浙江四校（含精诚联盟）2025-2026学年高二下学期3月阶段检测 数学

这是一份浙江四校（含精诚联盟）2025-2026学年高二下学期3月阶段检测 数学，共9页。试卷主要包含了 考试结束后, 只需上交答题纸， 已知圆 C， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知:
1. 本卷共 4 页满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3. 所有答案必须写在答题纸上, 写在试卷上无效.
4. 考试结束后, 只需上交答题纸.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 直线 3x−y+1=0 的倾斜角是( )
A. 30∘ B. 45° C. 60∘ D. 90∘
2. 已知 {a,b,c} 为空间的一组基底,则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A. a+b,b+c,a−c B. 2a+b,b,a−c
C. 2a+b,b+2c,a+b+c D. a+c,b+2a,b−2c
3. 已知随机变量 X 服从正态分布 N2,σ2 ，且 PX>3=16 ，则 PX>1= ()
A. 56 B. 23 C. 13 D. 16
4. 已知双曲线 C:x2−y2=4 ，其一条渐近线被圆 x−22+y2=4 截得弦长为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 22
5. 有 6 名同学排成一排, 其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有( )
A. 720 种 B. 360 种 C. 240 种 D. 120 种
6. 已知圆 C:x−22+y+12=9 ，直线 l:kx−y+3−2k=0 ，设 P 为圆 C 上的一动点，则 P 点到直线 l 的最大距离为( )
A. 4 B. 5 C. 7 D. 13
7. 已知函数 fx=xx−a2 在 x=1 处取得极大值，则 a 的值是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8. 已知无穷等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,前 n 项积为 Tn ,则下列选项判断正确的是 ( )
A. 若 S2026>S2025 ,则数列 an 是递增数列
B. 若 T2026>T2025 ,则数列 an 是递增数列
C. 若数列 Sn 是递增数列,则 a2026≥a2025
D. 若数列 Tn 是递增数列,则 a2026≥a2025
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 若 C103x−2=C10x+4 ,则 x 的值为 3 或 2
B. 若数据 x1,x2,x3,…,xn 的标准差为 s ,则 2x1,2x2,2x3,…,2xn 的标准差为 2s
C. 二项式 x−1x6 的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等
D. 若 5 名教师分到 4 所学校任教, 每所学校至少分配 1 名教师, 则分配方法有 480 种
10. 已知函数 fx=x3−mx2+1 ，则下列结论中正确的是( )
A. fx 有两个极值点
B. 当 m=−1 时, fx 在 0,+∞ 上单调递增
C. 当 m=1 时, fx 在 −1,1 上的最大值是 1
D. 当 m=3 时,点 1,−1 是曲线 y=fx 的对称中心
11. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,C 的准线 l 与 x 轴交于点 K ,过 K 的一条直线与 C 交于 A , B 两点,过 A,B 作 l 的垂线,垂足分别为 M,N ,则 ()
A. 准线 l 的方程为 x=−1 B. ∠FMK=∠FMA
C. 直线 FA 与 FB 的斜率之和为 0 D. △ABF 与 △MNF 的面积相等
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. x−1x210 的展开式中常数项为_____.
13. 若 PA=12,PA∣B=13,PB∣A=14 ，则 PA+B= _____.
14. 已知点 P 在双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上， P 到两渐近线的距离为 d1 ， d2 ， 若 d1d2≤12OP2 恒成立，则 C 的离心率的取值范围为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足 a1=2,b1=1,a2+a3=10,b2b3=−a4 .
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)设数列 cn 满足 cn=an+bn ，求 c1+c3+c5+…+c2n−1 .
16. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD ， AB//CD ，且 CD=2 ， AB=1 ， BC=22 ， PA=1 ， AB⊥BC,N 为 PD 的中点.

