广东普宁市第二中学2025-2026学年高三下学期第一次月考 数学试题

这是一份广东普宁市第二中学2025-2026学年高三下学期第一次月考 数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集为 U ,若 B∩∁UA=⌀ ,则 A∪B= ( )
A. A B. B C. ∁UA D. ∁UB
2. 设 m∈R ,复平面内表示复数 z=2m+m−3i 的点在直线 x+y=0 上,则 z= ( )
A. 2+2i B. 2−2i C. −2−2i D. −2+2i
3. 已知 csα+β=m,tanαtanβ=2 ,则 csα−β= ( )
A. −3m B. −m3 C. m3 D. 3m
4. 已知圆 O1 与圆 O2 的半径分别为3 和 1,圆 O1 与圆 O2 内切沿着圆周滚动如图所示, AB 是圆 O2 的任意直径,则 O1A⋅O1B= ( )

A. 1 B. 3 C. 5 D. 8
5. 设 P 为椭圆 x225+y216=1 上一动点, M、N 分别为圆 C1:x+32+y2=1 和圆 C2:x−32+y2=4 上的动点,则 PM+PN 不可能为( )
A. 7.5 B. 9.5 C. 11.5 D. 13.5
6. 已知函数 fx=lnx−kx−2 ,若函数有 3 个零点,则 k 的取值范围是( )
A. 0,1e3 B. 0,1e3 C. 0,1e3 D. 0,1e3
7. 已知 fx 是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时, fx=x3−8 ,则不等式 x−1fx≤0 的解集为( )
A. −2,2 B. (−∞,−2]∪1,2
C. −2,0∪1,2 D. −2,1∪[2,+∞)
8. 设 fx=ex,fx=gx+ℎx ,且 gx 为奇函数, ℎx 为偶函数,当 x∈−1,1 时,不等式 gx−mℎx≥0 成立，则实数 m 的最大值为( )
A. e2−1e2+1 B. 2e2+1 C. e2+1e2−1 D. 1−e21+e2
二、多项选择题:(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个 选项中有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分, 请将答案填涂到答题卡相应区域)
9. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标. 在一批棉花中随机抽测了 400 根棉花纤维的长度 (单位: mm ),整理得到下表数据:
根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是( )
A. 棉花纤维的长度的极差估计值大于 42 mm
B. 棉花纤维中, 其长度低于 44mm 的棉花纤维数占三分之一
C. 棉花纤维的长度的中位数估计值介于 44 mm 至 51 mm 之间
D. 棉花纤维的长度的平均值估计值介于 37 mm 至 40 mm 之间
10. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， E 为棱 AA1 的中点， P 为四边形 ABCD 内(包括边界)一个动点，则下列结论正确的是( )

A. 三棱锥 E−ABD 外接球的表面积为 9π
B. 若 PE=3 ，则点 P 的轨迹长度为 2π
C. PE+PC1 的最小值为 17
D. 若直线 PE 与平面 ABB1A1 所成的角为 π6 ，则 PB 的最小值为 233
11. 甲、乙、丙 3 人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球； 若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余 2 人之一. 初始时球在甲手中，记第 n 次抛硬币后球在甲手中的概率为 pn ,球在乙手中的概率为 qn ,在前 n 次抛硬币的过程中 3 人之间传球的次数为 X ,则( )
A. p1=2q1 B. DX=n2 C. pn+2qn=1 D. pn>13>qn
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若曲线 y=x+aex 有两条过坐标原点的切线,则 a 的取值范围是_____.
13. 设平面向量 a=sinθ,1,b=csθ,2 ,若 a,b 不能组成平面上的一个基底,则 sin2θ+π6=
14. 数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S3=1,S4=−1 ,且 an+3=2ann∈N∗ ,则 S2026= _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 3sinA+C−csB=1 .
(1)求 B ；
(2)若 b=4 ， △ABC 的面积为 43 ， D 为 AC 边上一点，满足 AC=3AD ，
(i) 求 a+c
(ii) 求 BD 的长.
16. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22 ，且 6,0 在椭圆上，直线 l 与椭圆在第一象限交于 A,B 两点， l 与 x 轴， y 轴分别交于 M,N 两点，且 MA=NB ， MN=23
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)求直线 l 的方程.
17. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中，四边形 ABCD 是菱形， ∠BAD=π3 ， △PCD 是边长为 2 的正三角形,且 PB=6 .

