河南省周口市部分学校2026届高三下学期3月份联考数学试卷含解析（word版）

这是一份河南省周口市部分学校2026届高三下学期3月份联考数学试卷含解析（word版），共20页。
【1】第 1∼8 题,凡与答案不符的均不得分.
【2】第 9 ～11 题，全部选对的得 6 分，有选错的不得分，部分选对的得部分分(第 9 题，每选对一个得 2 分，第 10，11 题，每选对一个得 3 分).
【3】第 12 题的结果还可以写成 0.5 .
1.B
由 y=x,y=x, 解得 x=1,y=1 或 x=0,y=0, 所以 A∩B={1,1,0,0} ,有 2 个元素,所以集合 A∩B 的子集个数为 4 .
2.C
对于 p 而言, x2−x−1=x2−x+1=x−122+34>0 ,故 p 是真命题, ¬p 是假命题.
对于 q 而言,当 x1 ,所以 30.01>lg72>13 ,
又因为当 x1,x2∈0,+∞ 且 x1≠x2 时,不等式 x1−x2fx1−fx2>0 恒成立,所以 fx 在 0,+∞ 上单调递增,则 f30.01>flg122>f13 ,即 b>a>c .
7.D
记第 i 行第 j 列的数为 aij ,则 a11=0,a23=80,a35=20,a42=160,a51=m ,设第一行、第一列的公差分别为 a,b ,则 a33=10+b,a22=40+b2,a32=32b+5 ,由 a33+a13=2a23,a12+a42= a32+a22 ,所以 2a+10+b=160,160+a=2b+45, 得 a=37,b=76, 通过计算,每行每列如图所示,所以 m=a51= 304, 故选 D.
8.B
设 Ax1,y1,Bx2,y2,M 为 AB 的中点,则 x124−y122=1,x224−y222=1,∴x12−x224−y12−y222=0 ,即 y1−y2x1−x2⋅y1+y22x1+x22=24=12,
∴kOM⋅kAB=12 ,这表明 △AOB 中, AB 边上中线的斜率与 AB 的斜率之积为 12 ,
∴kCG1⋅kAD=kCG2⋅kBD=kAB⋅kCG3=12 ,
∴kCG1⋅kAD⋅kCG2⋅kBD⋅kAB⋅kCG3=kCG1⋅kCG2⋅kCG3⋅kAD⋅kBD⋅kAB=18 ,
又 ∵AD⊥BD,∴kAD⋅kBD=−1 ,
∴2kCG1⋅kCG2⋅kCG3=18,∴kCG1⋅kCG2⋅kCG3=116 ,故选 B.

9.BCD
对于 A,B 选项,以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D0,0,0,A2,0,0,G0,2,2,H0,0,2,B2,2,0,∴AG=(−2 , 2,2),BH=−2,−2,2 ,
cs⟨AG,BH⟩=−2×−2+2×−2+2×2−22+22+22×−22+−22+22=423×23=412=13 ,故 B 正确, A 错误.
对于 C 选项,三棱锥 F−AEH 的表面积为 S△FEH+S△FEA+S△AEH+S△FHA=3×12×2×2+ 34×222=6+23 ,故 C 正确.
对于 D 选项,三棱锥 F−AEH 的外接球即为正方体 ABCD−EFGH 的外接球,其半径为正方体体对角线的一半,正方体的棱长为 2,则体对角线为 23 ,故半径 R=3 ,外接球的表面积为 4πR2=4π×32=12π ,故 D 正确.
10. AC 对于 A 选项,由已知条件知点 P 到点 F 的距离与到直线 x=−1 的距离相等,
由抛物线的定义可知点 P 的轨迹为以 F 为焦点,直线 x=−1 为准线的抛物线.
设抛物线的方程为 y2=2pxp>0 ,则 p2=1 ,得 p=2 ,
∴ 点 P 的轨迹方程为 y2=4x . 即曲线 C 为抛物线,故 A 正确.
对于 B 选项,易知 AFBF 可以取任意正实数,故 B 错误.
对于 C 选项,过 A,B 分别作直线 x=−1 的垂线,垂足为 A′,B′ ,则 MM′=12AA′+ BB′)=12AF+BF,∴MM′2AB2=14AF2+BF2+2AF⋅BFAB2,

在 △ABF 中,由余弦定理得 AB2=AF2+BF2−AF⋅BF=AF+BF2− 3AF⋅BF≥AF+BF2−34AF+BF2=14AF+BF2,
当 AF=BF 时,等号成立, ∴MM′2AB2≤1 ,即 MM′AB 的最大值为 1, C 正确.
对于 D 选项, MM′2AB2=14⋅AF+BF2AF+BF2−3AF⋅BF=14 .
11−3AFBFAF+BF2,
令 AFBF=t>0 ,则 AFBFAF+BF2=tt+12=1t+1t+2 ,
根据对勾函数的性质, 1t+1t+2∈0,14,∴MM′2AB2>14×11−0=14 ,则 MM′AB 无最小值, 故 D 错误.
