
【点睛】此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．
成本
（单位：万元/亩）
销售额
（单位：万元/亩）
郁金香
2.4
3
玫瑰
2
2.5