(1)求证: AN// 平面 PBC ；
(2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值；
17. (本小题满分 15 分)
2026 年春节期间, 某服装超市举办了一次有奖促销活动, 消费每超过 600 元(含 600 元)，均可抽奖一次, 抽奖方案有两种, 顾客只能选择其中的一种.
方案一:从装有 10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球 3 个，黑球 7 个)的抽奖盒中，一次性摸出 3 个球, 其中奖规则为: 若摸到 3 个红球, 享受免单优惠; 若摸到 2 个红球, 则打 6 折; 若摸到 1 个红球，则打 7 折；若没摸到红球，则不打折.
方案二:从装有 10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球 3 个，黑球 7 个)的抽奖盒中，有放回地每次摸取 1 球，连摸 3 次，每摸到 1 次红球，立减 200 元.
(1)若两个顾客均分别消费了 600 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
(2)若某顾客消费恰好满 1000 元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=xlnx−x . (1)求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)若 fx≥mx−e2 对任意的 x∈0,+∞ 恒成立，求实数 m 的取值范围；
(3)若 x0 是函数 ℎx=fx+x2 的极值点，求证: fx0+3x0>0 .
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 223,A,B 分别是椭圆 C 的右顶点,上顶点, 且 AB=10 . (1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)过点 P3,1 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点，其中点 M 在第一象限，点 N 不在 y 轴上，设直线 BM,BN 的斜率分别为 k1,k2.i 求证: 1k1+1k2 为定值；(ii)设直线 BM 与 x 轴交于点 T ， 求 △BNT 的面积 S 的最大值.
高二年级数学学科 练习 参考答案
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
8. 解: 如果数列 a1=−1 ,公比为 -2,满足 S2026>S2025 ,但是数列 an 不是递增数列,所以 A 不正确; 如果数列 a1=−1 ,公比为 −12 ,满足 T2026>T2025 ,但是数列 an 不是递增数列,所以 B 不正确; 如果数列 a1=1 ,公比为 12,Sn=1−12n12=21−12n ,数列 Sn 是递增数列,但是 a2026Tn−1 ,可得 an>1 ,又 an 是无穷数列,所以 q≥1 ,可得 a2026≥a2025 正确,所以 D 正确; 故选: D .
11. 解: 选项 A ,由抛物线的定义知, x=−1 ,选项 A 正确; 选项 B ,因为 AM//x 轴,所以 ∠MFK=∠FMA ,若 ∠FMK=∠FMA ,则 ∠MFK=∠FMK ,即 MK=FK ,显然该等式不一定成立,故选项 B 错误; 选项 C ,设 Ax1,y1,Bx2 , y2 ,由题意知,直线 AB 的斜率一定存在,且不为 0,设其方程为 x=ty−1 ,联立 x=ty−1y2=4x ,消去 x 得, y2−4ty+4=0 ,所以 y1+y2=4t,y1y2=4 ,所以 kAF+kBF=y1x1−1+y2x2−1=y1x2−1+y2x1−1x1−1x2−1=y114y22−1+y214y12−1x1−1x2−1=y1+y214y1y2−1x1−1x2−1=4t⋅14⋅4−1x1−1x2−1=0, 故选项 C 正确；选项 D,△ABF 的面积 S1=SΔBKF−SΔAKF=12KF⋅y1−y2=12⋅2⋅y1−y2=y1−y2 ， △MNF 的面积 S2=12KF⋅MN=12⋅2⋅MN=MN=y1−y2 ,所以 △ABF 与 △MNF 的面积相等,故选项 D 正确. 故选: ACD .

三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 45 13. 34 14. 1,2
14 解: 双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两条渐近线的方程为 bx−ay=0 或 bx+ay=0 ,点
Px0,y0 到两条渐近线的距离之积为 bx0−ay0a2+b2⋅bx0+ay0a2+b2,d1d2≤12OP2 恒成立,即 b2x0​2−a2y0​2a2+b2≤12a2 ,又点 Px0,y0 满足双曲线的方程, ∴b2x02−a2y02=a2b2,∴a2b2a2+b2≤12a2 , 即 a2≥b2 ,则 e=ca=1+b2a2≤2.∴10 在 0,+∞ 上恒成立,
则函数 Hx 在 0,+∞ 上单调递增,即函数 ℎ′x 在 0,+∞ 上单调递增,
由 x0 是函数 ℎx 的极值点,则 ℎ′x0=0 ,即 lnx0=−2x0 ,由 ℎ′1=2>0 ,则 00 ，且 k≠23 ， Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，联立 y−1=kx−3x29+y2=1 ,消去 y 并整理得 9k2+1x2−54k2−18kx+81k2−54k=0 ,由韦达定理得 x1+x2=54k2−18k9k2+1 , x1x2=81k2−54k9k2+1 , 所以 1k1+1k2=x1y1−1+x2y2−1=x1kx1−3+x2kx2−3 =1k⋅x1x1−3+x2x2−3 =1k⋅2x1x2−3x1+x2x1−3x2−3 =1k⋅281k2−54k9k2+1−354k2−18k9k2+181k2−54k9k2+1−3×54k2−18k9k2+1+9=−54k9k=−6 ,则 1k1+1k2 为定值,定值为 −6;−−−−−10 分
(ii) 直线 BM 的方程为 y=k1x+1 ,令 y=0 ,解得 x=−1k1 ,即 T−1k1,0 ,设直线 BN 与 x 轴交于点
Q ,直线 BN 的方程为 y=k2x+1 ,令 y=0 ,解得 x=−1k2 ,即 Q−1k2,0 ,由 (i) 知 1k1+1k2=−6 ,所以 −1k1−1k2=6 ,所以点 A3,0 是线段 TQ 的中点，则 △BNT 的面积 S=2S△BAN=2×12AB×d=10d ,其中 d 为点 N 到直线 AB 的距离,显然,当过点 N 且与直线 AB 平行的直线 l′ 与椭圆 C 相切时, d 取最大值. 设直线 l′ 的方程为 y=−13x+mm