(1)求证:平面 PCD⊥ 平面 ABCD ；
(2)求平面 PAD 与平面 PBC 夹角的余弦值.
18. 已知函数 fx=exx−lnx+x−a .
(1)若 fx≥0 ，求 a 的取值范围；
(2)证明:若 fx 有两个零点 x1 ， x2 ，则 x1x2b>0 的离心率为 223 ，下顶点为 A ，右顶点为 B ， AB=10 .
(1)求 C 的方程；
(2)已知动点 P 不在 y 轴上，点 R 在射线 AP 上，且满足 AP⋅AR=3 .
(i) 设 Pm,n ,求 R 的坐标 (用 m,n 表示);
(ii) 设 O 为坐标原点, Q 是 C 上的动点,直线 OR 的斜率为直线 OP 的斜率的 3 倍,求 PQ 的最大值.
1. A
因为 B∩∁UA=⌀ ,则 B⊆A ,
所以 A∪B=A .
故选: A.
2. B
复数 z=2m+m−3i 对应的点的坐标为 2m,m−3 ,
因为该点在直线 x+y=0 上,所以 2m+m−3=0 ,
解得 m=1 ,则 z=2−2i .
故选: B.
3. A
因为 csα+β=m ,所以 csαcsβ−sinαsinβ=m ,
而 tanαtanβ=2 ,所以 sinαsinβ=2csαcsβ ,
故 csαcsβ−2csαcsβ=m 即 csαcsβ=−m ,
从而 sinαsinβ=−2m ,故 csα−β=−3m ,
故选: A.
4. B
O1A⋅O1B=O1O2+O2A⋅O1O2+O2B=O1O22−O2A2=4−1=3 .
故选: B.
5. D
椭圆的两个焦点坐标为 F1−3,0,F23,0 ,恰好为两个圆的圆心坐标,
圆 C1 的半径 r1=1 ,圆 C2 的半径 r2=2 ,
由椭圆的定义可得 PF1+PF2=10 ，
当椭圆上动点 P 与焦点连线与圆相交于 M,N 时, PM+PN 最小,最小值为 PF1+PF2−r1−r2=7,

当椭圆上动点 P 与焦点连线的反向延长线与圆相交于 M,N 时, PM+PN 最大,最大值为 PF1+PF2+r1+r2=13,

所以 7≤PM+PN≤13 .
故选: D.
6. B
因为 fx=lnx−kx−2 ,
令 ℎx=lnx,gx=kx+2 ,
将函数 y=fx 的零点转化为函数 y=ℎx 与 y=gx 图象的交点个数问题,
因为 ℎx=lnx=lnx,x>1−lnx,00 时, gx=kx+2 与 y=−lnx 必有一个交点,
所以 gx=kx+2 与 y=lnx 必有 2 个交点,
设过点 0,2 的直线与 y=lnx 相切于点 x0,lnx0 ,
因为 y′=1x ,
所以切线的斜率为 1x0 ,
即有 1x0=lnx0−2x0 ,
解得 x0=e3 ,
所以切线的斜率为 1e3 ,
所以 k∈0,1e3 .
故选: B.
7. C
当 x>0 时, fx=x3−8 ,则函数 fx 在 0,+∞ 上为增函数,且 f2=0 , 由于函数 fx 为 R 上的增函数,故函数 fx 在 −∞,0 上为增函数,且 f0=0 , 当 x>0 时,由 fx≤0=f2 ,可得 0b>0 ,联立解得 a=6,c=3 ,所以 b=a2−c2=3 .
所以椭圆方程为: x26+y23=1 .
(2)解法一:设 AB 的中点为 E ，因为 MA=NB ，所以 ME=NE .