11. AD ∵2zn+1=zn+in,∴zn+1=12zn+12in,zn=12zn−1+12in−1 ,
zn−1=12zn−2+12in−2,zn−2=12zn−3+12in−3,
∴zn+1=116zn−3+116in−3+18in−2+14in−1+12in,
zn+3=116zn−1+116in−1+18in+14in+1+12in+2,
注意到 in+in+2=0,in+in+2=0,∴zn+1+zn+3=116zn−3+zn−1 ,
又 z1=1,∴z2=12+12i,z3=1212−12i−1=−14−14i ,
z4=12−14+14i−i=−18−38i,
∴z2025+z2027=122024z2+z4=12202412+z3=1220241−14−14i=322026−122026i ,
z2026+z2028=122024z2+z4=12202412+12i−18−38i=12202438+18i=322027+122027i,
故 A 正确, B 不正确.
当 n=4k 时,
z4k+1=116z4k−3+38+316i,
∴z4k+1−25+15i=116z4k−3−25+15i ,
∴z4k+1−25+15i=116z4k−3−25+15i ,
∴z4k+1=124k35−15i+25+15i .
当 k 越来越大时, z4k+1 在复平面内对应的点将会越来越靠近定点 25,15 .
当 n=4k+2 时,
z4k+2=116z4k−2+316+38i,
∴z4k+2−15+25i=116z4k−2−15+25i ,
∴z4k+2=124kz2−15+25i+15+25i.
当 k 越来越大时, z4k+2 在复平面内对应的点将会越来越靠近定点 15,25 .
故 C 错误, D 正确.
12. 12 AE=AC+CE=AC−12AB ,所以 x=1,y=−12 ,故 x+y=12 .
13.3+10 由 22a+22b=2a+1+2b+1 ,可得 2a−12+2b−12=2 ,令 2a−1=2csα,2b−1=2sinα , α∈−π4,3π4,2a+2b+1=2csα+1+22sinα+2=10sinα+φ+3,tanφ=12, 所以 2a+2b+1 的最大值为 3+10 .
14. 7128 共有 28 种等可能情况,且正面向上与反面向上的次数均为 4,但对于 1≤n≤8 ,正面向上的次数总是大于或等于反面向上的次数，所以第 1 次必为正面向上，第 8 次必为反面向上，即 a1=1,a8=−1 ,只需在中间 6 次中各填 3 个 1 与 3 个一 1 即可,所有的可能情况共 14 种，如表所示:
故 PA=1428=7128 .
15.解:(1)成绩的平均数 x1=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08= 100. 3 分
方差 s12=−202×0.06+−102×0.26+102×0.22+202×0.08=104 .
据此估计样本成绩的平均数约为 100 分, 方差约为 104. 6 分
(2)由频率分布直方图知,成绩在 [75,85) 内的市民人数为 100×0.06=6 , 7 分成绩在 [85,95) 内的市民人数为 100×0.26=26 , 8 分
所以 z=80×6+88×2632=86.5 , 10 分
s2=66+26×4+80−86.52+266+26×6+88−86.52=1238. 13 分
16.(1)证明:连接 BD,∵ABCD 为正方形， ∴BD⊥AC . 1 分
∵PA⊥ 平面 ABCD,∴PA⊥BD . 2 分
∵PA∩AC=A,∴BD⊥ 平面 PAC . 3 分
又 E,F 分别为 PD,PB 的中点, ∴EF//BD , 4 分
∴EF⊥ 平面 PAC . 6 分
(2)解: ∵PA⊥ 平面 ABCD ， ∴PA⊥AB,PA⊥AD ，又 ∵ABCD 为正方形， ∴AB⊥AD .
以 A 为原点, AB,AD,AP 的方向分别为 x,y,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, A0,0,0,P0,0,4,B2,0,0,D0,2,0,E0,1,2,F1,0,2,∴AE=0,1,2 , AF=1,0,2,BE=−2,1,2,BF=−1,0,2 . 8 分

设平面 AEF 的法向量为 n=x1,y1,z1 ,
∴y1+2z1=0,x1+2z1=0,
令 z1=1 ,则 x1=y1=−2 ,
∴ 平面 AEF 的一个法向量为 n=−2,−2,1 . 10 分设平面 BEF 的法向量为 m=x2,y2,z2 ,
∴−2x2+y2+2z2=0,−x2+2z2=0,
令 z2=1 ,则 x2=y2=2 ,
∴ 平面 BEF 的一个法向量为 m=2,2,1 . 12 分设平面 BEF 与平面 AEF 所成的二面角为 θ ,
则 csθ=m⋅nmn=79 . 14 分
∴sinθ=429 ,
∴ 平面 AEF 与平面 BEF 所成二面角的正弦值为 429 . 15 分
17.(1)证明:由二倍角公式及正弦定理得 sinB+sinCsinB=2csA+2 ,
即 sinC−sinB=2csAsinB , 2 分
又 A+B+C=π ,所以 sinC=sinA+B , 3 分
则 sinA+B−2sinBcsA=sinAcsB−csAsinB=sinA−B=sinB , 4 分所以 A−B=B 或 A−B+B=π (舍去),即 A=2B . 6 分
(2)解:由 C=π2,AB=4 ，可知 A=π3,B=π6,a=23,b=2 . 7 分
如图，设 ∠ACD=θ00 时,令 f′x>0 ,解得 x>12lnk2 ,
所以 fx 在 −∞,12lnk2 上单调递减,在 12lnk2,+∞ 上单调递增. 5 分
(2)解:显然 x=0 是方程 fx=x−1 的一个解,故方程 fx=x−1 在 0,+∞ 上无解. 6 分
① 当 x≥1 时， e2x=x−1+kx ，得 k=e2xx−1+1x ， 7 分
令 gx=e2xx−1+1x ,则 g′x=2xe2x−e2xx2−1x2=e2xx−1+xe2x−1x2>0 ,
所以 gx 在 [1,+∞) 上为增函数,所以 gxmin=g1=e2 .
