2026年黑龙江省双鸭山市高三第二次联考数学试卷（含答案解析）

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1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（ ）
A．B．0C．1D．
2．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．2
4．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
6．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数是正实数，则实数的值为( )
A．B．C．D．
8．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )
A．2B．C．D．
9．已知复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．1
10．为虚数单位,则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
11．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．根据如图所示的伪代码，若输入的的值为2，则输出的的值为____________.
14．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则_____．
15．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量、、满足，则实数的值为_______．

16．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，，//，.
（1）证明：//平面BCE.
（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求.
18．（12分）已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线 垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线 交于点Q，且,求点P的坐标.
19．（12分）已知矩阵不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量，求的值.
20．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.
21．（12分）对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷．信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷．为了解信用卡在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关？
（2）①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率；
②将频率视为概率，从市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差．
参考公式：，其中．
参考数据：
22．（10分）的内角，，的对边分别为，,已知，.
（1）求；
（2）若的面积，求.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
先将函数解析式化简为，结合题意可求得切点及其范围，根据导数几何意义，即可求得的值.
【详解】
函数
即
直线与函数图象恰有四个公共点，结合图象知直线与函数相切于，，
因为，
故，
所以.
故选：A.
本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.
2．A
【解析】
先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.
【详解】
由题意知sin，∴，
∴，随n的增大而增大，∴,
∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -10，
∴正整数的最小值为3.
本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.
3．A
【解析】
设，直线的方程为，联立方程得到，，根据向量关系化简到，得到离心率.
【详解】
设，直线的方程为.
联立整理得，
则.
因为，所以为线段的中点，所以，，整理得，
故该双曲线的离心率.
故选：.
本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
4．D
【解析】
根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.
【详解】
因为复数z满足，
所以，
所以z的虚部为.
故选：D.
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．A
【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
6．C
【解析】
设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.
【详解】
设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为，以12：00点为开始算起，则有，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，
所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：
.
故选：C
本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.
7．C
【解析】
将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.
【详解】
因为为正实数，
所以且，解得.
故选：C
本题考查复数的基本定义，属基础题.
8．C
【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.
【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，
所以，.
故选：C.
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.
9．C
【解析】
化简复数，分子分母同时乘以，进而求得复数，再求出，由此得到虚部.
【详解】
，，所以的虚部为.
故选：C
本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.
10．C
【解析】
利用复数的运算法则计算即可.
【详解】
，故虚部为.
故选：C.
本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.
11．D
【解析】
利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可．
【详解】
当时，．
所以数列从第2项起为等差数列，，
所以，，．
，，
．
故选：．
本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
12．C
【解析】
根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时的值，进而得判断框内容.
【详解】
根据循环程序框图可知，
则，
，
，
，
，
此时输出，因而不符合条件框的内容，但符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项，
故选：C.
本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
满足条件执行，否则执行.
【详解】
本题实质是求分段函数在处的函数值，当时，.
故答案为：1
本题考查条件语句的应用，此类题要做到读懂算法语句，本题是一道容易题.
14．
【解析】
根据函数图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得满足的方程,结合题中的范围即可求解.
【详解】
由函数图象的平移变换公式可得,
函数的图象向右平移个单位后,
得到的函数解析式为,
因为函数，
所以函数与函数的图象重合,
所以,即,
因为,所以.
故答案为:
本题考查函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.
15．
【解析】
根据图示分析出、、的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.
【详解】
由图可知：，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知，若，则有.
16．
【解析】
将三棱锥补成长方体，设，，，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果.
【详解】
将三棱锥补成长方体，设，，，
设三棱锥的外接球半径为，则，
由勾股定理可得，
上述三个等式全部相加得，，
因此，三棱锥的外接球面积为.
故答案为：.
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF，然后根据勾股定理计算可得BF＝DE，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.
（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一个法向量为，平面CDF的法向量为，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果.
【详解】
（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DEAD，
因为AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，
又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
所以DE//BF，又BF＝DE，
所以平行四边形BEDF，故DF//BE，
因为BE平面BCE，DF平面BCE
所以DF//平面BCE；
（2）建立如图空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（4，0，0），
C（0，4，0），F（4，3，﹣3），
，
设平面CDF的法向量为，
由，令x＝3，得，
易知平面ABF的一个法向量为，
所以，
故.
本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.
18．（I）．
（II）
【解析】
（I）写出坐标，利用直线与直线垂直，得到.求出点的坐标代入，可得到的一个关系式，由此求得和的值，进而求得椭圆方程.（II）设出点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得点的坐标，代入，化简可求得点的坐标.
【详解】
（I）∵椭圆的左焦点，上顶点，直线AF与直线垂直
∴直线AF的斜率，即 ①
又点A是线段BF的中点
∴点的坐标为
又点在直线上
∴ ②
∴由①②得：
∴
∴椭圆的方程为．
（II）设
由（I）易得顶点M、N的坐标为
∴直线MP的方程是：
由 得：
又点P在椭圆上，故
∴
∴
∴或（舍）
∴
∴点P的坐标为
本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.
19．
【解析】
由不存在逆矩阵，可得，再利用特征多项式求出特征值3，0，，利用矩阵乘法运算即可.
【详解】
因为不存在逆矩阵，，所以.
矩阵的特征多项式为，
令，则或，
所以，即，
所以，所以
本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.
20． (1)见解析;(2).
【解析】
试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用 即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.
试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ；
（2）设直线的参数方程为（为参数）
又直线与曲线：存在两个交点，因此.
联立直线与曲线：可得则
联立直线与曲线：可得，则
即
21．（1）不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关；（2）①；②分布列见解析，，
【解析】
(1)计算再对照表格分析即可.
(2)①根据分层抽样的方法可得经常使用信用卡的有人,偶尔或不用信用卡的有人,再根据超几何分布的方法计算3人或4人偶尔或不用信用卡的概率即可.
②利用二项分布的特点求解变量的分布列、数学期望和方差即可.
【详解】
（1）由列联表可知,,因为,
所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关.
（2）①依题意,可知所抽取的10名40岁及以下网民中,经常使用信用卡的有（人）,偶尔或不用信用卡的有（人）.
则选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率.
②由列联表,可知40岁以上的网民中,抽到经常使用信用卡的频率为,
将频率视为概率,即从市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用信用卡的市民的概率为.
由题意得,
则,
,
,
.
故随机变量的分布列为：
故随机变量的数学期望为,方差为.
本题主要考查了独立性检验以及超几何分布与二项分布的知识点,包括分类讨论以及二项分布的数学期望与方差公式等.属于中档题.
22．（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据余弦定理求出B,带入条件求出，利用同角三角函数关系求其余弦，再利用两角差的余弦定理即可求出；（2）根据（1）及面积公式可得，利用正弦定理即可求出.
试题解析：（1）由，得，
∴.
∵，∴.
由，得，
∴.
∴ .
（2）由（1），得.
由及题设条件，得，∴.
由，得，
∴，
∴.
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.
经常使用信用卡
偶尔或不用信用卡
合计
40岁及以下
15
35
50
40岁以上
20
30
50
合计
35
65
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
0
1
2
3