设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 x126+y123=1,x226+y223=1 ，
两式相减得 x126−x226+y123−y223=0 ,即 x1−x2x1+x26+y1+y2y1−y23=0 ,
所以 y1+y2y1−y2x1−x2x1+x2=−12 ,即 kOE⋅kAB=−12 .
设直线 AB:y=kx+m,k0 ,
令 x=0 ,得 y=m ,令 y=0 ,得 x=−mk ,即 M−mk,0,N0,m ,
所以 E−m2k,m2 ,即 k×m2−m2k=−12 ,解得 k=−22 或 k=22 (舍去).
又 MN=23 ，即 MN=m2+2m2=23 ，解得 m=2 或 m=−2 (舍去)，
所以直线 AB:y=−22x+2 ,即 x+2y−22=0 .
解法二: Mm,0,N0,nm>0,n>0 ,设 AB 的中点为 E ,则 Em2,n2 ,
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 x126+y123=1,x226+y223=1 ,
两式相减得 x126−x226+y123−y223=0 ,即 x1−x2x1+x26+y1+y2y1−y23=0 ,
所以 y1+y2y1−y2x1−x2x1+x2=−12 ,即 nm⋅−nm=−12
所以 m=2n .
由 MN=23 ,得 m2+n2=23 ,两式联立解得 m=22,n=2 ,
所以直线 AB 方程为 x22+y2=1 ,即 x+2y−22=0 .
17.(1)连接 BD ,因为四边形 ABCD 是菱形, ∠BAD=π3 ,
所以 △BCD 为等边三角形,
所以 △BCD , △PCD 均是边长为 2 的正三角形,
取 CD 的中点 O ,连接 OP,OB ,则 OP⊥DC,OB⊥DC,OP=OB=3 ,
因为 OP2+OB2=6=PB2 ,所以 OP⊥OB ,
所以 DC∩OB=O,DC,OB⊂ 平面 ABCD ,
所以 OP⊥ 平面 ABCD ,
又 OP⊂ 平面 PCD ,
所以平面 PCD⊥ 平面 ABCD ;
(2)由(1)知 OB,OC,OP 两两垂直，
所以以点 O 为坐标原点, OB,OC,OP 为 x,y,z 轴建系,

则 P0,0,3A3,−2,0,B3,0,0,C0,1,0,D0,−1,0 ,
所以 PA=3,−2,−3,PB=3,0,−3,PC=0,1,−3,PD=0,−1,−3 ,
设 m=x1,y1,z1 为平面 PAD 的法向量,
则 m⋅PA=3x1−2y1−3z1=0m⋅PD=−y1−3z1=0 ,令 z1=−1 得 x1=1,y1=3 ,
即 m=1,3,−1 ,
设 n=x2,y2,z2 为平面 PBC 的法向量,
则 n⋅PB=3x2−3z2=0n⋅PC=y2−3z2=0 ,令 z2=1 ,得 x2=1,y2=3 ,
所以 n=1,3,1 ,
所以 cs⟨m,n⟩=m⋅nmn=35×5=35 ,
即平面 PAD 与平面 PBC 夹角的余弦值 35
18. (1)[方法一]:常规求导
fx 的定义域为 0,+∞ ,则
f′x=1x−1x2ex−1x+1=1x1−1xex+1−1x=x−1xexx+1
令 f′x=0 ,得 x=1
当 x∈0,1,f′x0,fx 单调递增 fx≥f1=e+1−a ,
若 fx≥0 ,则 e+1−a≥0 ,即 a≤e+1
所以 a 的取值范围为 (−∞,e+1]
[方法二]:同构处理
由 fx≥0 得: e−lnx+x+x−lnx−a≥0
令 t=x−lnx,t≥1 ,则 ft=et+t−a≥0 即 a≤et+t
令 gt=et+t,t∈[1,+∞) ,则 g′t=et+1>0
故 gt=et+t 在区间 [1,+∞) 上是增函数
故 gtmin=g1=e+1 ,即 a≤e+1
所以 a 的取值范围为 (−∞,e+1]
(2)[方法一]:构造函数
由题知, fx 一个零点小于 1,一个零点大于 1,不妨设 x10
下面证明 x>1 时, exx−xe1x>0,lnx−12x−1x1 ,
则 g′x=1x−1x2ex−e1x+xe1x⋅−1x2=1x1−1xex−e1x1−1x =1−1xexx−e1x=x−1xexx−e1x
设 φx=exxx>1,φ′x=1x−1x2ex=x−1x2ex>0
所以 φx>φ1=e ,而 e1x0 ,所以 g′x>0
所以 gx 在 1,+∞ 单调递增
即 gx>g1=0 ,所以 exx−xe1x>0
令 ℎx=lnx−12x−1x,x>1
ℎ′x=1x−121+1x2=2x−x2−12x2=−x−122x2