安徽省马鞍山市第二中学2025-2026学年高二下学期3月教学质量监测数学试卷含解析（word版）

这是一份安徽省马鞍山市第二中学2025-2026学年高二下学期3月教学质量监测数学试卷含解析（word版），共36页。试卷主要包含了 点 P 在圆 C1等内容，欢迎下载使用。
1. 答卷前, 务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑. 如需改动, 务必擦净后再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题 卡上. 写在本试卷上无效.
一、选择题: 本大题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 a=3,2,2,b=2,−1,x ，若 a⊥b ，则 x= ()
A. 2 B. -1 C. 0 D. -2
【答案】D
【解析】
【详解】由题意得 a⋅b=3×2+2×−1+2x=0 ,解得 x=−2 .
2. 在等差数列 an 中, Sn 是其前 n 项和,且 S2007=S2026,Sk=S2012 ,则正整数 k 为 ( )
A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021
【答案】D
【解析】
【详解】因为等差数列的前 n 项和 Sn 是关于 n 的二次函数,
所以由二次函数的对称性及 S2007=S2026,Sk=S2012 ,
可得 2007+20262=2012+k2 ,解得 k=2021 .
3. 若从 1,2,3,…,nn∈N∗ 中任意取出两个不同的数，共有 21 种不同的取法，则 n= ( )
A. 6 B. 7 C. 20 D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】根据组合知识求解即可.
【详解】由题意,得 Cn2=21 ,即 nn−12=21 ,
解得 n=−6 (舍去) 或 n=7 .
故选: B
4. 已知 M,A,B,C 为空间中四点,任意三点不共线,且 OM=xOA+yOB−3OCx>0,y>0 , 若 M,A,B,C 四点共面，则 x+y 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【详解】因为 M,A,B,C 四点共面,且 OM=xOA+yOB−3OCx>0,y>0 , 所以由共面定理可得, x+y+−3=1 ,即 x+y=4 .
5. 已知圆 x2+y2−2ax+4=0 与直线 x−y−2=0 相切，则 a 的值为( )
A. -6 或 2 B. 6 或 -2 C. -6 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先将圆的方程化成标准方程, 再利用直线与圆相切的条件即可求解.
【详解】将圆的方程化成标准方程为 x−a2+y2=a2−4 ,
因为圆 x2+y2−2ax+4=0 与直线 x−y−2=0 相切,
则有 a2−4>0a−22=a2−4 ,解得 a=−6 .
6. 若函数 fx=−x2+ax+4lnx 在 1,2 上有最大值，则实数 a 的取值范围为( )
A. −2,+∞ B. −2,2 C. −∞,2 D. 0,2
【答案】B
【解析】
【分析】求得 f′x=−2x+a+4x ,令 gx=f′x ,得到 g′x0 ,
令 gx=f′x=−2x+a+4x ,可得 g′x=−2−4x20 即可.
【小问 1 详解】
解: 由函数 fx=x−1−alnx ,可得其定义域为 0,+∞ ,且 f′x=1−ax=x−ax ,
① 当 a≤0 时， f′x>0 ，故 fx 在 0,+∞ 单调递增；
② 当 a>0 时,令 f′x=0 ,解得 x=a ,
当 x∈0,a 时, f′x0 ,
所以 fx 在 0,a 上单调递减,在 a,+∞ 上单调递增.
【小问 2 详解】
解: 由函数 fx 的定义域为 0,+∞ .
① 若 a≤0 ，由( 1 )知 fx 在 0,+∞ 单调递增，
因为 f12=−12+aln20 ，由( 1 )知， fx 在 0,a 单调递减，在 a,+∞ 单调递增，
故 fx 在 x=a 时取得最小值,所以 fa=a−1−alna≥0 ,
令 ga=a−1−alna ,则 g′a=1−lna−1=−lna ,
当 a>1 时， g′a−2x−1 .
要证明 ex−1−1>1afx ,即证 ex−1−1−1afx>0 ,
而 ex−1−1−1afx=ex−1−1ax−1+lnx−1>ex−1−2x+1+lnx ,
令 gx=ex−1−2x+1+lnx,x>1 ,只需证明 gx>0 即可,
由 g′x=ex−1−2+1x ,再令 ℎx=g′x=ex−1−2+1x ,可得 ℎ′x=ex−1−1x2 ,
由于函数 y=ex−1,y=−1x2 在 1,+∞ 上单调递增,所以 ℎ′x 在 1,+∞ 上单调递增,
则 ℎ′x>ℎ′1=e0−1=0 ,即 g′x=ℎx 在 1,+∞ 上单调递增,
可得 g′x>g′1=e0−2+1=0 ,即 gx 在 1,+∞ 上单调递增,
故 gx>g1=e0−2+1+ln1=0 ,得证.