山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期1月期末考试 数学 含解析

这是一份山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期1月期末考试 数学 含解析，共6页。试卷主要包含了01， 已知，，且，则x的值为， 已知数列满足等内容，欢迎下载使用。
数学试题
2025.01
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知，，且，则x的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解.
【详解】因为，
所以，
解得.
故选：B
2. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方向向量写出直线斜率，再由点斜式写出直线方程.
【详解】由l的一个方向向量为，则其斜率为，
所以直线l的方程为，则.
故选：C
3. 在公差不为0的等差数列中，若，则k的值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式化简得到，即可得的值.
【详解】因为，所以，
所以，即，故.
故选：C.
4. 预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（ ）
A. 若某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势
B. 若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势
C. 若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化
D. 若在某一时期内，则这期间人口数不变
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数增长的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，时，，所以这期间人口数呈下降趋势，
A选项正确.
BC选项，时，，所以这期间人口数呈上升趋势，
B选项正确，C选项错误.
D选项，时，，，所以这期间人口数不变，
D选项正确.
故选：C
5. 设曲线，的离心率分别为，若，则a＝（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由曲线方程求出离心率，结合求参数即可.
【详解】由题设，，又，
所以且，则.
故选：A
6. 已知数列满足：，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用分段数列的特点，将代入，求出的项判断奇偶后继续代入即可求出.
【详解】数列满足：，，
则，所以，
则，所以，
则，所以，
，所以.
故选：D.
7. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取的中点M，连接，则，得，
取基底，由进行求解．
【详解】如图所示：
取的中点M，连接，
则，
得为二面角的平面角，即，
取基底，
则，
因为，
所以
．
故选：A.
8. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题设知，直线与轴的交点为，设弦的中点为，
连接，则，即，所以，
即，
所以点的轨迹方程为，
即的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设直线为，则到的最小距离为，
过分别作直线的垂线，垂足分别为，
则四边形是直角梯形，且是的中点，
则是直角梯形的中位线，所以，即
，
即，
所以的最小值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若数列为等差数列，为前n项和，，，，下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. 和均为的最大值D.
【答案】AC
【解析】
【分析】运用等差数列单调性及下标和性质可解.
【详解】，则，，则，
因此，且，故A正确，B错误；
而且均为的最大值，故C正确；
，故，故D错误.
故选：AC
10. 已知动点M与两个定点的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C，下列说法中正确的有（ ）
A. 曲线C的方程为
B. 若过点A的直线l与曲线C相切，则l的斜率为
C. 曲线C与圆的公共弦长为
D. 若，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设点，由列式，化简整理可得曲线的方程，即可判断A；利用过已知点求圆的切线方程的方法求解即可判断D；求出两圆的公共弦所在直线的方程，再按求弦长的方法求解即可判断C；即为，当三点共线时取得最小值，求解可判断D.
【详解】对于A，设点，则，所以，
即，所以.故A正确；
对于B，若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，此时圆心到直线的距离等于，直线与圆不相切；
若直线的斜率存在，设直线的方程为：，即
则圆心到直线的距离，即，解得.故B正确；
对于C，将与相减得，公共弦所在直线的方程为：，
圆心到直线的距离等于，所以公共弦长为.故C不正确；
对于D，，当三点共线时，等号成立，
.故D成立.
故选：ABD.
11. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ）
A. 直线MN与所成角的大小为
B.
C. PN与平面ABC所成最大角的正切值为2
D. 点N到平面AMP距离的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】构建合适空间直角坐标系，应用向量法求线线、线面、点面距离，结合参数范围求最值判断A、C、D；坐标法求的值判断B.
【详解】由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则，
所以，，，，
则，显然直线MN与所成角不为，A错；
又，故，B对；
由面的一个法向量为，则，
所以时，PN与平面ABC所成最大角的正弦值为，则正切值为，C对；
由，，若为面AMP的一个法向量，
则，令，则，
又，则点N到平面AMP距离为，
令，则，故，D对.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线渐近线方程________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
【详解】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±
∴双曲线的渐近线方程为y=±
故答案为y=±
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想
13. 在三棱锥中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用坐标运算求出平面的一个法向量的坐标，在利用公式求出直线与平面所成角的正弦，进而求出直线与平面所成角的余弦值.
【详解】设平面的一个法向量为,
又，，
则，令，则，
所以,
设直线与平面所成的角为，又，
则，
所以，
即直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为：.
14. 若项数有限的数列满足，且，，则称数列为“n阶上进数列”．
①若等比数列是“2024阶上进数列”，则数列通项公式为__________；
②若等差数列是“2025阶上进数列”，则__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据数列新定义，结合等差、等比的通项公式求出对应的基本量，即可得答案.