若函数 y=fx−x−1−kx 在 [1,+∞) 上没有零点，则 k1 ,则 ℎ′t=1t−4t+12=t−12tt+12>0 ,所以 ℎt 在 (1 , +∞) 上单调递增,所以 ℎt>ℎ1=0 ,即 lnt>2⋅t−1t+1 .
综上, x1+x2>1 . 17 分
19.证明: (1) 依题意易得 x0≠0 . 由 x0x2+y0y=1,x22+y2=1, 消去 x ,整理得 x02+2y02y2−4y0y+2− x02=0, 1 分又 x022+y02=1,∴2y2−4y0y+2−x02=0 , 2 分 Δ=4y02−4×2×2−x02=16y02+8x02−16=16−16=0. 3 分
∴ 直线 x0x2+y0y=1 与椭圆 x22+y2=1 有且仅有一个交点, 4 分
又点 Px0,y0 的坐标满足 x0x2+y0y=1 , ∴ 切线 PQ 的方程为 x0x2+y0y=1 . 5 分
(2)直线 PQ 的方程为 x0x2+y0y=1 ，令 y=0 ，则 x=2x0 ，得 Q2x0,0 . 6 分
已知 F1−1,0,F21,0 ,直线 PF1 的方程为 y=y0x0+1x+1 ,即 y0x−x0+1y+y0 =0 ,直线 PF2 的方程为 y=y0x0−1x−1 ,即 y0x−x0−1y−y0=0 , 7 分点 Q 到直线 PF1 的距离 d1=2y0x0+y0y02+x0+12=y0⋅x0+2x01−x022+x0+12=y0⋅x0+2x012x0+22=y0⋅x0+2x012x0+22= 2y0x0 8 分
点 Q 到直线 PF2 的距离 d2=2y0x0−y0y02+x0−12=y0⋅2−x0x01−x022+x0−12=y0⋅2−x0x012x0−22=y0⋅x0−2x012x0−22= 2y0x0,∵d1=d2,∴PQ 为 ∠F1PF2 的外角平分线. 9 分
(3)设 B1x1,y1 ， B2x2,y2 ， O 为坐标原点， ∵B1F1⊥PQ ， B2F2⊥PQ ， ∴ 直线 B1F1 和直线 B2F2 的方程分别为 y=2y0x0x+1,y=2y0x0x−1 . 10 分由 x0x2+yy0=1,y=2y0x0x+1, 解得 x1=2x0−4y024y02+x02=2x02+2x0−44−x02=2x0−22−x0 , 11 分 y1=2−2x0−22−x0x02y0=4−2x0−2x02+2x02y02−x0=22−x024−x02=2×2y022y02−x0=2×2y022−x0, 12 分由 x0x2+yy0=1,y=2y0x0x−1, 解得 x2=2x0+4y024y02+x02=2x0+4−2x024−x02=2x0+22+x0 , 13 分 y2=2−2x0+22+x0x02y0=4+2x0−2x02−2x02y02+x0=22−x022y02+x0=2y02+x0, 14 分
∴B12x0−22−x0,2y02−x0,B22x0+22+x0,2y02+x0 ,
∴OB12=4x02−2x0+1+4y022−x02=4x02−8x0+4+4−2x022−x02=2x02−8x0+82−x02=2 ,
同理 OB22=2 . 16 分
A1−2,0,A22,0 ,
∴OB1=OB2=OA1=OA2 ,
∴A1,A2,B2,B1 四点共圆. 17 分题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
B
C
D
C
A
A
D
B
BCD
AC
AD
12
3+10
7128
0
37
74
111
148
76
78
80
82
84
152
119
86
53
20
228
160
92
24
-44
304
201
98
-5
-108
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
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-1
1
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1
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1
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1
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1
1
1
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1
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1
-1
1
1
-1
-1
1