【详解】由等比数列是“2024阶上进数列”，即数列共有2024项，若公比为，
所以，又，则，且，
所以，则，即，故，
所以，故；
若等差数列是“2025阶上进数列”， 即数列共有2025项，若公差为，
所以，即，
所以，故，
则，
所以，
即.
故答案为：，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知空间四点，，，．
（1）求以AB， AC为邻边的平行四边形面积；
（2）若A、B、C、D四点共面，求λ的值．
【答案】（1）12 （2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的夹角公式求出的余弦，再得出的正弦，利用面积公式得解；
（2）根据共面向量基本定理的坐标运算求解.
【小问1详解】
，，
又，，

∴四边形的面积为.
∴以，为邻边的平行四边形的面积为12.
【小问2详解】
由题意，得,
∵A、B、C、D四点共面
∴存在唯一一对实数使得
∴，解得：
∴的值为.
16. 如图，已知圆O：与抛物线交于，AB为圆O的直径，抛物线的弦，且直线CD与圆O相切．
（1）求直线CD的方程；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先列方程组得出抛物线方程，在根据点到直线距离求出参数即可；
（2）直线和抛物线联立方程组再应用弦长公式求出结合面积公式计算.
【小问1详解】
∵圆与抛物线交于点
∴，解得：
∴抛物线方程为：
∵，∴ ∴直线的斜率，
设直线的方程为：
∵直线与圆相切
∴，解得：（舍）或
∴直线的方程为：
小问2详解】
由得：
设， ，
∵，∴点到直线的距离为点到直线的距离，
则距离
∴的面积
17. 已知数列是等差数列，公差，Sn为前n项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Tn，且，求Tn．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得首项和公差，从而求得.
（2）利用裂项求和法来求得.
【小问1详解】
∵，
∴，，，∴，，
若，则，与已知矛盾；
若，则，，，即，，符合题意.
∴.
【小问2详解】
由（1）知，，，
∴，
∴
.
18. 如图，在长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，M， N， P分别为棱DD1， DA， DC上异于D点的动点．
（1）若P是CD的中点，求证：平面；
（2）定义：异面直线的距离指的是公垂线（与两条异面直线都垂直相交的直线）的两个垂足之间的线段长度．求异面直线与的距离；
（3）若直线与平面交于点H，且，求平面与平面的夹角余弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角系，由为直线与平面所成角可得，利用线面垂直的判定定理证明；
（2）由，，先求出公垂线所在向量，再求距离；
（3）由点在直线B1D上，则，∴，根据，可得M， N， P的坐标，再利用空间向量法求夹角.
【小问1详解】
连接，因为平面BB1C1C，
所以为直线与平面所成角，
所以，又，所以，
在长方体中，以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，.
当P是CD的中点时，，，，，
∴，，
，，又，平面，
平面；
【小问2详解】
，，，
设，由，，
∴，∴，令，取，
∴异面直线BC1与B1D的距离为：；
【小问3详解】
设，，，
由点在直线B1D上，则，∴，
∴，，，
又∵，∴，
∴， （*）
∴，，
设平面的法向量为，
由，得，令得：，
设平面的法向量为 ，
，，
由，得，令得：，
设平面与平面的夹角为，
，
∵M， N， P分别为棱上异于D点的动点，
由（*）得：，
当时，，
当时，令，则，
∴，
∴平面与平面所成夹角余弦值的取值范围为.
19. 极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应椭圆C的极线为.已知，为椭圆C的左右焦点，点M为C上动点，若，则M对应椭圆C的极线经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点M对应椭圆C的极线交于A， B两点，求证：以AB为直径的圆恒过，；
（3）若为曲线上的动点，且点P对应椭圆C的极线交椭圆C于Q， R两点，判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）是，，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由点在椭圆上及极线经过点得，进而求出椭圆方程；
（2）设直线，联立可得，，利用向量法坐标化，利用韦达定理代入坐标关系化简求证可得.
（3）设在曲线上，再联立方程组得出韦达定理，为的中点即可以转化得出，即可计算求解.
【小问1详解】
由点为椭圆上的动点，则将点坐标值代入椭圆方程得，
又由极点极线定义可知，点对应椭圆的极线
极线过点，所以，
联立方程解得，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知动点对应椭圆的极线，
联立方程，解得或，
不妨令，，
由椭圆的方程易知，，所以，，
又因为点在椭圆上，则，，
所以，同理可知，
所以，所以以为直径的圆恒过，；
【小问3详解】
由题意知曲线的方程为，又在曲线上，
点对应椭圆的极线，
联立，，即，
，不妨令，，
，，
设为的中点所以，，
所以点同时为的中点，即四边形为平行四边形.
即.
，
点到直线的距离，
所以，
.